基于恒模復值神經網絡的正交相位編碼集設計

邱明劼,王建明,伍光新,張 鵬

(1. 南京電子技術研究所, 江蘇 南京 210039)

(2. 中國電子科技集團公司電子科學研究院, 北京 100041)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO)的思想起源于多變量控制理論,并在20世紀90年代被應用于通信領域[1]。鑒于MIMO技術在通信領域發揮了巨大作用,研究學者們將其概念擴展到了雷達探測領域[2]。經過長期發展,人們對MIMO雷達系統的基本原理和陣列信號處理進行了充分研究,并且隨著數字信號處理和大規模集成技術的成熟,MIMO雷達已成為雷達行業創新且有前景的前沿研究領域[3-5]。

與傳統相控陣雷達每次發射特定波形不同,MIMO雷達可以通過不同的發射陣元同時發射不同的波形,在接收端通過匹配濾波將所有波形分離,并進行聯合處理。采用正交波形發射時,MIMO雷達具有比傳統相控陣雷達更高的分辨率[6]、更好的信噪比改善[7]和更靈活的發射方向圖[8]等諸多優勢,這使得設計具有良好相關特性的正交波形集成為了關鍵[9-11]。

由于無法設計出具有完美相關特性的正交集,因此通常采用最小化代價函數的方式逼近完美特性,常見的代價函數包括累計副瓣電平(ISL)[12]、加權累計副瓣電平(WISL)[13]和峰值副瓣電平(PSL)[14]。文獻[15]基于PSL和ISL共同構建了代價函數,并采用模擬退火(SA)搜索算法進行優化,文獻[16]和[17]中則使用了遺傳算法(GA)來對編碼集進行優化。文獻[18]提出了由波形協方差矩陣(WCM)合成編碼集的循環算法(CA),并被文獻[19]進一步改進為新的循環算法(CAN),使得設計得到的正交相位編碼集具有更好的相關特性。

隨著計算機的發展,神經網絡在雷達系統設計和信號處理等領域得到了廣泛的應用[20-22],復值神經網絡(CV-NN)也逐步被用于雷達通信領域的信號處理[23]。本文也進行了相關嘗試,提出了一種基于恒模復值相關性神經網絡(CMCV-CorrNN)進行正交相位編碼集設計的方法。為保證模值恒定,CMCV-CorrNN沒有像傳統方法那樣將復值權值劃分為實部和虛部進行訓練[24-26],而是對相位分離后單獨訓練。仿真實驗結果表明,所提方法可以在不受編碼序列長度、集合內編碼序列數量限制的情況下,獲得比CAN等現有先進方法相關性更好的正交相位編碼集。

1 問題描述

對于一組正交波形,相關特性包含自相關特性和互相關特性兩個部分。當每個信號波形都與其自身的非零時移不相關時,稱該波形集具有良好的自相關特性;當任意兩個波形與對方任意的時移均不相關時,稱其具有良好的互相關特性。如果將一個由L個波形組成的集合記為{sl(t),l=1,2,…,L},其中t為時間,則上述相關特性可以表示為[27]

(1)

(2)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;E為信號能量;τ表示時移;為實數域;“*”代表取復共軛。

在實際應用中,如果集合中所有波形都是通過相位調制產生的,則該集合稱為正交相位編碼集。假設一個正交相位編碼集由L個離散時間序列組成,每個序列長度為N,則集合中的第l個序列sl可以表示為列向量,即

sl=[exp[jφl(1)], exp[jφl(2)], …, exp[jφl(N)]]T

(3)

式中:j為虛數單位;φl(n)∈[0,2π],是第l個序列中第n個子碼的相位。

因此,編碼集可以表示為N×L復值矩陣,即

(4)

式中:第l列的值即為編碼集的第l個序列。

根據式(1)、式(2)和式(4),該正交編碼集的自相關函數A(sp,k)和互相關函數C(sp,sq,k)應該滿足

A(sp,k)=

(5)

C(sp,sq,k)=

(6)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;sp和sq分別表示集合的不同序列;k表示時移。

如前文所述,一般通過最小化代價函數的方法對正交相位編碼集進行優化,其中,ISL能夠反映兩個序列相關性的整體性能,是最常用的代價函數,可表示為

(7)

由于編碼集內兩個不同序列任意時移的互相關結果都可認為是副瓣,因此將ISL擴展到互相關函數得到累積電平(IL)。

(8)

式中:p≠q;p=1,2,…,L;q=1,2,…,L。

綜合式(7)和式(8)可以得到用于評價正交相位編碼集整體相關性的代價函數,即

(9)

編碼集的優化是一個不斷減小代價函數的值,使其接近于0的過程。一旦將編碼集的所有序列作為網絡權值,單一序列作為輸入,該過程就可以看作是神經網絡的訓練過程。對于作為輸入的第l個序列(長度為N)而言,網絡的期望輸出是只在第l個輸出神經元的第N個輸出為1,而其他位置或其他神經元的輸出均為0。

