平面圖形周長與面積單元的數學本質、進階與教學建議

劉加霞 魯靜華

【摘? ?要】周長與面積刻畫了同一平面圖形的兩種不同度量屬性。為破解學生易混淆這兩個概念的難題，并以此為載體培養學生的空間觀念、推理意識以及問題解決能力，教師重新設計了本單元五個學習進階的層級，梳理了周長概念建立、面積公式推導以及滲透數學文化等方面的內容，提出了相關建議。

【關鍵詞】周長與面積；大單元內容進階；面積公式的內在邏輯

圖形的周長與面積是對同一個圖形的兩種屬性的量化分析，即圖形邊界的長度與內部區域的大小。圖形的一般性質特征、周長和面積這三方面內容密切相關，根據圖形的特有性質可以推導出計算圖形周長與面積的公式，或者說圖形的周長與面積也是圖形的性質之一。因此，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將這些內容整合為“圖形的認識與測量”主題。

由于周長與面積是從不同角度研究同一個圖形，學生易于混淆這兩個概念。已有研究表明，學生所學內容越多，越容易混淆這兩個概念［1］。如何破解學生易混淆圖形的周長與面積這一“魔咒”？如何避免學生只會“套公式計算”而缺乏空間觀念、推理意識等素養？現行多個版本教材的編排都是先學周長概念再學面積概念，且學習周長和面積概念時都涉及不規則的曲邊圖形，這樣編排是否合適呢？圖形的周長與面積這一大單元的內容邏輯是什么？設計什么樣的進階更符合學生的認知路徑？單元學習內容的“升階點”是什么？這些問題都值得深入研究。教師要在厘清這些問題的基礎上，設計有效的學習任務，開展能引發學生深入思考的學習活動，助力學生空間觀念、推理意識的形成。

一、周長、面積的數學本質：對一維二維空間的度量

2022年版課標將認識圖形與測量整合為一個主題：圖形的認識與測量。其中，圖形的大小刻畫是圖形的一種特征。圖形既有幾何特征也有度量特征。圖形的幾何特征是圖形的整體特征，如圖形是否對稱、圖形有幾條對稱軸、圖形是否穩定、圖形邊與邊之間的位置關系等。其中“對稱性”與“平行性”是圖形的兩個本質特征。圖形的度量特征就要涉及“大小”問題，從量化角度認識圖形特征，就是要研究圖形的周長、面積與體積等。

度量（本文對測量與度量兩個詞語不作區分）是人類特有的認識世界的實踐活動，它創造并利用度量工具（度量單位）對事物的大小或順序進行度量。測量活動一般都經歷“定性地描述”到“精準地刻畫”的過程。前者指通過觀察、操作等直觀活動感受量的大小，并用較為籠統的語言進行表達；后者則指確定測量單位，通過使用測量工具或計算、推理等方式，用具體數值刻畫量的大小。度量的基本意義就是要找到一個度量單位，用度量單位去測量，獲得可測物體包含度量單位的個數。由于“數數”太麻煩，所以人類發明了測量長度的工具——各種尺子，發現了計算各種直邊圖形面積的公式。理解周長與面積這兩個概念不能脫離度量的意義，因為這是培養學生量感、空間觀念與推理意識的重要載體。

因為“兩點之間線段最短”，所以兩點之間的距離等價于兩點之間線段的長度。在日常生活或數學學習中，用長度刻畫一維空間即“線”的長短。度量對象是線段，當是曲線時要化“曲”為“直”，或用“直”替代“曲”。在研究圖形“邊”的長短時，可以研究所有邊線的長度即周長，也可以研究構成圖形的各“邊”長度之間的關系及邊與邊所形成的角的大小。例如，三角形三邊的關系既有“任意兩邊之和大于第三邊”，也有直角三角形中的“勾股定理”及任意三角形皆適用的“正弦定理”“余弦定理”。這些內容不只能度量邊線的長短，還揭示了不同邊線之間復雜的數量關系。用面積刻畫二維空間即“面”的大小，度量對象是面，面既可以是“平”的，也可以是“曲”的。體積用于描述三維空間即“體”的大小，轉化時可以借助“易變形”的液體。三者的度量本質與結構完全相同，都蘊含“化曲為直”或“以直代曲”的轉化思想，都是“度量單位的累加”等。

