基于虛實(shí)映射模型的慣容慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試與驗(yàn)證?

李月昊， 程 哲， 胡蔦慶， 黃良遠(yuǎn)， 肖 卓

（1.國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院 長(zhǎng)沙，410073）

（2.國(guó)防科技大學(xué)裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙，410073）

引 言

慣容器［1］是基于機(jī)電相似理論的一種雙端動(dòng)力學(xué)元件，其動(dòng)力學(xué)特征表現(xiàn)為慣性。與電學(xué)中電容器的容性類似，施加在慣容器兩端的力與這兩端間的相對(duì)加速度成正比，這一比例即為慣質(zhì)系數(shù)。動(dòng)力學(xué)中的傳統(tǒng)慣性元件——質(zhì)量，定義在慣性系中，其一端總是接地，并不是一個(gè)真正的雙端元件，因而與質(zhì)量對(duì)應(yīng)的電學(xué)元件為接地電容。若電路系統(tǒng)中僅由接地電容構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)與功能均會(huì)受到接地條件的限制。實(shí)際應(yīng)用中的電容并不須一端接地，從而基于“電容-電感-電阻”基本結(jié)構(gòu)演變出復(fù)雜多樣且功能紛繁的電路系統(tǒng)。慣容的提出完善了機(jī)電相似理論，使得 傳統(tǒng)“質(zhì)量-彈簧-阻尼”系統(tǒng)中亦可存在接于兩質(zhì)量之間的慣性元件——慣容，從而產(chǎn)生“ 慣 容-彈 簧-阻 尼”（inerter-spring-damper， 簡(jiǎn) 稱ISD）［2］系統(tǒng)，而質(zhì)量即可視作一端接地的慣容器。

基于“慣容-彈簧-阻尼”基本結(jié)構(gòu)，學(xué)者們面向不同應(yīng)用場(chǎng)景，主要針對(duì)振動(dòng)控制問(wèn)題，提出了多種含慣容器的機(jī)械系統(tǒng)，例如ISD 懸架系統(tǒng)［3-6］、調(diào)諧質(zhì) 量 慣 容 阻 尼（tuned-mass-damper-inerter， 簡(jiǎn) 稱TMDI）［7-9］系 統(tǒng) 以 及電液慣容彈簧阻尼（hydraulic electric-inerter spring damper， 簡(jiǎn) 稱HE-ISD ）［10］系統(tǒng)等。這些機(jī)械系統(tǒng)極大地豐富了動(dòng)力學(xué)理論，解決了諸多工程實(shí)際問(wèn)題，慣容亦在這些應(yīng)用場(chǎng)景中表現(xiàn)出良好的振動(dòng)控制效果。

慣容器不僅豐富了機(jī)械系統(tǒng)，亦使得質(zhì)量由機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有屬性變?yōu)榭稍O(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。慣容器已有多種實(shí)現(xiàn)形式，如齒輪齒條慣容器［11-12］、滾珠絲杠慣容器［13-15］、液壓馬達(dá)慣容器［16］、流體慣容器［17］以及機(jī)電式慣容器［18］等，均可實(shí)現(xiàn)所需的慣質(zhì)系數(shù)這一核心設(shè)計(jì)參數(shù)。

為保證慣容器被合適安裝，確保慣容器工作于理想慣質(zhì)系數(shù)狀態(tài)，提升慣容器運(yùn)行維護(hù)性能，筆者基于慣容器動(dòng)力學(xué)模型與慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，建立了面向慣容器安裝預(yù)緊力評(píng)估的虛實(shí)映射模型及其實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)中滾珠絲杠慣容器一端固定，以低頻簡(jiǎn)諧力作為慣容器輸入，通過(guò)激光位移傳感器獲取滾珠絲杠慣容器另一端位移響應(yīng)，將該響應(yīng)與模型仿真輸出進(jìn)行對(duì)比分析，為近實(shí)時(shí)調(diào)整實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的安裝預(yù)緊力提供指導(dǎo)。結(jié)果表明，虛實(shí)映射系統(tǒng)可有效近實(shí)時(shí)地判斷慣容器的安裝預(yù)緊力的大小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)慣容器的動(dòng)態(tài)調(diào)控，為慣容器以理想慣質(zhì)系數(shù)平穩(wěn)工作提供基礎(chǔ)，為慣容器的安裝與運(yùn)行維護(hù)提供技術(shù)指導(dǎo)。

