一道2023北京高中預賽試題的探究

廣東省深圳實驗學校高中部 劉 嘉 (郵編:518000)

這類三角函數(shù)最小值問題在多年前就研究過,其解法很多,本文給出常規(guī)的待定系數(shù)法結(jié)合均值不等式和權(quán)方和不等式法,同時就這類問題從命題人的角度去探究,設計取等條件設計特殊角,以及從分母指數(shù)的調(diào)整改變,來探究一些實用的命題,符合競賽學生用常規(guī)方法去解決問題.

1 解法探究

解法1引入正參數(shù)λ,結(jié)合均值不等式得:

2 變式拓展與引申

筆者對分式中的分子系數(shù)調(diào)整,并經(jīng)一番研究,給出如下:

解引入正參數(shù)λ,結(jié)合由均值不等式得:

①

可解得唯一正根λ,從而可求其最小值.

筆者對分式中的分母指數(shù)調(diào)整,并經(jīng)一番研究,給出如下:

引入正參數(shù)λ,結(jié)合由均值不等式得:

②

證明由已知條件結(jié)合均值不等式可得

解引入正參數(shù)λ,結(jié)合由均值不等式得:

③