依惑而教：從物的等分到計數單位的等分

章穎

【摘? ?要】學生在學習“兩位數除以一位數”的筆算時，通常會出現兩個典型的困惑：除法豎式為什么要寫“兩層”？除法豎式為什么要從高位算起？基于困惑產生的原因，可以借助大小磁扣的“轉換”幫助學生理解計數單位的兩次等分。為此，教師將操作學具由小棒改為磁扣，設計“磁扣操作，體驗計數單位的等分；體會記錄，將除法豎式與兩次等分過程進行關聯”兩個教學活動，在計數單位的轉換中凸顯兩次等分記錄的道理，加強學生對算法的理解。

【關鍵詞】筆算除法；物的等分；計數單位的等分；學習困惑

一、學生在筆算除法中的兩個困惑

除法豎式步驟多、書寫繁雜，學生計算正確率往往不太高，是小學階段筆算教學的重難點。其中，北師大版教材三年級下冊“兩位數除以一位數”內容是學生第一次接觸多層記錄的除法，理解起來有一定難度，因而學生通常會出現兩個典型的困惑。

困惑一：除法豎式為什么要寫“兩層”？

教學68÷2的筆算時，教師通常先引導學生進行直觀操作，再通過分物過程與豎式記錄的對接，幫助學生理解算理。但事實上，教師教的過程與學生想的內容并不一致，學生存在困惑。

教師教的：把68根小棒平均分成2份，先分6捆，把6個“十”平均分成2份，每份30根，即60÷2=30（根）；再把8根平均分成2份，每份4根，即8÷2=4（根）；最后相加，即30+4=34（根）。兩次分的過程用兩層豎式進行記錄（如圖1）。

學生想的：“把68根小棒平均分成2份，6捆（6個‘十）和8根一起分，一次就能分好，寫一層豎式更簡單！”“二年級時學的除法豎式也只寫一層。”“寫兩層太復雜了，直接寫一層就能算出得數。”（如圖2）

教師在課后訪談中發(fā)現，學生心里一直存有這樣一個困惑：明明可以用一層豎式來記錄，為什么還要寫兩層呢？可見，學生心里并不認同兩層豎式的寫法。這說明上述教學方式并沒有體現兩層豎式記錄的必要性。

困惑二：除法豎式為什么要從高位算起？

教學68÷2的筆算時，教師一再強調：要先分6捆（6個“十”）小棒，再分8根小棒。試圖讓學生明白從十位算起的必要性。然而，在分小棒時，仍有學生直接把68根小棒一起分，不存在先高位再低位的過程；甚至還有學生先分8根小棒，再分6捆（6個“十”）小棒。這是因為68÷2這個例子比較簡單、特殊，對幫助學生歸納“先分什么，再分什么”的過程的作用并不明顯，所以才導致學生在應用豎式計算時不禁疑惑：加法、減法和乘法豎式都是從個位算起的，除法豎式為什么要從高位算起？

二、學生兩個困惑產生的原因分析

從學生角度看，既然二年級時筆算18÷3用“一層”豎式來表示，那么三年級時筆算48÷3也可以用“一層”豎式來表示（如圖3）。而學生之所以會這么認為，主要有兩方面原因。

原因一：學生的思維仍然停留在物的等分上

二年級時學習除法豎式18÷3是學生第一次接觸除法豎式。教材中，不論是把18根小棒平均分成3份，還是把18個蘋果平均分成3份，其實都是對物的一次等分，即把18個一平均分成3份，每份是6個一，相應地用一層豎式來記錄。到了三年級學習除法豎式48÷3時，教材一般呈現4捆（40根）小棒和8根小棒，學生自然會把它看成一個整體，即48根小棒。把48根小棒平均分成3份，每份就是16根小棒，即16個一（由于數據比較小，學生能直接得出答案）。這一過程，學生是一次完成的，不需要轉換計數單位，因此就用一層豎式來表示，導致學生很難體會“先分幾個十，再分幾個一”的除法豎式分層記錄和“要從高位算起”的道理。