學生理解圖形的周長和面積，需要明確度量對象是什么、具有哪些特征。周長是對一維空間圖形線段的度量值，面積是對二維空間圖形區域的度量值，二者都是具體的數值，都用某個具體的數來表示大小，只是使用的測量單位不同。學習周長的難點是要明確度量對象，其度量對象是“線”——線段或曲線，周長就是圖形邊線的長度之和。周長的度量對象（邊線）并不直觀，這要求學生將“邊界”或“一周”抽象為線段或曲線。求解圖形的周長時，既要有測量各邊線段的長度再相加的活動，還要有通過“化曲為直”或“以直代曲”，將曲邊圖形的“邊線”轉化為線段長度之和的活動。

教學時要淡化通過操作活動讓學生理解“封閉”這一方式，因為學生肉眼所見的都是封閉圖形，在理解上沒有難度。越是強調封閉，越容易讓學生感知“圍起來的區域”的大小，但這是面積的概念。可以像中國臺灣教材那樣，先比較圖形的“內部、外部與周界”這三部分概念，再定義“周界的長度”就是圖形的周長。這樣的設計從更“廣闊的視角”觀察平面空間，有助于學生理解周長的含義。

學生理解圖形的周長和面積，還要明確度量的過程。度量過程是根據度量對象，選擇合適的度量單位去測量，或用公式求得量值，從而用“數+單位”刻畫度量對象的大小。在小學階段，獲得度量值大小的方法有三種：一是度量法，數度量單位的個數；二是用公式計算，這種方法具有快捷的特點；三是轉化法，將不規則物體轉化為規則物體來測量，要求轉化前后滿足“等量代換”原則。此外，還要關注度量的本質屬性，包括：運動不變性、疊合性、有限可加性以及面積的正則性等［2］。這些度量的本質屬性要在教學中進行滲透，有助于度量活動的開展及度量值的獲得。

二、平面圖形周長與面積大單元的學習進階

現行各版本教材的編排順序大都基本符合學習進階理論：三年級上冊學習周長概念及長方形、正方形的周長；三年級下冊學習面積概念、面積單位及長方形、正方形的面積；五年級上冊學習平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形的面積，估計曲邊圖形的面積；六年級上冊學習圓的周長與面積。基于這樣的編排順序，還需要進一步思考兩個方面問題：一是先學習周長概念還是面積概念？初次學習這兩個概念時是否要估計不規則圖形的周長或面積？二是推導平行四邊形、三角形、梯形以及圓的面積公式時，尤其平行四邊形面積公式時，是轉化為“數面積單位的個數”，還是轉化為已經學過的圖形然后利用公式求得新圖形的面積？哪種方式更符合學生的認知邏輯？也就是說，目前有的教材的內容進階還有待思考和調整。

劃定周長與面積學習進階的維度主要包括以下三方面：度量對象、度量過程、問題情境的抽象度和復雜度。在研究周長或面積問題時，度量對象會越來越抽象和復雜，整體上可以劃分為以下四個水平：（1）簡單直邊圖形，如常見的長方形、三角形等，或將現實物體的“面”抽象為直邊圖形；（2）直邊的組合圖形，或將現實物體的“面”抽象為組合圖形，只研究“外邊線”的長短；（3）曲邊圖形；（4）立體物的“橫截面”，如學生的頭圍、腰圍等。度量過程可分為：（1）用直尺直接測量；（2）在方格紙上數長度單位的個數；（3）通過“化曲為直”來測量；（4）根據問題情境選擇合適的測量方法與測量工具。同樣，問題情境也可以劃分為：（1）只涉及單一的測量對象或通過公式求得周長；（2）涉及長度、周長或面積中的兩個或三個量，要通過實際測量或用公式求得相應量值；（3）已知某個特殊圖形的周長（或面積），再求邊長或面積（或周長）；（4）在圖形的動態變化中研究長度、周長或面積；（5）已知一條線段的長度，圍出不同形狀的圖形并探索圖形面積的變化規律，或已知某個圖形，通過“切割”產生新圖形，再求新圖形的周長或面積等。

根據上述劃分學習進階的維度，按照2022年版課標的要求，綜合分析中國大陸各版本教材、中國臺灣翰林版教材及新加坡教材的編排，平面圖形的周長與面積大單元可以劃分為如下五個較大的階段。

