一類計算機病毒傳播模型的動力學性態(tài)研究

黨耀宇,譚宏武,曹 慧

(陜西科技大學 數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院,陜西 西安 710021)

0 引言

隨著信息網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展,計算機病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播已成為一種常見現(xiàn)象,而計算機感染病毒后,會不同程度地影響人們的工作和生活,甚至會造成巨大的經(jīng)濟損失．因此,了解計算機病毒的傳播動力學性態(tài)也許能為抵御病毒的攻擊提供一些防御技術(shù)的設(shè)計思路．

由于計算機病毒感染的過程與流行病學感染過程類似[1],因此已有不少學者基于經(jīng)典的傳染病倉室模型建立了動力學模型來研究計算機病毒的傳播[2-7],包括SIS模型[2-3]、SIR模型[4-5]、SIRS模型[6]、SVEIR模型[7]．由于計算機病毒的隱秘性,導致計算機感染病毒后需要經(jīng)歷一段時間后才能被防御系統(tǒng)識別并清除．

本文基于經(jīng)典的SIRS傳染病倉室模型,將網(wǎng)絡(luò)中的計算機分為未感染類、感染類和恢復類,并分別用S(t)和R(t)表示t時刻未感染類計算機和恢復類計算機的數(shù)量,I(t,a)表示t時刻感染年齡為a的感染類計算機的密度．該模型中感染年齡a指的是病毒在感染倉室中所停留的時間長度,并不是實際的年齡,而是一種類年齡結(jié)構(gòu)．計算機病毒傳播過程如圖1所示.

圖1 基于SIRS模型的計算機病毒感染進展流程圖

(2)

(3)

1 適定性

(4)

2 平衡態(tài)的存在性

為了得到系統(tǒng)(1)的平衡態(tài),需要求解以下方程組(5)．

下面先討論系統(tǒng)(1)的無病毒平衡態(tài)．

當I(a)=0時,直接求解可得系統(tǒng)(1)始終存在無病毒平衡態(tài)E0=(S0,0,R0),其中,

(6)

(7)

3 平衡態(tài)的穩(wěn)定性

3.1 無病毒平衡態(tài)的穩(wěn)定性

證明將系統(tǒng)(1)在E0處線性化,得到的特征方程為:

(8)

其中,2μ+α1+γ1>0,μ(μ+γ1+α1)>0,由勞斯-赫爾維茨判據(jù)可知Δ(λ)=0的兩個根的實部都小于0．當λ∈時,是關(guān)于λ的連續(xù)嚴格單調(diào)遞減的實值函數(shù),且滿足0-1．因此,當0>1時,Δ2(λ)=0至少有一個正實根,即無病毒平衡態(tài)E0是不穩(wěn)定的．

引理3.2[9]設(shè)g∶+→是一個有界函數(shù),

證明為了建立無病毒平衡態(tài)E0的全局漸近穩(wěn)定性,設(shè)(S(t),I(t,a),R(t))是系統(tǒng)(1)的解,由系統(tǒng)(1)的第二個方程與邊界條件(2)得到

(9)

3.2 病毒平衡態(tài)的穩(wěn)定性

f(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ)+B0(τ)e-λτ=0,

(11)

證明通過直接計算,可得

A1(0)A2(0)-(A0(0)+B0(0))

+μ(2μ+γ1+α1)(μ+γ1+α1)>0.

4 Hopf分支

當τ>0時,將特征方程f(λ,τ)=0改寫為超越方程

P(λ,τ)+Q(λ,τ)e-λτ=0

(12)

其中:P(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ),Q(λ,τ)=B0(τ).

根據(jù)參考文獻[10]的第二節(jié),需要證明如下假設(shè):

(Ⅰ)P(0,τ)+Q(0,τ)≠0;

(Ⅱ)P(iω,τ)+Q(iω,τ)≠0;

(Ⅳ)F(iω,τ)=|P(iω,τ)|2-|Q(iω,τ)|2;

(Ⅴ)當F(iω,τ)=0存在正根ω(τ)時,其在τ中是連續(xù)且可微的．

通過計算,可得:

則滿足上述條件(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ).

