垂蕩運動下船用旋轉機械系統的隨機振動特性

摘" 要：動力機械作為艦船心臟，其安全穩定運行對航行安全影響極大，而船舶在航行時受到的牽連運動會對船用旋轉機械系統的振動產生重要影響，因此研究垂蕩作用下的船用旋轉機械的動力學特性及其振動控制具有重要的理論及工程意義。為了研究船用旋轉機械耦合氣囊浮筏系統在垂蕩運動以及噪聲激勵共同作用下的非線性隨機振動特性，首先，將氣囊模化為三次非線性彈簧和線性阻尼器，旋轉機械和浮筏之間簡化為線性彈簧和線性阻尼器；然后，引入了高斯白噪聲作為隨機激勵，建立了系統在垂蕩運動下的隨機動力學模型。最后，采用數值分析方法分析了該系統的隨機振動特性，并與確定性系統的仿真結果進行了比較。結果表明：當轉子轉速較低時，隨機系統和確定性系統的振幅相差較小，但隨著轉速的增加，二者振動幅值相差逐漸增大；當轉子處于高轉速時，旋轉機械與浮筏的質量比對系統振幅的影響較大；除此之外，噪聲激勵對隨機系統動力學特性的影響也隨著轉子轉速的升高而不斷增大。

研究成果為垂蕩運動下船用旋轉機械系統的隨機振動設計、動力學分析提供了理論依據和分析方法。

關鍵詞：垂蕩運動；船用旋轉機械；氣囊；高斯白噪聲；隨機振動

中圖分類號：O 322

文獻標志碼：A

文章編號：1672-9315（2024）06-1218-10

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2024.0619開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

收稿日期：

2024-03-15

基金項目：

國家自然科學基金項目（11972282）

通信作者：

李明，男，江蘇蘇州人，教授，博士生導師，E-mail：limxust@xust.edu.cn

Random vibration characteristics of marine rotating

machinery systems under heave motion

ZHU Leilei，LI Ming

（College of" Sciences，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）

Abstract：As the heart of ships，the safe and stable operation of power machinery has a great impact on navigation safety.

The implicated motion during navigation can have a significant impact on the vibration of marine rotating machinery systems.Therefore，studying the dynamic characteristics and vibration control of marine rotating machinery under heave motion

is of great significance.This paper mainly discussed the nonlinear random vibration characteristics of a marine rotating machinery coupled airbag floating raft system under the combined action of heave motion and noise excitation.The airbag was modeled as a cubic nonlinear spring and a linear damper，and two linear springs and a linear damper were used to connect the rotating machinery and the floating raft.Then，

Gaussian White Noise was introduced as a random excitation，and a stochastic dynamic model of the system under heave motion was established.Finally，the random vibration characteristics of the system were analyzed using numerical analysis methods and compared with the simulation results of deterministic systems.

The results show that：When the rotor speed is low，the amplitude difference between the random system and the deterministic system is small，but as the speed increases，the difference in vibration amplitude between the two increases;When the rotor is at high speed，the mass ratio of rotating machinery to floating raft has a greater impact on the amplitude of the system; In addition，the impact of noise excitation on the dynamic characteristics of stochastic systems also increases with the increase of rotor speed.The research results provide theoretical basis and analysis methods for the random vibration design and dynamic analysis of ship rotating mechanical systems in heave motion.

Key words：heave motion;harine rotating machinery;airbag;Gaussian White Noise;random vibration

0" 引 "言

大型船舶的動力設備和傳動系統的強烈振動會造成重要部件的損壞和基礎零部件的磨損等。例如，某型潛艇曾發生柴油發電機組不對中及超常振動引起的聯軸器損壞情況［1］。另外，超常的振動引起的噪聲也非常不利于艦船尤其是水下潛艇的隱身和安全。因此研究垂蕩運動下船用旋轉機械的振動對于艦船的安全航行具有重要意義。

