基于原子范數的無網格動目標參數估計

孫 剛,張 威,來 燃,章 濤

(中國民航大學天津市智能信號與圖像處理重點實驗室, 天津 300300)

0 引 言

機載陣列雷達一般處于下視工作狀態,面臨比地基雷達更為嚴重的地雜波問題,目標信號常常被淹沒在強雜波背景中,而且由于平臺運動,不同方位的雜波呈現出空時耦合特性,目標檢測能力受到嚴重影響[1]?？諘r自適應處理(STAP)通過空域和時域二維聯合自適應濾波,有效濾除機載雷達地雜波,實現動目標檢測[2]。采用STAP技術抑制雜波并檢測出運動目標后,需要對目標的空時二維參數進行估計[3],為后續目標定位、跟蹤和識別提供有效的參數信息。傳統的動目標參數估計方法主要是基于最大似然準則的二維參數搜索方法,這種方法的估計精度與搜索步長有關,運算量較大[4]。

近年來,稀疏恢復成為信號處理領域的研究熱點[5-7]。稀疏恢復利用信號的稀疏先驗,通過構造合適的信號稀疏模型,可從少量觀測樣本中高精度恢復出原始的稀疏信號,為機載陣列雷達目標參數估計提供新的研究方向[8]。基于稀疏恢復的動目標參數估計方法利用目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域上的稀疏特性,通過合適的稀疏恢復方法對目標信號進行重構,進而估計出目標的空時二維參數。文獻[4]使用基追蹤(BP)算法對無雜波回波數據進行稀疏恢復,實現了運動目標參數估計。文獻[8]采用正交匹配追蹤(OMP)方法對雷達回波數據進行稀疏恢復,實現了目標多普勒頻率的估計。

目前大多數基于稀疏恢復的動目標參數估計方法將目標參數空間對應的空時平面離散地劃分為有限個網格點來構建空時導向矢量字典,當目標真實參數沒有落在空時平面網格點上,即存在字典失配時,稀疏恢復性能下降[9-13]。為此,文獻[10-12]提出基于失配校正模型的稀疏貝葉斯學習(OGSBI)方法。然而,上述針對字典失配問題的參數估計方法所使用的誤差補償模型基于一階泰勒級數近似得到,當字典網格間隔較大時,模型近似誤差增大。文獻[14]提出利用全變分范數直接在連續參數空間上對稀疏信號進行精確重構,解決了稀疏恢復中的字典失配問題。文獻[15]提出了基于原子范數最小化(ANM)的稀疏恢復方法,并將ANM等價轉化為半正定規劃(SDP)問題的求解,實現頻譜稀疏信號的精確恢復和頻率的超分辨率估計。文獻[16-17]通過將觀測數據矢量化處理以及對塊Toeplitz矩陣的范德蒙德分解,提出了解決二維頻率估計問題的ANM方法,為字典失配情況下的動目標參數估計提供了嶄新的思路。本文針對參數稀疏恢復中的字典失配問題,利用目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性,提出了一種基于原子范數的無網格動目標參數估計方法。仿真結果表明,本文方法在字典失配情況下的參數估計性能優于已有基于字典網格的稀疏恢復參數估計方法。

1 信號模型

考慮采用均勻線陣的機載陣列雷達,如圖1所示。陣列天線由M個陣元組成,陣元間距d=λ/2,λ為雷達工作波長。載機平臺高度為H,且沿y軸運動,速度為vp,θ、φ分別為散射點P的俯仰角和方位角。雷達在一個相干處理間隔(CPI)內發射K個脈沖,脈沖重復頻率為fr。假設待檢測單元內最多存在一個目標,則該距離單元對應的空時快拍數據xpri∈MK×1可以寫成

圖1 機載雷達陣列幾何結構

xpri=xt+xc+xn

(1)

式中:xt為目標分量;xc為雜波分量;xn為噪聲分量;表示復數空間。xt可表示為

xt=γta(ft)=γtad(fd,t)?as(fs,t)

(2)

式中:γt表示目標回波復幅度;a(ft)∈MK×1,表示目標空時導向矢量;?表示Kronecker積?？沼驅蚴噶縜s(fs,t)∈M×1定義為

as(fs,t)=[1,ej2πfs,t,…,ej2π(M-1)fs,t]T

(3)