2 恒模復值相關性神經網絡

基于上述分析,本文提出了一種恒模復值相關性神經網絡(CMCV-CorrNN)來進行正交相位編碼集設計。

2.1 CMCV-CorrNN的結構

根據正交相位編碼集的優化過程與神經網絡訓練的相似性,構造的CMCV-CorrNN結構如圖1所示。

圖1 恒模復值相關性神經網絡結構

2.1.1 輸入層

輸入層只包含一個神經元,每次接收編碼集中的一個復數序列作為網絡的輸入。在訓練過程中,編碼集中的每一個序列依次通過輸入層的神經元進入到網絡進行訓練。當使用第l個序列作為輸入時,這一層的輸出記為向量il。

2.1.2 隱藏層(相關層)

隱藏層包含L個神經元,其數量等于集合中序列的數量,該層用于計算編碼集的互相關函數。因此,直接使用編碼集中的序列作為每個神經元的權重模板,就可以在這一層的輸出端獲得輸入序列的自相關函數和互相關函數。對于該層的第l個神經元,其輸出記為vl。

2.1.3 輸出層

輸出層同樣包含L個神經元,用于對相關層輸出進行取模運算。經過該層后,所有輸出都轉換為實數,這有利于后續損失函數的計算。對于該層的第l個神經元,其輸出記為ol。

2.2 網絡輸入和輸出

網絡的輸入是編碼集中的序列,每個序列均為1×N的行向量。每輪訓練時,編碼集中的所有序列按順序逐個作為輸入使用。

對于每個輸入,在輸出端都將得到L個長度為2N-1的行向量。其中,第l個神經元的輸出是輸入序列與編碼集中第l個序列之間的互相關函數的模。如果輸入恰好是編碼集中的第l個序列,那么第l個神經元的輸出就變成了其自相關函數的模。

2.3 前向傳播過程

在前向傳播之前,用N×L個模為1且相位隨機的復數對隱藏層權值進行初始化。當選取第p個序列ip作為網絡輸入時,根據互相關定義,輸入ip和第l個神經元權值wl的互相關函數的第n個值可以表示為

(10)

隱藏層的第l個神經元的輸出可以寫成如下的矩陣形式

(11)

然后在輸出層,通過計算隱藏層輸出的模,得到網絡的最終輸出。對于輸出層的第l個神經元,取模運算為

(12)

為了獲得更好的相關性,目標真值通常設為正交編碼集的理想自相關和互相關結果,即當輸入為該編碼集的第p個序列時,第l個神經元的第n個元素的目標真值為

(13)

式中:l=1,2,…,L;p=1,2,…,L;n=1,2,…,2N-1。

2.4 后向傳播過程

通過將目標真值與實際網絡輸出相減,即可得到當前網絡的誤差,并選擇均方誤差(MSE)函數作為網絡的損失函數,即

(14)

式中:O(p)為第p個序列作為輸入時網絡輸出構成的矩陣,p∈[1,L]。系數1/2用于對后續計算過程進行簡化。

通過對比式(9)和式(14)可以發現,當輸入序列ip確定且目標真值設置為理想輸出時,二者等價。

接著,采用基于隨機動量梯度下降(SGDM)對網絡進行訓練。根據鏈式法則,當第p個序列作為輸入時,損失函數關于權值wl(n)的梯度可以表示為

(15)

式中:n=1,2,…,N。

(16)

根據式(12),輸出層將復數轉換為實數,則在后向傳播時就需要將向后誤差從實數重新變回復數。為避免傳統方法將該過程拆分為實部和虛部分別計算的問題,將取模運算表示為復數與其自身復共軛的乘積的開方,即

(17)

則輸出層的梯度即可表示為

(18)

從而避免在計算輸出層梯度時分為實部和虛部分別計算。

考慮復數的指數表達形式

c=R(c)+jI(c)=Acexp(jφc)

(19)

式中:Ac和φc分別是復數c的幅度和相位。

結合式(15)、式(18)和式(19),隱藏層的梯度可以分為如式(20)和式(21)所示的幅度和相位兩部分。

(20)

(21)

考慮恒模約束

Al(n)≡1

(22)

式中:Al(n)為第l個權值模板中第n個元素的幅值;l=1,2,…,L;n=1,2,…,N。

在恒模約束下,式(20)恒等于0。將式(11)帶入式(21)可以得到

(23)

(24)

然后將式(23)和式(24)代入式(21),即可得到后向傳播梯度的最終表達式

(25)

最后,按照式(26)、式(27)更新權值wl(n)的相位

(26)

φl(t+1)=φl(t)-ηΔφl(t)

(27)

式中:t表示訓練輪次;β表示動量參數;η表示學習率;φl(t)表示第t輪訓練中第l個模板第n個元素的相位。為避免元素序號n與神經網絡的訓練輪次混淆,在此處將n省略。