船舶在航行過程中會經歷各種不同類型的振動，包括周期性振動和隨機振動。隨機振動是指振動幅度和頻率難以準確預測的情況，這種振動可能會對船舶的安全性產生負面影響，所以有必要研究船舶在海上行駛時的隨機振動特性［2-6］。王海芳等建立了錐閥閥芯的兩種工作狀態的振動可靠性功能函數，基于此可靠性功能函數，應用蒙特卡洛法對液壓閥閥芯振動時的失效概率與變異系數進行估算，并分析了估算的過程［7］；邢堯等將Gibbs采樣與子集模擬法相結合，并應用于衛星碰撞概率計算中，通過選取合適的中間失效事件，將碰撞概率轉換為一系列較大的中間失效事件條件概率的乘積，同時使用Gibbs抽樣方法生成失效域內的樣本，降低計算所需樣本數，并驗證了子集模擬法的可行性和高效性［8］；邵龍等提出了一種半定子環徑向永磁軸承替代托輪的離心制管機永磁懸浮支承系統方案，根據等效磁荷法建立懸浮力數學模型，采用蒙特卡洛法近似求解，簡化了懸浮力計算的數學推導和演算，并與有限元仿真比較，給出了誤差修正系數［9］；

鄧飛躍等運用Solidworks和ADAMS建立了軸箱軸承內圈剝離故障動力學模型，并與試驗進行對比，驗證了模型的準確性，結果顯示軸箱軸承故障側的滾子與內圈接觸載荷大于非故障側與正常軸承，故障側保持架的振動大于非故障側與正常軸承［10］；

WU等主要分析了諧波和混合效應下強非線性振蕩器的隨機平均和寬帶噪聲激勵，采用有限差分法和連續超松弛法相結合來求解簡化的平均FPK方程，發現隨機跳躍本質上是從一個可能的運動到另一種運動的轉變，反之亦然，并且它與雙峰聯合概率密度有關［11］；

KOVACIC等研究了同時具有恒定和諧波激勵的非線性振蕩系統的主共振響應，其相應的運動方程為不存在線性項的非線性Duffing方程，并且系統具有增強的非線性性質［12］；WEIQIU等則給出了Duffing振子在窄帶高斯隨機激勵下的位移、速度和振幅的概率密度以及穩態響應中位移和速度的聯合概率密度，在此基礎上，進一步研究了系統的隨機跳變和分岔現象［13］。

船舶隔振元件對船舶的安全性至關重要。首先，船舶在海上航行會受到風和浪的影響，船體中的設備振動可能會受到疲勞并最終損壞；其次，船舶上過大的振動會對船員和乘客的安全構成威脅，隔振元件則可以減小振動［14-16］。而作為一種性能優良的隔振元件，氣囊主要是利用空氣壓縮的非線性剛度以及阻尼特性來隔離振動和緩沖。除此之外，氣囊隔振器也因其具有非線性、剛度可變、穩定性高以及隔振性能好而被應用于船舶制造業中，因此有關氣囊浮筏的性能研究也逐漸增多

［17-20〗。

付團偉等運用有限元方法建立多點彈性支承船舶軸系的力學模型，并將該方法應用到船舶軸系的校中計算中。通過實例分析表明，在多點彈性支承下，螺旋槳軸承支承點的位置到螺旋槳的距離略大于單點剛性支承，且在螺旋槳軸承后端點處的支反力最大［21〗；

NIU等提出了一個浮筏系統的主動-被動聯合管理模型，推導了復雜平板浮筏隔離系統中各種多單元子系統和干擾源的輸入矩陣表達式，實現了隔離主動和被動控制的綜合數學描述［22］；肖程詩等以船用式柴油風力發電設備為主要研究對象，通過比較氣囊式隔振器與橡膠式隔振器的優點，給出4個浮筏隔振器方案，并運用ANSYS有限元軟件，對這4個方案進行了模擬與解析，并通過振級落差法對各方案的隔振特性進行了評價［23］。

作為旋轉機械的傳動核心，船用旋轉機械扮演著至關重要的角色，目前針對轉子-軸承耦合氣囊-浮筏系統也有著廣泛應用和研究

［24-26］。例如，謝旋主要研究了橫搖運動是如何影響到氣囊-浮筏耦合的船舶轉子系統，并構建了一個包含橫搖和非線性油膜力的動態模型，特別強調了轉子速度和橫搖幅度變動對于該系統動力特性產生的影響［27］；而王軍偉通過應用短軸承原理來創建這個系統的數學模型，然后利用數值技術去解析其動力學的表現，探索了轉子速度、橫蕩幅度和頻率的變化是如何影響著系統非線性動力特性［28］；除此之外，杜曉蕾等使用多尺度的方法探討了垂蕩刺激下的旋轉機器-氣囊隔振系統中的非線性振動機制及其振動特點，揭示了這些系統參數之間存在的內在關系，這有助于為其動力學的設計和參數優化提供理論支持［29］。但是相對于傳統的船用旋轉機械系統動力學問題，牽連運動下船用旋轉機械系統隨機動力學的研究工作相對較少，而這方面的研究對于提高艦船的穩定性以及安全性具有重要意義。