時域導向矢量ad(fd,t)∈K×1定義為

ad(fd,t)=[1,ej2πfd,t,…,ej2π(K-1)fd,t]T

(4)

式中:fs,t和fd,t分別為目標的歸一化空間頻率和歸一化多普勒頻率。

當目標相對于雷達作勻速運動時,其歸一化空間頻率為

(5)

式中:φt、θt分別為目標的方位角和俯仰角。

歸一化多普勒頻率為

(6)

式中:vt為目標相對于雷達的徑向速度。

2 基于固定離散字典模型的動目標參數估計及字典失配問題

2.1 基于固定離散字典模型的動目標參數估計

基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數估計方法將目標的空時二維參數——方位角和速度空間均勻離散地劃分為Ns×Nd個網格點,對應的方位角參數空間和速度參數空間分別為{φ1,φ2,…,φNs}和{v1,v2,…,vNd},則離散化的空時導向矢量字典可以表示為

Φ=[a1,a2, …,aNsNd]=Vd(fd)?Vs(fs)

(7)

式中:Vs(fs)、Vd(fd)分別為空域導向矢量字典和時域導向矢量字典,即

Vs(fs)=

(8)

(9)

式(1)中空時快拍數據經過雜波抑制[16]后,包含待估參數的目標觀測x的稀疏恢復模型可以表示為

x=Φξ+n

(10)

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξNsNd]T,為稀疏恢復支撐集向量,其每一個非零元素對應一個目標參數;n為噪聲分量。根據稀疏恢復理論,支撐集向量ξ可以通過以下最優化方法獲得。

(11)

式中:‖·‖0表示0范數;‖·‖2表示2范數;ε表示稀疏恢復允許誤差。

通過稀疏恢復方法獲得支撐集向量ξ后,目標的空時二維參數可以由ξ中絕對值最大的非零元素位置所對應的空時導向矢量獲得。由于式(11)所示的優化問題是一個非確定性多項式難題(NP-hard),可以通過其松弛方法求解,如文獻[4]使用BP方法進行目標參數稀疏恢復。

2.2 字典失配問題

基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數估計方法中,字典由均勻離散化的目標參數空間對應的空時導向矢量構成。如圖2所示,當真實目標沒有落在離散化的參數空間網格點上時,存在字典失配問題,嚴重影響稀疏恢復性能。網格化方法構造的字典不可避免地存在失配問題,即目標以較小概率位于網格點上。雖然縮小網格劃分間隔可增大目標落入網格點的概率,但是過于密集的字典網格不僅會導致字典中相鄰原子之間的相關性過強,稀疏恢復性能下降,而且字典的維數也會過大,運算量大大增加[18]。

圖2 字典失配示意圖

3 基于原子范數的無網格動目標參數估計

針對基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數估計方法存在的字典失配問題,本文提出一種基于原子范數的無網格動目標參數估計方法。

目標信號子空間可以由其空時導向矢量張成,回波數據x的協方差矩陣R可以分解為

(12)

連續目標參數空間對應的空時導向矢量的集合可以表示為原子集合A,即

A{a(f)|a(f)∈MK×1,f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=

{ad(fd)?as(fs),fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(13)

(14)

根據目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性以及低秩矩陣恢復理論,目標信號xt可以通過其原子范數最小化估計獲得,即

(15)

(16)

式中:S(T)為K×K的塊Toeplitz矩陣,即

(17)

式中:Ti(1-K≤i≤K-1)為M×M的Toeplitz矩陣,即

(18)

本文算法的具體操作步驟如下:

步驟1 利用子空間投影技術[20]對待檢測單元數據進行雜波抑制,得到雜波抑制后的數據x;

4 仿真實驗

為了驗證本文方法的有效性,通過如下參數生成仿真數據。

天線陣為陣元數M=8的均勻線陣,陣元間距d=0.5λ,雷達工作波長λ=0.23 m,相干脈沖數K=8,脈沖重復頻率fr=2 434.8 Hz,載機平臺高度H=8 000 m,載機速度vp=140 m/s, 180個雜波單元在0°～180°均勻分布,雜噪比CNR=40 dB,雷達距離分辨率為37.5 m。勻速運動目標處于待檢測單元內,位于方位角φt=90.01°處,目標相對于雷達的徑向速度vt=98.99 m/s。實驗對比了本文方法、文獻[4]中的BP方法、文獻[8]中的OMP方法和文獻[12]中的OGSBI方法。OGSBI方法中最大迭代次數為2 000,超參數誤差最大值設置為1×10-3,蒙特卡羅實驗次數為500次。