1 慣容器模型與慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試

1.1 慣容器動(dòng)力學(xué)模型

慣容器的動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為慣性，其動(dòng)力學(xué)模型如圖1 所示。其中：F1，F(xiàn)2分別為作用于慣容器端點(diǎn)1 與端點(diǎn)2 的外力；x1，x2分別為慣容器端點(diǎn)1 與端點(diǎn)2 的位移；b為慣容器慣質(zhì)系數(shù)。

圖1 慣容器動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of inerter

根據(jù)圖1，有

式（1）表示作用于慣容器兩端點(diǎn)的力與這兩端點(diǎn)間的相對(duì)加速度成正比，這一比例即為慣質(zhì)系數(shù)。

1.2 慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)原理

慣容器慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)原理如圖2 所示。其中：Fv為振動(dòng)臺(tái)所施加簡(jiǎn)諧力；Pv為簡(jiǎn)諧力幅值；ωv為簡(jiǎn)諧力角頻率；t為時(shí)間；kv為振動(dòng)臺(tái)內(nèi)部懸掛彈簧剛度，zb為慣容器非固定端位移，ce為等效阻尼。

圖2 慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)原理Fig.2 Schematic of inertance test experiment

測(cè)試慣容器慣質(zhì)系數(shù)，采用固定慣容器一端，使用振動(dòng)臺(tái)對(duì)慣容器另一端施加簡(jiǎn)諧力，采集力信號(hào)與慣容器非固定端位移信號(hào)，從而計(jì)算慣容器慣質(zhì)系數(shù)。等效阻尼ce主要為慣容器自身結(jié)構(gòu)阻尼，通常認(rèn)為其極小（慣質(zhì)系數(shù)接近理論值時(shí)），但通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，其為慣容器主要非線性因素，受預(yù)緊力影響而波動(dòng)極大。根據(jù)圖2，有

zb的穩(wěn)態(tài)解可表示為

其中：φ為初始相位（因?yàn)閮H關(guān)注zb幅值，予以忽略）。

在本研究中，由于kv遠(yuǎn)小于bωv2，且當(dāng)ce影響可以忽略（慣容器安裝預(yù)緊力合適）時(shí)，式（3）可簡(jiǎn)化為

其中：zbv為zb的幅值，可從激光位移傳感器采集的位移信號(hào)中獲得；Pv與ωv可從力傳感器采集的力信號(hào)中獲得。

根據(jù)式（4）可計(jì)算得到慣質(zhì)系數(shù)。由于慣容器安裝預(yù)緊力的影響，其非固定端會(huì)產(chǎn)生速度波動(dòng)。速度波動(dòng)通過(guò)積分效應(yīng)造成位移響應(yīng)偏移較大，此時(shí)可對(duì)zb進(jìn)行離散求導(dǎo)獲取其速度vb。由式（5）計(jì)算得到慣質(zhì)系數(shù)

其中：vbv為慣容器非固定端速度vb的幅值。

1.3 滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)

本研究以滾珠絲杠慣容器作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證面向慣容器的虛實(shí)映射模型。滾珠絲杠慣容器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3 所示。

圖3 滾珠絲杠慣容器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 The structure diagram of the ball-screw inerter

滾珠絲杠慣容器主要由殼體、螺母、絲杠、飛輪以及軸承（通常為角接觸球軸承）等構(gòu)成，通過(guò)滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，將絲杠的直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為螺母及其上飛輪等旋轉(zhuǎn)部件的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其一端點(diǎn)位于絲杠上，另一端點(diǎn)位于殼體上。

記滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的導(dǎo)程為Ps，滾珠絲杠慣容器中隨螺母一同旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)部件相對(duì)其共同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ir，螺母與飛輪等部件相對(duì)兩端位移靜平衡位置所對(duì)應(yīng)角度位置的弧度為θs，旋轉(zhuǎn)角速度為ωs。