1" 垂蕩作用下系統的運動方程

圖1所示為船舶垂蕩運動下旋轉機械耦合氣囊浮筏系統的結構模型，其中轉子與浮筏之間用2個線性彈簧和一個線性阻尼器進行連接，氣囊被模化為非線性彈簧和線性阻尼器。設轉子系統質量為m1，浮筏的質量為m2，質量不均的轉子偏心質量為me，ω為轉子角速度，e為轉子的偏心距，x1為轉子的向上運動位移，x2為浮筏的向上運動位移，f1為轉子與浮筏之間油膜力阻尼器的阻尼系數，f2為氣囊浮筏系統的阻尼器阻尼系數，由垂蕩引起的運動為x0。

氣囊剛度具有非線性的特性，文中引

入具有3次非線性的彈性力來替代氣囊彈性力［30-33］。

根據牛頓第二運動定律可得

m11+m10

=-k1（x1-x2）-f1（1-2）

+

meeω2sinωt+m1g

m22+m20

=-（k2x2+εk2x32）-f22

-

k1（x2-x1）-f1（2-1）+m2g

（1）

為了使問題具有更為廣泛的應用性，對方程進行了無量綱化處理，使問題變得較為簡單，無量綱化參數見表1。

文中引入特征長度c來進行垂蕩激勵下船用旋轉機械系統的運動微分方程無量綱化處理，在處理的過程中，規定：

=dx/dt

，X′=dX/dτ，X0′=dX0/dτ，代入方程（1）中可得

mem

eω2sinτ+g-cω2

0″=cω2

1″+

k1（X1c-X2c）m1

+

f1（cωX1′-cωX2′）

m1

g+cω20″=cω2

X2″+

k2cX2+εc3k3X32

m2+f2m2cωX2′

+

k1m2

（cX2-cX1）+

f1m2（cωX2′-cωX1′）

（2）

經處理可得

X1″+

1（X1-X2）

Ω02

+1（X1′-

X2′）=hαsinτ+

1Ω02

-

0″

1Ω02

-0″

=X2″+

2X2+ε3X32

Ω02

+2X2′

+

1

ζΩ02

（X2-X1）

+

1

ζ（X2′-X1′）

（3）

由于船體發生垂蕩運動，假設：

x0=A0sinωzt

，則

0=

x0c=

A0csinωzt

=

A0csin

ωtη

=

A0csin

τη

（4）

0″=-

A0cη2sin

τη

=-η2

sin

τη

（5）

無量綱化后的運動微分方程為

hαsinτ+

1Ω02

+

η2

sin

τη

=

X1″+

1（X1-X2）

Ω02

+1（X1′-X2′）

1Ω02

+

η2

sin

τη

=

X2″+

2X2-ε3X32

Ω02

+2X2′

+k1ζ

Ω02（X2-X1）

+

1ζ

（X2′-X1′）

（6）

但一般來說，實際工程上α與

相對于

η2

是小量，所以令α=εα0，

2=εμ2，

1=εμ1。為了簡單化問題，文中令

ω12=

1

Ω02

，

ω22=

2

Ω02

，

Ft=

1

η2

，

b=

3

Ω02

。最后得到系統的無量綱方程

εhα0sinτ+

1Ω02

+Ftsin

τη

=

X1″+ω12（X1-X2）

+εμ1（X1′-X2′）

1Ω02

+Ftsin

τη

=

X2″+ω22X2+εbX23+εμ2X2′

+

ω12

ζ（X2-X1）+

εμ1ζ

（X2′-X1′）

（7）

2" 隨機系統動力學模型及響應分析

高斯白噪聲是隨機激勵一種主要的表現形式，且其具有很多優良的性質，可以極大地簡化計算過程，它通常定義為Wiener過程的形式導數如下

W（t）

=dξ（t）

dt

，t≥0

（8）

式中" ξ（t）為Wiener過程；W（t）為高斯白噪聲。因此隨機激勵建模為高斯白噪聲激勵的形式，其標準化的運動方程為

εhα0sinτ+

1Ω02

+Ftsin

τη

+W（t）=

X1″+ω12（X1-X2）

+εμ1（X1′-X2′）

1Ω02