圖3對比了本文方法、OGSBI方法、BP方法和OMP方法在不同信噪比下的動目標空時二維頻率估計結果。其中,圖3a)為信噪比SNR=10 dB時的估計結果,圖3b)為SNR=20 dB時的估計結果。BP方法和OMP方法中網格點數選取Ns=Nd=16,此時存在字典失配問題。從圖3可以看出,當存在字典失配問題時,BP方法和OMP方法會存在失配造成的估計誤差,OGSBI方法雖然不存在字典失配問題,但其估計結果誤差仍相對較大,而本文方法在字典失配時仍能高精度估計參數。

圖3 動目標空時二維頻率估計結果比較

為了比較字典失配問題在不同字典間隔情況下對BP方法的參數估計性能的影響,BP方法中網格點數分別選取為Ns=Nd=256,Ns=Nd=64,Ns=Nd=16,三種網格劃分方式均存在字典失配問題,且對應的字典間隔分別為Δφ=0.7°、Δv=1.1 m/s,Δφ=2.8°、Δv=4.4 m/s和Δφ=11.3°、Δv=17.5 m/s。圖4為BP方法在不同字典間隔下的參數估計性能隨信噪比變化曲線圖。其中,圖4a)為方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖4b)為速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖?？梢钥闯?字典失配問題越嚴重,BP方法的估計誤差越大,而本文方法則不會隨字典失配而增加估計誤差。

圖4 BP方法在不同字典間隔下的參數估計性能比較

為比較不同字典間隔情況下各方法的計算復雜度,將字典網格依次劃分為16個、32個、64個、128個、256個,并統計各方法運行一次所需的平均時間,蒙特卡羅實驗次數為200次,結果如表1所示。從表中可以看出,通過范數最小化進行求解的BP方法運行所需時間隨網格密度的增大而迅速增加;采用最小二乘法進行迭代殘差求解的OMP方法運行時間雖同樣隨網格密度增大而增加,但其計算復雜度較低,所需運行時間較短;各方法中精度最高的本文方法,計算復雜度及運行時間介于二者之間。

表1 不同字典間隔下各參數估計方法運行時間比較

圖5為四種方法的動目標參數估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖5a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖5b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。從仿真結果來看,圖5進一步體現了本文方法相比OGSBI方法、BP方法和OMP方法在估計精度上的優勢,本文方法雖然在信噪比較低時,方位角和速度估計均方根誤差較大,但隨著信噪比的增大,估計性能逐漸變好。當信噪比接近10 dB時,估計性能接近對應的克拉美羅界(CRB)理論曲線,而BP方法和OMP方法由于存在字典失配問題,參數估計性能并沒有隨著信噪比的增大而提高,OGSBI方法由于受一階泰勒近似估計誤差影響,估計精度有限。

圖5 動目標參數估計性能隨信噪比變化曲線圖

圖6為當雷達相干脈沖數(K=16)固定,陣元數分別為8、12和16時,本文方法得到的動目標參數估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖6a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖6b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。由仿真結果可知,雷達陣元數越多,本文方法得到的動目標參數估計精度越高。

圖6 不同陣元數下的動目標參數估計性能比較(K=16)

圖7為雷達陣元數(M=8)固定,相干處理脈沖數分別為8、12和16時,本文方法得到的動目標參數估計性能隨信噪比的變化曲線圖。其中,圖7a)為目標方位角估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖,圖7b)為目標速度估計均方根誤差隨信噪比變化對比圖。由仿真結果可知,雷達相干脈沖數越多,本文方法得到的動目標參數估計精度越高。

圖7 不同脈沖數下的動目標參數估計性能比較(M=8)

5 結束語

本文針對參數稀疏恢復在字典失配情況下的空時自適應處理中動目標參數估計問題,提出了一種基于原子范數的無網格動目標參數估計方法。該方法利用目標回波在角度-多普勒域的稀疏特性,根據低秩矩陣恢復理論實現目標方位角和速度的稀疏恢復,避免了固定字典網格的稀疏恢復參數估計方法中的字典失配問題,有效提高了動目標參數的估計性能。本文只考慮待檢測單元內最多存在一個目標的情況,針對多目標場景下的參數估計方法是下一步研究的重點。