根據(jù)滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)特性，有

忽略摩擦力和平動(dòng)部件的平動(dòng)動(dòng)能與平動(dòng)慣性，以端點(diǎn)1 為參考系，考慮微元時(shí)間dt內(nèi)外力做功與滾珠絲杠慣容器動(dòng)能的關(guān)系，有

式（7）兩端同時(shí)除以dt，并代入式（6）可得

忽略摩擦力和平動(dòng)部件的平動(dòng)動(dòng)能與平動(dòng)慣性，以端點(diǎn)2 為參考系，考慮微元時(shí)間dt內(nèi)外力做功與滾珠絲杠慣容器動(dòng)能的關(guān)系，有

式（9）兩端同時(shí)除以dt，并代入式（6）可得

由式（8）與式（10）可得

因此，滾珠絲杠慣容器的理論慣質(zhì)系數(shù)表達(dá)式為

通常慣容器慣質(zhì)系數(shù)遠(yuǎn)大于自身質(zhì)量，故一般情況下，忽略平動(dòng)部件平動(dòng)動(dòng)能與平動(dòng)慣性是合適的。由于滾珠絲杠慣容器自身結(jié)構(gòu)中存在安裝預(yù)緊力，預(yù)緊力的一部分用于保證穩(wěn)固的連接，另一部分則會(huì)使得支撐軸承預(yù)緊。使軸承預(yù)緊的部分預(yù)緊力會(huì)為螺母附加一阻力矩，該力矩被滾珠絲杠機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化并放大為絲杠平動(dòng)方向上的阻力，使得滾珠絲杠慣容器偏離理論慣質(zhì)系數(shù)。當(dāng)簡(jiǎn)諧力加載時(shí)，該阻力矩與等效阻力亦會(huì)變化。記安裝預(yù)緊力等效附加力矩為Mte，其在絲杠平動(dòng)方向上的等效阻力為Fte，則有

在同樣的輸入簡(jiǎn)諧力情形下，過(guò)大的安裝預(yù)緊力會(huì)使測(cè)得的位移幅值偏小，計(jì)算得到的滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)實(shí)驗(yàn)值偏大；而過(guò)小的預(yù)緊力會(huì)使得安裝不穩(wěn)固，螺母與軸承整體出現(xiàn)絲杠平動(dòng)方向上的竄動(dòng)，使測(cè)得的位移幅值偏大，計(jì)算得到的滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)實(shí)驗(yàn)值偏小。以上兩種情形均為不正確安裝，當(dāng)預(yù)緊力合適時(shí)，測(cè)得的滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)接近理論值。

滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the inertance test experiment system

當(dāng)預(yù)緊力合適時(shí)，慣容器安裝穩(wěn)固，慣容器軸承附加阻力矩微小，此時(shí)測(cè)試得到的慣質(zhì)系數(shù)接近理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力合適時(shí)的力與位移曲線如圖4 所示，其中，Pv=155.5 N，zbv=3.14×10-5m，可得測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)為5 017 kg，接近理論值5 280 kg。

圖4 輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力合適時(shí)的力與位移曲線Fig.4 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is right

輸入力頻率為0.5 Hz 且預(yù)緊力合適時(shí)的力與位移曲線如圖5 所示，其中Pv=74.8 N，zbv=1.33×10-3m，可得測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)為5 698 kg，接近理論值5 280 kg。

圖5 輸入力頻率為0.5 Hz 且預(yù)緊力合適時(shí)的力與位移曲線Fig.5 The input force and displacement when frequency is 0.5 Hz and pre-tightening force is right

當(dāng)預(yù)緊力偏大時(shí)（本研究通過(guò)擰緊慣容器安裝螺釘增加預(yù)緊力），慣容器安裝穩(wěn)固，但慣容器軸承附加阻力過(guò)大，導(dǎo)致所得位移信號(hào)偏移加大，計(jì)算得到的速度幅值偏小，慣質(zhì)系數(shù)嚴(yán)重大于理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)大時(shí)的力與位移曲線如圖6 所示，其中，Pv=79.8 N，zbv=8.71×10-6m，vbv=2.74×10-4m/s，可得測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)為9 270 kg，大于理論值5 280 kg。