+Ftsin

τη

=

X2″+ω22X2+εbX23+εμ2X2′

+

ω12

ζ（X2-X1）+

εμ1ζ

（X2′-X1′）

（9）

W（t）是零均值相關高斯白噪聲，其相關函數為

E［wi（t）］=0

E［wi（t）wj（t+τ）］=

σ2（τ），i≠j

0，i=j

（10）

式中" σ為隨機噪聲激勵的強度。

考慮到氣囊隔振器具有非線性的特性，所以采用龍格庫塔法對式（9）進行數值求解并與確定性系統的響應進行了比較。

旋轉機械耦合氣囊浮筏系統的無量綱取值為：ε=0.01、α0=0.1、h=0.1、

ζ=100、A=1 200、1=10、2=20、

3=100、μ1=0.5、μ2=0.03。其中，轉子轉速和質量比是實際工程中最為重要的參數，因此主要研究了轉子轉速和質量比對于系統動力學特性的影響。

2.1

轉子轉速變化對垂蕩作用下系統動力學特性的影響

圖2展示了當轉子轉速為0.5時，確定性系統與隨機系統的動力學響應對比。從圖2（a）可以看出，此時隨機系統的振動位移大于確定性系統的振動位移，且隨機系統的時域響應表現為多頻特性，其對應的頻譜圖則呈現為一條連續譜；在圖2（c）和圖2（d）中，可明顯看到隨機系統的振動速度大于確定性系統的振動速度；此外，確定性系統的龐加萊截面為一系列的點圍成一個近似“橢圓”的形狀，其頻譜圖中只存在垂蕩運動的分頻f0和工頻f，且垂蕩分頻f0遠大于工頻f。由此可見，確定性系統受垂蕩慣性力和不平衡慣性力的共同影響，其運動表現為準周期振動。

圖3為轉子轉速為1.5時，確定性系統和隨機系統的動力學響應對比。從圖3（a）和圖3（b）中可以看出，此時確定性系統和隨機系統的振動位移相差較轉子轉速為0.5時明顯增大，初步說明，隨著轉子轉速的增加，兩系統的振動幅值越來越大；圖3（c）和圖3（d）中，同樣能明顯看出隨機系統和確定性系統之間的振動速度也越來越大；確定性系統的龐加萊截面則是由一系列的點圍成一個近似“橢圓”和“圓柱”的形狀，它的頻譜響應中不僅存在垂蕩運動產生的分頻f0以及工頻f。除此之外，存在組合頻率6（f+f0）且組合頻率占主要成分，說明此時確定性系統的運動狀態開始由準周期狀態向混沌狀態轉變；隨機系統的時域響應

仍表現出多頻特性，其對應的頻譜圖為一條連續譜。

圖4為轉子轉速為3.8時，確定性系統和隨機系統的動力學響應對比，隨著轉子轉速的繼續升高，兩系統之間的振幅進一步增大，隨機系統的時域響應中位移隨時間變化沒有規律且峰值變化波動很大，對應頻譜圖是連續譜；確定性系統的轉子頻域響應中不僅存在垂蕩分頻f0以及工頻f，除此之外還存在組合頻率2.5（f+f0），且垂蕩運動的分頻和工頻占主要成分，浮筏頻域響應中組合頻率2.5（f+f0）和垂蕩分頻占比大，工頻f次之，同時存在組合頻率7（f+f0）。由此可見，系統受不平衡慣性力的影響也隨轉子轉速的升高而變大，此時確定性系統處于混沌運動狀態。

2.2" 質量比對系統振動幅值的影響

圖5給出了不同轉子轉速下系統振動幅值隨系統質量比的變化曲線。從圖5中可以看出，不同轉子轉速下，質量比對系統動力學響應的影響是不一樣的。無論是轉子還是浮筏，在低轉速時，質量比的變化對系統的影響較小，隨著轉子轉速的不斷升高，質量比的變化對振幅的影響也越來越明顯。此外，還發現由于高斯白噪聲激勵的存在，在處于高轉速時系統的振動幅值隨質量比變化有較大波動，隨機激勵對系統的影響隨著轉子轉速的不斷升高而增大。

3" 結" 論

1）垂蕩作用下的旋轉機械耦合氣囊隔振系統，當系統轉子處于低轉速時，隨機系統與確定性系統的振動幅值差異相對較小，但是隨著轉子速度的增加，兩系統之間的幅值相差也不斷地增大。

2）在低轉速時，質量比對系統的振動幅值的影響較小，隨著轉子轉速的增大，質量比對振動幅值的影響也越來越大；此外，轉子轉速越高，噪聲激勵對隨機系統的影響越大。

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（責任編輯：高佳）