注意到,因為

所以

(13)

則條件(Ⅳ)成立．由于F(ω,τ)是關(guān)于ω2的三次多項,且Ai(τ)(τ=1,2,3)和B0(τ)都是關(guān)于τ的連續(xù)可微函數(shù),因此條件(Ⅴ)也成立．

令λ=iω(ω>0)是f(λ,τ)=0的一個純虛根,則

-iω3-A2(τ)ω2+A1(τ)iω+A0(τ)+B0(τ)(cosωτ-isinωτ)=0.

Q(Θ)∶=Θ3+q2(τ)Θ2+q1(τ)Θ+q0(τ)

(14)

引理4.1

若式(14)沒有正根,則隨著τ的增加,病毒平衡態(tài)E*的穩(wěn)定性并沒有發(fā)生變化．反之,若式(14)存在正根,當τ達到某個臨界值τ*時,病毒平衡態(tài)E*的穩(wěn)定性可能會發(fā)生變化．綜上所述,可以得到如下結(jié)論:

對τ∈Σ,則存在ω=ω(τ)>0,使得F(ω,τ)=0．

令θ(τ)∈(0,2π](τ∈Σ)是以下方程的解:

有ω(τ)τ=θ(τ)+2nπ,因此ω*=ω(τ*)是(11)的純虛根,當且僅當對于n∈有τ*是Cn的零點,.

從參考文獻[10]中定理2.2可得到以下引理:

引理4.2假設(shè)ω(τ)是τ∈Σ定義的F(ω,τ)=0的正實根,在τ*∈Σ時,

Cn(τ*)=0,n∈.

則在特征方程(11)中τ=τ*存在一對共軛純虛根,λ+(τ*)=iω(τ*),λ-(τ*)=-iω(τ*),并且

當δ(τ*)>0時,虛根從左到右穿過虛軸．反之,當δ(τ*)<0時,虛根從右到左穿過虛軸．

當Q＇(Θ*)≠0且τ=τ*時發(fā)生了Hopf分支,根據(jù)Hopf分支定理得到如下結(jié)論:

5 數(shù)值模擬和結(jié)論

本文提出了一個具有年齡結(jié)構(gòu)和時滯的獲得性免疫的計算機病毒模型,并將年齡結(jié)構(gòu)和時滯結(jié)合起來描述,當感染的計算機停留在感染類一段時間后,由于獲得性免疫而成為恢復類計算機的病毒傳播現(xiàn)象．與傳統(tǒng)的計算機病毒模型相比,不僅考慮了病毒的感染時長,還考慮了不同感染情況下的治愈能力,因此本文考慮的模型更為現(xiàn)實．同時,本文也對病毒在計算機系統(tǒng)中出現(xiàn)的Hopf分支情況進行了理論分析和數(shù)值模擬．另一方面,本文的目的是分析討論感染年齡和病毒感染的時滯對病毒傳播的影響．

圖2 病毒平衡態(tài)E*在τ不同取值情況下的穩(wěn)定性

討論時滯在τ>0的情況下,感染年齡a對于模型的影響．圖3(a)表明,在圖2病毒平衡態(tài)漸近穩(wěn)定的情況下,此時病毒平衡態(tài)處的感染個體I*(a)會隨著感染年齡的不斷增大而逐漸減少,直至為0.這說明此時計算機病毒的傳播是可以得到有效控制的．圖3(b)表明,對于整個模型而言,感染年齡a和感染時間t同時增大時,感染個體I(t,a)會不斷減少．然而,在數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn),當時滯超過某個臨界值τ*時,系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf分支,這意味著計算機病毒流行的狀態(tài)從感染平衡狀態(tài)變?yōu)闃O限環(huán)．也就是說,計算機病毒的傳播已經(jīng)失去了控制．圖4說明系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支,此時Hopf分支范圍內(nèi)時滯τ的取值很?。欢?當時滯超過臨界值后,系統(tǒng)的穩(wěn)定性會再次發(fā)生變化成為漸近穩(wěn)定的．

(a) I*(a)在E*處的分布 (b) I(t,a)的分布

(a) 周期解 (b) 相圖