圖6 輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)大時(shí)的力與位移曲線Fig.6 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too large

當(dāng)預(yù)緊力偏小時(shí)（本研究通過(guò)擰松慣容器安裝螺釘減小預(yù)緊力），慣容器軸承附加阻力微弱，但慣容器安裝欠穩(wěn)固，螺母與軸承整體出現(xiàn)絲杠平動(dòng)方向上的竄動(dòng)，導(dǎo)致所得位移信號(hào)幅值偏大，計(jì)算得到的速度幅值偏大，慣質(zhì)系數(shù)嚴(yán)重小于理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)小時(shí)力與位移曲線如圖7所示，其中，Pv=71.1 N，zbv=4.43×10-5m，vbv=1.39×10-3m/s，可得測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)為1 630 kg，小于理論值5 280 kg。

圖7 輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)小時(shí)力與位移曲線Fig.7 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too small

2 慣容器虛實(shí)映射模型構(gòu)建

為有效區(qū)分合適的安裝預(yù)緊力與不當(dāng)?shù)陌惭b預(yù)緊力，便于慣容器的運(yùn)行維護(hù)，本研究基于滾珠絲杠慣容器建立了慣容器虛實(shí)映射模型，并搭建了滾珠絲杠慣容器虛實(shí)映射實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如圖8 所示。

圖8 滾珠絲杠慣容器虛實(shí)映射實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.8 The virtual-real mapping system of the ball-screw inerter

該系統(tǒng)主要由滾珠絲杠慣容器、信號(hào)發(fā)生器、振動(dòng)臺(tái)、力傳感器、激光位移傳感器、振動(dòng)臺(tái)功放、力傳感器終端、數(shù)字采集卡、計(jì)算機(jī)及實(shí)驗(yàn)臺(tái)架等構(gòu)成。滾珠絲杠慣容器端點(diǎn)2（殼體）與實(shí)驗(yàn)臺(tái)架固聯(lián)，端點(diǎn)1（絲杠）與振動(dòng)臺(tái)輸出端及力傳感器固聯(lián)。信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生簡(jiǎn)諧電壓信號(hào)輸出至振動(dòng)臺(tái)功放，振動(dòng)臺(tái)功放產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)電流以驅(qū)動(dòng)振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生簡(jiǎn)諧激勵(lì)力。力傳感器及其終端可采集輸入力信號(hào)。激光位移傳感器及采集卡可采集端點(diǎn)1 的位移響應(yīng)。力信號(hào)與位移信號(hào)由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理與分析。

慣容器虛實(shí)映射模型將來(lái)自實(shí)體層的輸入力信號(hào)與位移信號(hào)讀入模型層（僅需若干輸入力周期內(nèi)的信號(hào)），提取輸入力信號(hào)的參數(shù)，從而設(shè)置Simulink 模型的部分輸入并進(jìn)行Simulink 仿真，仿真得到虛擬位移與虛擬速度。由于所需數(shù)據(jù)量小且輸入力穩(wěn)定，所得虛擬位移、虛擬速度可與采集時(shí)間內(nèi)的位移信號(hào)及其計(jì)算得到的速度做虛實(shí)映射，亦可與當(dāng)前時(shí)間內(nèi)滾動(dòng)顯示的位移信號(hào)做虛實(shí)映射。虛實(shí)映射可判斷當(dāng)前慣容器是否工作在理想慣質(zhì)系數(shù)狀態(tài)，安裝預(yù)緊力是否失當(dāng)，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)行維護(hù)，調(diào)整安裝預(yù)緊力。另外，亦可設(shè)置所采集數(shù)據(jù)定時(shí)保存，此時(shí)該模型可循環(huán)更新虛擬位移與虛擬速度（取決于采集卡與傳感器工作方式）。慣容器虛實(shí)映射模型如圖9 所示，其中Simulink 部分如圖10 所示。

圖10 慣容器虛實(shí)映射模型Simulink 部分Fig.10 Simulink part of the virtual-real mapping model of inerter