事實上，整數除法的核心在于“計數單位的等分”。在等分的過程中，先等分大的計數單位，有余時再與更小的計數單位合起來繼續(xù)等分；在繼續(xù)等分的過程中，先將大的計數單位轉換成更小的計數單位，再與更小的計數單位合起來，使計數單位的數量增加，從而能繼續(xù)等分下去。從二年級的“表內除法”到三年級的“兩、三位數除以一位數的筆算除法”，等分過程變得更加復雜。兩位數除以一位數對應以十、一為計數單位的兩次等分，相應地用兩層豎式來表示；三、四位數除以一位數乃至多位數除法，不能通過口算直接得到商，需要多次等分，通過多層豎式依次記錄才能得到正確答案。可見，要讓學生理解“除法豎式寫兩層”“要從高位算起”的道理，教師的教學就要由物的等分上升到計數單位的等分。

原因二：教學未能幫助學生從物的等分上升到計數單位的等分

為什么經過三年級的學習之后，很多學生仍然停留在物的等分，而對“除法豎式寫兩層”“要從高位算起”心存困惑呢？這可能與教師的教學設計有關。對于這一內容，教師通常會采用以下環(huán)節(jié)進行教學。

【環(huán)節(jié)一】經歷平均分物的過程

教師呈現學習材料：把68個桃子平均分給2只猴子，每只猴子分到多少個桃子？

1.讓學生先列出算式68÷2，再用小棒替代桃子進行分物活動：先分6捆小棒，再分8根小棒（如圖4）。

2.抽象出口算過程：60÷2=30，8÷2=4，30+4=34。

【環(huán)節(jié)二】用除法豎式記錄分物的過程

1.學生嘗試用豎式記錄分小棒的過程。

2.交流展示學生寫的不同的豎式。

3.對比交流：將“先分6捆小棒，再分8根小棒”這兩次均分小棒的過程與豎式的兩層記錄對接起來，再用分小棒的過程來解釋豎式每一層記錄所表示的意思。

4.學生規(guī)范書寫除法豎式，并小結除法豎式的計算方法。

……

從上面的教學環(huán)節(jié)看，學生對算理的理解，與直觀形象的“分”緊密結合。教師讓學生先用小棒代替實物來操作，再將兩次分小棒的過程與除法豎式的兩層記錄對應起來。在這一過程中，教師強化的是用除法豎式記錄兩次分物過程的表面現象，而沒有分析其實質是計數單位的等分。試想，當學生將6捆小棒和8根小棒平均分成2份時，他們看到的是分物，還是分計數單位“十”和“一”？答案顯而易見。學生用小棒進行操作活動，體驗的自然是小棒的等分。當把成捆的小棒拆分開來，學生看見的直接就是“10個一”，并不需要“把1個十轉換成10個一”，因此很難理解“先分幾個十，再分幾個一”的道理。

從以上分析中可以看出，學生產生這兩個學習困惑的原因，是分小棒沒有幫助學生從物的等分上升到計數單位的等分。

三、解決學生兩個困惑的關鍵

如何解決學生的兩個學習困惑，幫助學生從物的等分上升到計數單位的等分呢？關鍵是要凸顯計數單位的轉換。教學中，教師應借助適合的學具（磁扣）來體現計數單位的轉換過程。

以筆算42÷3為例，教師可以用4個大磁扣和2個小磁扣來表示42（如圖5），引導學生聯想到計數單位“十”和“一”。把4個大磁扣和2個小磁扣平均分成3份，應先分4個大磁扣，平均分成3份，每份1個大磁扣，余下1個大磁扣；再根據“退一作十”，將余下的1個大磁扣轉換成10個小磁扣。這種“把1個十換成10個一”的大小磁扣轉換過程，促使學生用兩層豎式表示等分過程，幫助學生完成等分中的升級，即先分十位上的幾個十，將余下的1個十轉換成10個一，和個位上的幾個一合起來再分，從而讓學生理解“除法豎式寫兩層”和“要從十位算起”的道理，同時也為后續(xù)學習三位數除以一位數和小數除法奠定基礎。

具體而言，教師可以設計以下兩個教學活動。

教學活動一：磁扣操作，體驗計數單位的等分

這一學習內容教材安排了2個課時，先學習68÷2（首位能除盡），再學習48÷3（首位不能除盡）。教師設計教學活動時，將2個課時整合為1個課時，并將48÷3改為42÷3，作為例題進行教學。這樣設計主要有兩方面原因：一方面，首位不能除盡的除法更具有一般性，易于遷移到首位能除盡的除法；另一方面，42÷3比48÷3更方便學生操作學具。