綜上所述,使用本文提出的復值網絡設計的正交相位編碼流程如圖2所示。

圖2 本文所提方法流程圖

2.5 訓練參數

網絡的訓練參數如表1所示。

表1 CMCV-CorrNN的參數

從式(25)可以發現,后向傳播時梯度的幅值與編碼集中序列的數量L呈反比例,因此此處將學習率η乘以L,以確保對于具有不同序列數量的編碼集,網絡能夠以近似恒定的速度收斂。

3 仿真結果與分析

為充分驗證本文所提方法設計的正交相編碼集性能,本節設計了一系列不同N和L取值的編碼集,并使用自相關副瓣峰值(ASP)和互相關峰值(CP)作為編碼集相關性的評價指標。

(28)

(29)

式中:p=1,2,…,L;q=1,2,…,L;k表示離散時間。

作為對比,選取了三種代表性算法SA[12]、CAN[20]和Legendre序列(L-seq)[9]與本文方法進行比較。所有編碼集設計結果都使用搭載主頻為3.6 GHz的Intel?CoreTMi7-4790中央處理器和GeForce RTX 3060顯卡的計算機處理得到。

表2顯示了(N,L)=(32, 4)條件下,使用本文方法設計的正交相位編碼集中各序列相位值,編碼集的ASP和CP如圖3所示。從圖3可以得到,該編碼集的平均ASP值約為-16.10 dB,平均CP值約為-15.65 dB。

表2 (N,L)=(32,4)條件下本文方法設計的編碼集相位值

圖3 (N, L)=(32, 4)時以dB表示的設計編碼集的ASP和CP

為了直觀展現本文方法所設計的正交相位編碼集所具有的良好相關性,在(N,L)=(128, 3)條件下設計的編碼集的自相關函數和互相關函數如圖4所示。對于該編碼集,ASP最大值為-21.92 dB,平均值為-22.29 dB,CP最大值為-22.19 dB,平均值為-22.34 dB。

圖4 (N, L)=(128, 3)條件下設計編碼集的自相關和互相關函數

圖5顯示了在(N,L)=(128, 3)例子中損失函數值隨訓練次數變化的過程。

圖5 損失函數隨訓練次數的變化

從圖中可以看出,隨著網絡訓練的進行,損失函數迅速減小,網絡快速收斂,正交相位編碼集的相關性持續改善。

表3給出了在不同N和L情況下,本文方法與3種先進算法設計的正交相位編碼集的平均ASP和CP值。從表中可以看出,不論在何種情況下,本文所提方法設計的編碼集的平均ASP值和CP值均優于其他方法的設計結果。此外,在編碼集中序列數量L不變時,隨著序列長度N的增加,ASP值和CP值均逐步降低,當N從64增加到1024時,ASP值由-19.41dB降低到-30.93 dB,CP值由-19.17 dB降低到-30.91 dB。同時,在序列長度N不變的情況下,隨著編碼集中序列數L的增加,ASP值和CP值緩慢上升。

表3 不同情況下4種算法設計結果的平均ASP值和CP值對比

圖6顯示了當編碼集內序列數量固定為3,序列長度從16變化至4 096時,使用本文方法和使用L-seq方法得到的編碼集的平均ASP值和CP值。從圖中不難看出,隨著序列長度的增加,兩種方法設計得到的編碼集的ASP值和CP值均單調下降,但在相同條件下,本文方法所得編碼集的ASP值和CP值均始終優于L-seq方法的設計結果。

圖6 在L=3情況下,編碼集的平均ASP和CP值

為檢驗本文所提方法的穩定性,在(N,L)=(64, 3)情況下,使用本文方法進行了100次正交相位編碼集設計仿真。每一次仿真時,網絡的權值均重新隨機生成,100次仿真結果得到的正交相位編碼集的ASP和CP值如圖7所示。

圖7 (N,L)=(64,3)時100次仿真設計結果的ASP和CP值

從圖中可以看出,盡管每次仿真中網絡的初始權值是隨機的,但經過訓練后,最終得到的ASP值和CP值幾乎沒有變化,穩定在-19 dB左右。由于網絡的訓練次數始終固定為300,因此圖7表明,本文所提出的CMCV-CorrNN方法能夠在給定周期內穩定地設計出相關性良好的正交相位編碼集。

4 結束語

本文創新地提出了一種使用復值神經網絡進行正交相位編碼集設計的方法。該方法把正交相位編碼集的設計看作是對非線性系統的擬合過程,將編碼序列作為網絡的權值進行訓練,同時通過分離幅度和相位的方法確保僅對相位進行優化,從而保證了在整個訓練過程中網絡權值的幅值始終恒定。

在實驗仿真部分,通過與現有的先進算法進行比較,驗證了本文所提方法能夠得到相關特性更好的正交相位編碼集,證明了所提方法的有效性。