階段1：拼擺小正方形或在方格紙上數“單位”個數，初步建立面積概念。

階段2：數出圖形周界的長度單位個數，建立周長概念；認識最基本的長方形、正方形的特征及其周長與面積。

階段3：通過尺規作圖進一步認識常見圖形的周長；認識平行四邊形、三角形以及梯形的特征及其面積，尤其這三類圖形的“高”適合在同一課時進行學習。如北師大版（2011年）教材的編寫方式。

階段4：求解或估計組合圖形或不規則圖形面積，滲透“化曲為直”或“以直代曲”等轉化思想，感受度量單位越小，估計值越精準。

階段5：圓的周長與面積。

其中，階段1、階段2的內容可以編排在同一冊教材中，階段3、階段4的內容可以編排在同一冊教材中，階段5的內容可以單獨編排在高年級。筆者以階段1、階段2的內容為例，進一步分析這兩階段內容的具體層級，指明不同層級的內容重點培養哪些核心素養。

● 層級1：拼擺小正方形得到新圖形并數其面積單位個數，或數出方格紙上所畫直邊圖形的單位個數。側重培養學生的量感與空間觀念，樣例如圖3、圖4、圖5。

● 層級2：推導長方形、正方形的面積公式和周長公式；直接利用公式求解長方形、正方形的面積或周長并解決實際問題。培養學生的問題解決能力、量感和空間觀念，樣例略。

● 層級3：在較復雜的問題情境（測量對象涉及多個長方形、正方形）中求解圖形的周長或面積，或探索蘊含的規律。培養學生的量感、推理意識以及空間觀念，樣例如下。

樣例1：一個正方形噴水池的周長是20米，它的邊長是多少米？面積是多少平方米？

樣例2：在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長（或面積）都相等，然后比較一下它們的面積（或周長）。你發現了什么？

樣例3：下圖中，右邊兩個算式分別求的是哪個圖形的周長？

● 層級4：根據圖形的特征，將其割補轉化為長方形、正方形后解決面積或周長問題。側重培養學生的推理意識與空間觀念，樣例如下。

樣例：下圖中，誰家離學校近？說明理由。

● 層級5：較為抽象地通過解釋、說理解決問題。側重培養學生的推理意識，樣例如北師大版三年級上冊第51頁的練習題8（如圖1），或蘇教版三年級下冊第75頁的思考題（如圖2）。

三、平面圖形的面積與周長大單元的內容編排與教學建議

（一）將圖形的面積與周長編排在同一單元中

由前述學習進階分析可知，先學習圖形的面積概念后學習周長概念更有助于學生理解。在面積概念的教學中，直邊圖形可以通過“重疊”的方法比較“面”的大小，面積值差異較大的曲邊圖形（如圓）可以通過直接觀察得出誰大誰小。教學的重點是用“小正方形”拼擺出各種圖形或將圖形畫在方格紙上，知道圖形面積就是小正方形的個數。

例如，中國臺灣翰林版教材關于面積與周長的編排順序如下：二年級下冊比較面的大小（本單元還包括比較容量、輕重）；三年級下冊拼擺面積單位（只學習平方厘米），求拼擺出的圖形的面積以及方格紙上三角形或其他圖形的面積（可轉化為整格）；四年級下冊學習用公式求長方形、正方形的周長和面積，學習平方米及其與平方厘米的進率，以及分割為長方形、正方形的組合圖形的面積，已知面積和長，求寬；五年級上冊學習平行四邊形、三角形、梯形以及一般組合圖形的面積，已知面積和高（底或兩底之和），求底或兩底之和（高）；六年級上冊分兩個單元學習圓和扇形的周長與面積。

新加坡教材也是先在三年級下冊學習面積概念，強調用“小正方形”或在方格紙上數出圖形的面積，并直接呈現在例題中，具體內容如下。

（1）用4個正方形、4個二分之一正方形的卡片拼擺圖形（如圖3）。

（2）這些圖形的面積是多少個小正方形（如圖4）？

（3）定義1平方厘米之后，求下面各圖形的面積是多少平方厘米（如圖5）。

在這之后，新加坡教材再定義1平方米，同樣通過數“方格”求不需要轉化或恰好能轉化為整格的直邊圖形面積，不急于學習特殊圖形的面積公式。然而，前述內容在人教版、北師大版等教材中都出現在練習題里，教材并沒有專門編排例題。

