融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構

張笑華,劉婷婷,陳富強,何 鵬,阮翔愉

(1.福州大學 土木工程學院,福建 福州 350108; 2.福建建工集團有限責任公司,福建 福州 350001;3.中國建筑第二工程局有限公司,北京 101149; 4.江蘇東華測試技術股份有限公司,江蘇 泰州 214500)

結構健康監測是利用采集到的數據,通過一系列時域[1]、頻域[2]或者小波域[3-4]的信號處理方法,來感知、評估和預警結構的狀態。根據傳統的奈奎斯特采樣定理,結構監測數據采樣頻率必須超過信號最高頻率的兩倍才能確保信號不失真,從而帶來結構實時監測的海量數據,增加監測數據的傳輸和存儲壓力。壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論的出現為SHM信號的采集和分析提供了一種全新的方案[5-6]。該理論對可壓縮信號以遠低于奈奎斯特采樣率的方式進行采樣,并利用重構算法恢復原始信號。鑒于CS理論的優越性,學者們將其應用在圖像恢復[7]、圖像優化[8]、光學成像[9],磁共振成像[10],無線傳感網絡數修復[11]等領域。

CS理論的應用前提是信號具有稀疏性。而土木工程結構的動力響應信號在頻域、小波域或者其它變換域上具有近似稀疏的特性,因此不少學者將CS理論應用于結構健康監測中。Bao等[12]利用CS理論壓縮黃河公路大橋結構健康監測系統采集的加速度數據,并與基于小波變換和霍夫曼編碼方法采集的加速度數據進行比較,分析CS的數據壓縮能力。結果表明,相較于其它方法,CS能將振動數據有效壓縮,減少了數據采集量,節約了數據傳輸與存儲的成本。Peckens和Lynch[13]設計了一個仿生CS方法,利用受耳蝸激發的傳感器采集結構健康監測數據,實時對數據進行高壓縮,提高數據的傳輸效率。季賽[14]提出基于壓縮感知的無線傳感結構健康監測方法,該方法利用高斯隨機矩陣將航空鋁板的振動響應信號從高維投影到低維空間中,以此實現信號壓縮采樣,最后再采用改進的正交匹配追蹤算法對稀疏信號進行重構。張笑華等[15]通過增加觀測矩陣和稀疏基的不相關性對觀測矩陣進行優化,以這種方式提高橋梁結構健康監測的壓縮感知動力響應信號重構精度。這些研究成果表明壓縮感知理論可以運用在結構健康監測數據壓縮和重構上。重構算法的選擇會影響原始信號重構的精度。已有的重構算法可以分為兩類:凸優化算法和貪婪算法。凸優化算法需要對目標函數進行求解,而這個過程可能會非常耗時。貪婪算法雖然速度快,但是它的精度不如凸優化算法高。因此,為了解決這些問題,學者們開始探索新的壓縮感知重構算法,提出了基于貝葉斯框架的重構算法[16-17]。

Ji等[16]首次將貝葉斯理論應用到壓縮感知中,使壓縮感知重構問題與稀疏貝葉斯學習方法相結合,提出一種貝葉斯壓縮感知(Bayesian Compressive Sensing,BCS)算法,并闡述了BCS的理論分析及數學推導。Huang等[17]利用BCS算法來重構近似稀疏信號,并使用北京國家游泳中心(水立方)和臺灣高雄市的一座斜拉橋的結構健康監測系統的真實信號來驗證算法的性能。Ji等[18]在BCS的基礎上設計了一種多任務貝葉斯壓縮感知方法,充分利用了信號之間的統計相關性,基于多任務的稀疏貝葉斯學習理論將一個信號通過不同觀測矩陣進行多次觀測,從多個不同的低維觀測中聯合重構出原始信號,以此降低重構信號的不確定性。馬云飛等[19]提出了一種旋轉機械振動信號貝葉斯壓縮重構方法,通過利用拉普拉斯先驗及稀疏塊相關性來增強信號的稀疏性,從而提高壓縮感知的效率和精度。