1.任務驅動：42÷3的豎式怎么寫？自己先試一試。

2.教學反饋：預設學生主要有兩種不同的豎式寫法（如圖6）。

3.比較分析：如果這兩種寫法都對，你喜歡哪一種？

大部分學生喜歡豎式A，因為豎式A和他們之前學習表內除法時的寫法一樣。而豎式B要寫兩層，比較復雜。

4.教師提問：既然我們都認為豎式A比較好，為什么書上會選用豎式B呢？

這個提問是學生最困惑的問題。學生因為在二年級有學習除法豎式12÷3的經歷，所以會從除法的意義進行思考。

5.回顧除法的意義：42÷3表示什么意思？表示把42平均分成3份，每份是幾。

6.直觀操作。

教師出示4個大磁扣和2個小磁扣（如圖7），提問：這是42嗎？你是怎么知道的？

學生思考：如何把4個大磁扣和2個小磁扣平均分成3份。

教師提問：先分什么？余下的1個十不夠分怎么辦？再分什么？

交流：剛才我們分了兩次。第一次分4個十，將其平均分成3份，每份分到1個十，分掉3個十，還剩1個十。余下1個十不夠分，轉換成 10 個一。第二次分12個一，平均分成3份，每份分到4個一，分掉12個一，正好分完。

教師直接讓學生嘗試不同的算法，呈現學生的兩種不同豎式，直面學生的疑問，而這疑問恰恰指向背后的算理，指向基于意義的操作明理。然后引導學生將教材中的操作學具小棒替換為大小磁扣，在平均分的過程中突出計數單位的轉換。學生第1次先分4個十，剩下1個十不夠分，發(fā)現必須把1個十換成10個一。由此，將兩次平均分的過程呈現在學生面前。

教學活動二：體會記錄，將除法豎式與兩次等分過程進行關聯

1.問題討論：根據分的過程，你覺得這兩種豎式寫法，哪一種比較合理？很多學生認為豎式B比較合理。

2.教師追問：為什么豎式B比較合理呢？很多學生認為豎式B很好地記錄了兩次平均分的過程。

3.教師繼續(xù)追問：你能在豎式B中找到兩次平均分的過程嗎？先分的4個十對應什么？要轉換的1個大磁扣呢？在豎式A中能找到嗎？

4.規(guī)范寫法：用課件動態(tài)演示兩次平均分的過程，學生用豎式記錄。教師示范寫法，并說一說計算過程。

5.比較：同樣是兩位數除以一位數，為什么12÷3 的豎式只需用一層來表示，而42÷3的豎式卻要用兩層？

6.結論：12÷3平均分了一次，所以是一層豎式。42÷3 平均分了兩次，所以是兩層豎式。

在充分體驗計數單位的等分后，學生馬上能將兩次等分過程與兩層豎式一一對應起來。這不僅體現了豎式分步記錄的合理性，還將學具操作與口頭表述、豎式書寫之間進行多向溝通，從而使學生深刻理解除法豎式就是對兩次等分過程的記錄。學生在筆算除法中的“惑”自然就解了。

回顧整個教學過程，教師基于學生學習筆算除法的典型困惑，分析困惑產生的主要原因，依惑而教，將操作學具從小棒變?yōu)榇趴郏谟嫈祮挝坏霓D換中凸顯兩次等分記錄，最終解決學生的困惑。

在小學階段，學生一定還有不少類似的學習困惑。俞正強老師在《種子課2.0：如何教對數學課》一書中寫道：為什么那么多學生對數學學習感到困惑，繼而感到困難？這一定是有原因的。這個原因不是知識本身的對與否，而是教師“教”的這一行為的對與否。很多學生出現的學習困惑，與教師對教材和學情分析不到位，導致教學內容邏輯失序、學習素材選擇失當、教學設計定位不準等有很大的關聯。因此，教師應直面學生的學習困惑，認真解讀教材，合理選擇學習素材，精心設計教學預案，朝著正確的方向，上好每一節(jié)數學課。

（浙江省金華市教育教學研究中心）