學生先通過上述活動對面積單位及圖形的面積形成本源性認識，再學習周長概念。在學習周長概念時，讓學生首先觀察畫在方格紙上的周長相等、面積不同的不同形狀的三角形、長方形等直邊圖形；其次利用線繩判斷兩個不規則的曲邊圖形哪一個的周長更長；再次測量書本封面、教室地面的周長以及前面學習面積時所拼擺的圖形的周長；最后解決涉及圖形的周長與面積的實際問題，在問題解決過程中進一步理解圖形的周長與面積的關系。在此基礎上，學習長方形、正方形的面積公式。

方格紙在研究圖形周長和面積問題時起著重要作用。一方面，方格紙既是度量長度也是度量面積的工具；另一方面，方格紙也為學生判斷兩條線段的平行、垂直關系提供依據，而圖形的邊的平行、垂直關系決定了圖形性質，是某個圖形存在周長或面積公式的主要依據。

除了“數數”活動外，在方格紙上畫出滿足條件的圖形也是重要的數學活動，既有助于學生理解周長、面積概念，又有助于培養學生的空間觀念和推理意識。例如，人教版、蘇教版、北師大版等教材中都編排了畫出周長（面積）相等的長方形或正方形，分別求面積（周長）是多少的內容，以初步滲透等周定理（在周長相等的幾何形狀之中，圓形的面積最大；在面積相等的幾何形狀之中，圓形的周長最小）。

（二）學生理解周長概念的基本路徑

周長概念的形成，應包含以下一些能力要素：一是知道“什么是周長”，能用數學語言正確描述或指出一個平面圖形的周長；二是能根據周長的意義，通過順邊加、公式計算、移與補等基本方法求出一個平面圖形的周長；三是能應用周長的意義進行判斷和推理，并解決簡單的數學問題。從布魯姆-安德森的學習目標分類理論來看，周長概念的能力結構正好體現了“記憶、理解、應用、分析、評價、創造”的思維發展過程。學生對上述形成周長概念的幾個要素或多或少都有一定的知識經驗，根據經驗能夠領會周長的含義，但這些經驗往往是模糊的、直覺的，容易與圖形的內部區域（面積）相混淆。因此，理解圖形的周長要逐步深入進行，具有進階性，而不是學習“一次”就能理解的。具體體現在以下幾個方面。

一是結合具體情境引導學生直觀理解周長是一個與“形”有關的概念。要將圖形的“一周邊線”從圖形中剝離出來，使學生真正“看”到圖形的一周邊線，從而建立清晰表象。所研究的圖形要有進階性，先研究簡單的、常見的直邊圖形，再研究生活中常見的曲邊圖形，如圓形、半圓形、扇形等。

二是通過對周長長度的測量和計算，理解它還是一個與“數量”有關的概念。周長的本質就是線段長度，開展測量活動是學生感悟周長實際含義的有效方式，有助于學生清晰認識“周長是圖形一周所有邊的長度總和”。學生親自測量是建立周長概念的關鍵一步，測量活動既包括直接用直尺測量，也包括用“繩子圍”再測量拉直的繩子長度，此外還可以將“曲線”進行分割，用線段代替“小曲線”進行測量，再累加求和。依據2022年版課標的要求，還要讓學生結合“尺規作圖”加深對周長概念的理解，即先用直尺畫一條直線，再用圓規依次“截取”圖形的幾條邊，最后將它們首尾相接依次畫到直線上，得到一條線段，從而直觀感知這條線段的長度就是這個圖形的周長，進一步感受線段長度的可加性。

三是在解決實際問題的過程中引導學生對比周長和面積的不同。在數學概念學習過程中，將容易混淆的概念置于同一情境集中學習，以強化概念之間的比較辨析，是概念學習的一條重要策略。在對比過程中，學生能夠清晰地理解面積和周長分別是描述“區域的大小”和“線段的長短”的兩個不同概念。