由于噪聲的影響,結構健康監測的振動響應信號稀疏性較差,影響了原始響應信號重構的精度。鑒于此,在BCS的基礎上,引入小波閾值減噪的思想,提出一種融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構方法。針對土木工程結構測量信號具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點,采用閾值法增強信號的稀疏度,以改善后續響應重構的精度,通過BCS壓縮信號并重構原始信號,解決橋梁結構健康實時監測海量數據造成存儲和傳輸成本高的問題。

1 貝葉斯壓縮感知

根據壓縮感知理論,N×1的一維信號x可以線性表示為:

x=Ψθ

(1)

式中:Ψ是N×N的稀疏正交基;θ稱為K稀疏向量,K為稀疏度。

信號通過M×N維的觀測矩陣Φ(M

y=ΦΨTx=Φθ

(2)

將稀疏向量θ分解為向量θs與向量θe兩項,式(2)改寫為:

y=Φ(θs+θe)=Φθs+ne

(3)

式中:θs的N-K個元素對應的是K稀疏向量θ中N-K個值最大的元素,其余K個元素為0;θe的K個元素對應的是K稀疏向量θ中K個值最小的元素,其余N-K個元素為0,ne=Φθe。

由于觀測矩陣Φ是隨機的,根據中心極限定理,ne中的元素可視為均值為零、方差為σ2的高斯噪聲。則y的高斯似然模型為:

(4)

由此,將傳統的壓縮感知理論中求解稀疏權重系數問題轉變成稀疏情況下θ稀疏約束的線性回歸問題[20]。

(5)

為了讓噪聲的超參數和信號的超參數相匹配,將噪聲的超參數設為噪聲方差的倒數,即:

α0=1/σ2

(6)

定義超參數α和α0均服從Gamma分布以簡化計算。對超參數α進行邊緣分布計算,得到稀疏向量θ的概率分布函數:

(7)

式中:a、b是Gamma參數。

根據上面所確定的先驗概率分布和觀測信號y可通過貝葉斯準則求得后驗概率分布為:

p(θi|yi,α)=

(8)

其中

(9)

(10)

式中:對角矩陣A=diag(α1,α2,…,αN)。

BCS信號重構的主要任務就是估計先驗超參數α,然后根據式(9)求出稀疏向量μ,也即重構的稀疏向量,然后可恢復所對應的原始信號。

2 快速超參數估計方法

(11)

(12)

式中:C-i表示去掉第i個相關基φi后的協方差矩陣C,后項就是去除的部分。

通過上述計算可以對最大化后驗概率密度函數的似然對數L(α,α0)進行分解:

L(α,α0)=L(α-i,α0)+

(13)

(14)

(15)

式中:si被稱為“稀疏因子”,用來判斷基向量φi是否與模型中剩余所有基向量重疊;qi被稱為“質量因子”,用于矯正去除基向量φi后對模型誤差。

對式(13)進行求導,使其對αi的導數為零可得:

(16)

(17)

(18)

其中B=α0I。根據上式得到的參數Sm、Qm可以用來更新“稀疏因子”si及“質量因子”qi,其數學表達式為:

(19)

由上式可知,當αi=∞時,sm=Sm,qm=Qm。

3 基于閾值法稀疏化振動信號

壓縮感知理論的應用需要先將實際中原信號通過稀疏變換轉化為稀疏向量,然后再利用壓縮感知的原理進行采樣和重構。信號的稀疏度會影響信號的重構效果。在采樣條件不變的情況下,信號的稀疏度越高,原始信號被高精度地恢復的可能性就越高。理想的稀疏信號是指在大部分時刻里信號取值為零,而在少數時刻里信號的幅值相對較大。

而實際上,由信號x經稀疏變換得到的稀疏向量θ并不具有理想的稀疏性。經稀疏變換得到的稀疏向量θ雖在少部分時刻里有較大的幅值,不過在很多時刻里也具有較小的幅值,導致信號的重構精度和重構概率下降。因此為了提高重構概率和重構精度,通過引入小波閾值去噪方法來提升稀疏向量θ的稀疏程度[22]。其基本思想是:根據稀疏向量θ的信號特征,引用硬閾值法[23],對稀疏向量θ進行閾值處理,即根據不同信號在不同壓縮比下設置不同的閾值,比較稀疏向量θ與閾值的大小,將低于閾值的系數置零,高于閾值的系數保持不變。其數學表達式如下:

(20)

通過閾值處理,不僅可以很好地保留信號的局部特征,而且在相同采樣條件下提高信號重構概率和重構精度。

4 融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法步驟

融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法步驟總結如下:

步驟1:選取適當的稀疏基Φ,按照式(1)把信號x在稀疏基Ψ上做稀疏表示,獲取稀疏向量θ,其中Ψ是N×N的稀疏正交矩陣。

步驟5: 計算均值μ及協方差Σ,同時利用式(17)與(18)初始化sm與qm。

步驟8: 更新噪聲方差,根據式(9)和式(10)更新均值μ和協方差Σ,同時根據式(17)和式(18)更新sm和qm。

步驟9: 判斷算法是否滿足收斂條件,如滿足則結束計算,否則重復執行步驟4～步驟9。

5 試驗驗證

為了驗證融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法的有效性和適用性,以實驗室簡支外伸梁和吉安大橋為例,模擬振動信號的壓縮和重構。

5.1 實驗室試驗概況

簡支外伸梁全長4 m,橫截面尺寸為50 mm×15.65 mm。梁的彈性模量E=205 GPa,密度為7 780 kg/m3,泊松比為0.3。將梁先安裝在滾柱軸承和鉸鏈軸承上,然后軸承底板用四個螺栓固定于混凝土塊頂部厚鋼板上,如圖1所示。試驗中在梁的端部安裝了B&K4374型加速度計,利用LDS V451勵磁器、B&K信號發生器和LDS PA500功率放大器相結合以產生隨機激勵,激勵點位置設置在離鉸支座0.5 m的位置,如圖2所示。加速度響應通過數據采集系統KYOWA EDX-100A 以500 Hz的采樣頻率采集。其它有關試驗的詳細情況可見參考文獻[24]。

圖1 簡支外伸梁

圖2 激勵位置和傳感器位置

5.2 簡支外伸梁信號重構及數據分析

為了評價信號的重構效果,定義重構相對誤差為:

(21)

重構相對誤差ξ越小,則重構精度越高。

此外,在壓縮感知的數據壓縮中用到了壓縮比的概念,定義壓縮比為:

(22)

式中:M是觀測信號即壓縮信號的長度,N代表原始信號的長度,均用數據個數來表示。

稀疏基與觀測矩陣分別采用離散余弦基和高斯隨機矩陣,并考慮0.2、0.4、0.6和0.8等四種壓縮比。

在確定閾值大小時,先對采集的加速度信號做稀疏變換,變換后的DCT系數如圖3所示。依照DCT系數經過試算,為了最大程度保留信號的有用信息,所選取的閾值應小于10,這里選取閾值為2、4、6、8,然后利用本文提出的算法對測量的加速度振動響應信號進行壓縮感知重構,重構誤差如表1所示。閾值選取不同,對應壓縮信號的稀疏度也不同,閾值越大,幅值較小的信號被舍棄越多,信號的稀疏度也越大。壓縮比較小時,測量信號保留較多,重構的響應精度較高,則可取較小閾值來稀疏化信號。壓縮比較大時,測量信號保留較少,為了更好地恢復原始信號,可以取較大的閾值,以保留更多的稀疏信號,以提高重構精度。表1中帶下劃線的誤差是不同壓縮比下取不同閾值重構后的最小誤差,對應的閾值可定為該壓縮比下的最合適閾值。因此0.2、0.4、0.6和0.8的壓縮比下分別選取閾值2、4、8和8用于后續的壓縮感知響應重構。

表1 振動信號重構誤差(實驗室簡支外伸梁)

圖3 加速度信號的DCT系數

為了對比分析,將融合閾值法的貝葉斯壓縮感知信號重構結果與未使用閾值化處理的重構結果進行對比,對比結果如圖4所示。

圖4 使用閾值前后的信號重構誤差(實驗室梁)