圖10 所示模型中，對(duì)輸入力信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換可得Pv與ωv，b設(shè)置為理論慣質(zhì)系數(shù)，ce可設(shè)置為0，b與kv參數(shù)見表1，其中zbs為虛擬位移，vbs為虛擬速度。該Simulink 模型可與Matlab 工作區(qū)直接交互，所有參數(shù)均可由程序設(shè)置并由程序控制開始仿真。獲取一定數(shù)據(jù)量的信號(hào)后，該模型僅需一開始操作，即可實(shí)現(xiàn)虛實(shí)映射。

3 虛實(shí)映射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖11 為輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力合適時(shí)的虛實(shí)映射，其對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸入力和實(shí)際位移與圖4相同，此時(shí)慣容器安裝預(yù)緊力合適，慣容器安裝穩(wěn)固，慣質(zhì)系數(shù)接近理想情況。由于受積分效應(yīng)影響，虛擬位移未至穩(wěn)態(tài)，略有偏差，但虛擬速度已至穩(wěn)態(tài)且與實(shí)際速度契合良好。

圖12 為輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)大時(shí)的虛實(shí)映射，其對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸入力與實(shí)際位移與圖6相同，此時(shí)慣容器安裝預(yù)緊力偏大，慣容器安裝過(guò)穩(wěn)固，測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)偏大。實(shí)際位移信號(hào)波動(dòng)較大，其幅值小于虛擬位移。實(shí)際速度信號(hào)非平滑，其幅值小于虛擬速度。

圖12 輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)大時(shí)的虛實(shí)映射Fig.12 The virtual-real mapping results when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too large

圖13 為輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力偏小時(shí)的虛實(shí)映射，其對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸入力與實(shí)際位移與圖7相同，此時(shí)慣容器安裝預(yù)緊力偏小，慣容器安裝欠穩(wěn)固，測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)偏小，慣容器軸承與滾珠絲杠副螺母整體竄動(dòng)，實(shí)驗(yàn)中沖擊噪聲明顯。實(shí)際位移信號(hào)波動(dòng)較大，其幅值大于虛擬位移。實(shí)際速度信號(hào)幅值大于虛擬速度。

圖13 輸入力頻率為5 Hz 且預(yù)緊力過(guò)小時(shí)的虛實(shí)映射Fig.13 The virtual-real mapping results when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too small

所建立的滾珠絲杠慣容器虛實(shí)映射模型及其實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)能夠有效區(qū)分合適的安裝預(yù)緊力及過(guò)大、過(guò)小的安裝預(yù)緊力，可驗(yàn)證面向慣容器的虛實(shí)映射模型原理。實(shí)際上，該虛實(shí)映射模型并不局限于滾珠絲杠慣容器，其他類型的慣容器，如齒輪齒條慣容器等，均可基于相似原理建立虛實(shí)映射模型。

4 結(jié) 論

1） 基于滾珠絲杠慣容器進(jìn)行了慣容器慣質(zhì)系數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了慣容器動(dòng)力學(xué)模型及滾珠絲杠慣容器慣質(zhì)系數(shù)表達(dá)式。慣容器慣質(zhì)系數(shù)易受安裝預(yù)緊力影響，過(guò)大的安裝預(yù)緊力會(huì)使測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)偏大，過(guò)小的安裝預(yù)緊力會(huì)使測(cè)試慣質(zhì)系數(shù)偏小，僅在安裝預(yù)緊力合適時(shí)，慣容器慣質(zhì)系數(shù)接近理論值。

2） 建立了慣容器虛實(shí)映射模型及其虛實(shí)映射實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，開展了虛實(shí)映射實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠有效區(qū)分合適的安裝預(yù)緊力以及過(guò)大、過(guò)小的安裝預(yù)緊力，可驗(yàn)證面向慣容器的虛實(shí)映射模型原理。該虛實(shí)映射模型有利于保證慣容器合適的安裝，監(jiān)測(cè)慣容器是否工作于理想慣質(zhì)系數(shù)狀態(tài)，為慣容器運(yùn)維保障提供技術(shù)支撐。