（三）推導平面圖形面積公式的基本邏輯

1.如何推導長方形面積公式

通過分析比較各版本教材內容可知，關于長方形面積公式的推導主要分為兩類。一類是以人教版教材、北師大版教材和翰林版教材為代表的編排方式。這些教材均為學生提供了長方形面積計算的學習動因，明確揭示了學習主題，即運用面積單位測量長方形面積。不同之處在于人教版、北師大版教材安排了兩次操作活動，先通過第一次操作活動理解用面積單位測量長方形的方法，再借助第二次操作活動測量長方形面積（人教版測量了5個、北師大版測量了2個）并進行填表，觀察表中長、寬、面積三組數據的特征，發現長方形面積計算公式。而翰林版教材則直接提出“用乘法算算看，長方形里有幾個方格（面積單位）？長方形面積是多少？”這樣兩個問題，讓學生在“算”的過程中體會面積與乘法的聯系以及面積單位總個數與長方形面積之間的聯系，在此基礎上給出計算公式。另一類是以北京版、蘇教版、浙教版為代表的編排方式。這些教材讓學生用面積單位將已知長方形鋪滿，通過“數”或“算”得到長方形面積。在探究長方形面積公式時，則讓學生拼擺若干個“小正方形”（如12個小正方形）得到幾個不同形狀的長方形，再通過拼擺得到長方形長、寬和面積單位個數之間“量”的對應關系，以及長方形面積計算公式與面積單位計數方法之間的對應關系。

美國加州版教材與日本教材不約而同地選擇了第一類呈現方式。它們將拼擺操作的過程描述得十分清晰，可操作性更強，直接“認可”而不是“探究發現”面積計算公式，教學重點落在對計算公式的驗證、反思等方面。而我國多數教材更注重讓學生通過自主探究發現并描述面積公式，即讓學生自主分析長方形的長是幾就是“一行拼擺幾個小正方形”，寬是幾就是“拼擺幾行”。然而，在很多學生已經知道長方形面積公式的情況下，這樣的“自主探究”無法激發他們探究的興趣。因此，當學生不能直接“套用”計算公式解決問題時，再來反思長方形的面積為何是“長×寬”就很有必要性了，如蘇教版教材三年級下冊中的解決問題（如圖6）。

2.平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式的哪種推導方法更有價值

這三個基本圖形面積計算公式的推導過程基本一致：通過割補、拼擺將未知圖形轉化為已學過的圖形。推導平行四邊形的面積計算公式就是將平行四邊形沿著高剪開再拼成長方形。有的研究者認為，推導平行四邊形面積公式應該通過每行的“割補”，將平行四邊形的面積轉化為“每行有幾個面積單位、有這樣的幾行”。從本質上看，這樣的思路沒錯，但這樣“割補”轉化的過程太復雜，不符合學生的認知邏輯。例如，圖7中，將左邊的陰影部分（梯形）割補到右邊得到每行是“整格”，遠比將左邊的“虛線三角形”割補到右邊成為長方形要困難得多。

目前，各版本教材不要求解決“形外高”的平行四邊形面積問題，但如果將該類平行四邊形放在方格紙上研究（如圖8），有多種割補轉化的方法，該類問題更有思維價值。同樣地，同底等高的平行四邊形面積相等、同底不等高的平行四邊形面積與高成正比例等內容都是培養學生核心素養的好問題。也就是說，可拉動的平行四邊形框架是研究平行四邊形面積很好的學具。

3.介紹具有育人價值的圓面積計算公式的推導方法

現行各版本教材都是將圓等分成很多個（想象或借助計算機分割成“大數”份）小扇形，再通過拼接轉化為近似的平行四邊形或長方形，推導出圓的面積的計算公式。事實上，歷史上推導圓面積公式的方法有很多，劉徽的割圓術（如圖9）、開普勒的“手拉手、心連心”法（如圖10）等更具有思維價值［3］。其中，劉徽的割圓術既有助于學生理解推導過程，能幫助他們直觀地認識“割之彌細、所失彌少”，感受“割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，更能讓學生感悟到中國古代數學中的智慧。祖沖之則在劉徽割圓術的基礎上，利用“算籌”計算很好地解決了“空位”問題，使得計算結果精確到小數點后7位。教學時，教師應采用這種方式向學生介紹劉徽、祖沖之及阿基米德等古代數學家各自的貢獻，培養學生實事求是地分析問題、辯證地看待歷史的意識，而不是“空洞地”介紹中國的數學發明比西方早了一千多年。

參考文獻：

［1］郭立軍，劉鳳偉.APOS理論指導下小學數學概念教學的實踐研究：以三年級面積概念教學為例［J］.小學數學教師，2021（2）：78-83.

［2］劉加霞.平面圖形面積公理及其單元教學內容的邏輯結構［J］.湖北教育（教育教學），2021（10）：28-31.

［3］狄邁，汪曉勤.西方早期幾何教科書中的圓面積公式［J］.數學通報，2022，61（2）：7-11.

（1.北京教育學院數學與科學教育學院?2.北京市順義區教育研究和教師研修中心）