從圖4可見,用提出的方法重構的結果相比于未使用閾值法得到的重構結果,誤差更小。其時程信號對比如圖5所示,當壓縮比較低時,如不大于0.4時,未使用閾值的與使用閾值的重構時程信號都與原始信號吻合良好;但壓縮比逐漸增大時,未使用閾值的重構時程信號誤差越來越大,而用本文提出的融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構法得到的重構響應仍與原始信號吻合良好。

5.3 吉安大橋簡介及試驗概況

吉安大橋位于江西省吉安市,位于贛江水道之上,如圖6所示。該橋為鋼管混凝土中承式拱橋,全長536 m,主橋橋面總寬28 m,跨徑為36 m+138 m+188 m+138 m+36 m。為了測試橋面豎向的自振特性,在橋吊桿和立柱連接處的上下兩側的橋面上分別選取88個測點,共176個測點,其測點的平面布置圖如圖7所示。其中測點布置的傳感器選用941-B型伺服加速度傳感器,傳感器檢測到的環境振動加速度信號經過INEV-16和IEVN-9多功能放大器的放大和濾波后,由32通道東方科卡數據采集儀進行采集,并將采集到的數據保存到電腦的硬盤中。現場采用的采樣頻率為200 Hz,采樣20 min,每個通道采樣的加速度時程數據為200×20×60=240 000個。其它有關試驗的詳細情況可查看文獻[25]。

圖6 吉安大橋

圖7 傳感器測點布置(單位:m)

5.4 吉安大橋信號重構及數據分析

選取中跨下游D90測點某段10 s的加速度時程信號作為原始信號作為研究對象,對其進行壓縮采樣并重構。其中稀疏基依舊采用離散余弦基,觀測矩陣也選用高斯隨機矩陣,同樣考慮0.2、0.4、0.6和0.8等四種壓縮比。對選取的數據進行稀疏變換,經變換后的DCT系數如圖8所示。

圖8 D90測點加速度信號的DCT系數

依照DCT系數并經過試算,為了保留信號的有用信息,選取的閾值不宜大于4.0×10-4。因此選取閾值為0.5×10-4、1.0×10-4、1.5×10-4、2.0×10-4、2.5×10-4對振動信號進行閾值化處理,然后再使用提出的重構算法重構原始信號。重構結果如表2所示。表中帶下劃線的數值是不同壓縮比下取不同閾值重構后的最小誤差,對應的閾值可定為該壓縮比下的最合適閾值。因此0.2、0.4、0.6和0.8的壓縮比下分別選取閾值1.0×10-4、1.0×10-4、1.5×10-4和2.0×10-4用于后續響應重構。

表2 振動信號重構誤差(測點D90)

圖9是融合閾值法的貝葉斯壓縮感知信號重構誤差與未使用閾值化處理的壓縮感知響應重構誤差的對比圖。從圖9可以看到,在各壓縮比下,利用融合閾值法的貝葉斯壓縮感知重構算法得到的結果精度均高于未使用閾值法的結果,尤其是在高壓縮比的情況下。加速度振動響應信號的時程信號對比圖如圖10所示。從圖10可以看出,經過閾值化處理后的重構信號與原始時程信號吻合更加良好。

圖9 使用閾值前后的信號重構誤差(吉安大橋)

圖10 響應信號時程對比(吉安大橋)

6 結 論

針對結構健康監測因海量數據導致數據存儲和傳輸壓力大以及監測信號受外界環境噪聲影響導致信號稀疏性較差的問題,提出了一種融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法。主要結論如下:

(1) 提出了融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法。根據經稀疏變換所得到的稀疏向量的信號特征,引用硬閾值法,將低于閾值的系數置零,高于閾值的系數保持不變,以此實現對稀疏向量的閾值化處理,從而改善后續的原始信號重構精度。

(2) 提出的算法優于未使用閾值的算法。實驗室簡支外伸梁和吉安大橋的試驗數據分析結果表明,在各壓縮比下,利用融合閾值法的BCS算法重構振動信號的結果優于未使用閾值法的BCS算法得到的結果,尤其是高壓縮比下。

(3) 使用融合閾值法的BCS算法重構得到的時程信號與原始時程信號吻合更加良好,表明融合閾值法的貝葉斯壓縮感知振動信號重構算法是實現用少量采樣數據恢復較為準確原始信號的有效方法。