不同線性擬合方法對直剪試驗結(jié)果影響的分析

羅 杰，賈 靜

（河北省水利水電勘測設(shè)計研究院集團有限公司，天津 300220）

目前，在巖土工程項目檢測試驗中，盡管現(xiàn)行規(guī)程規(guī)范條文大力提倡通過三軸壓縮試驗獲得土的抗剪強度指標，但由于直接剪切試驗（以下簡稱為直剪試驗）的方法簡單、高效和大量經(jīng)驗積累，其仍是目前巖土工程中獲得抗剪強度指標的重要手段。

在直剪試驗數(shù)據(jù)處理方法上，土工試驗規(guī)程［1-2］或土工試驗方法標準［3］中均未指定試驗數(shù)據(jù)線性關(guān)系式的擬合方法， 只在數(shù)據(jù)處理部分的條文中規(guī)定采用圖解法［1-3］確定試樣的抗剪強度指標。但隨著計算機的廣泛應(yīng)用，越來越多的數(shù)據(jù)處理通過計算機來完成。 本文通過實際工程項目的直剪試驗數(shù)據(jù)為例， 分別采用最小二乘法、梯度降減法擬合試驗數(shù)據(jù)的線性關(guān)系式，根據(jù)各自關(guān)系式確定抗剪強度指標C，φ 值。同時,以實際試驗數(shù)據(jù)為標準, 分析采用不同方法擬合的線性關(guān)系式可靠性； 以最小二乘法確定的抗剪強度指標為參照值， 比較其他方法確定抗剪強度指標與其之間的差異。

1 試樣基本物理性質(zhì)指標

試樣的基本物理性質(zhì)指標如表1。

表1 試樣基本物理性質(zhì)指標

從表1 試樣的基本物理性質(zhì)指標可看出：3 個試樣均屬黏性土。

2 直剪試驗數(shù)據(jù)

為更好地比較分析不同線性擬合方法對直剪試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果的影響， 在實際工程工程項目的土工試驗中，選取離散性差別較大的3 組試驗數(shù)據(jù)，如表2。

表2 直剪切試驗數(shù)據(jù)

從表2 可知：在3 組數(shù)據(jù)中，第1 組數(shù)據(jù)的離散性最大，第2 組數(shù)據(jù)的離散性次之，第3 組數(shù)據(jù)的離散性最小。

3 最小二乘法［4-5］

為確定試樣的抗剪強度指標（C，φ），需根據(jù)不同垂直壓力下的抗剪強度繪制關(guān)系曲線或擬合關(guān)系式，一般情況下關(guān)系曲線為直線，關(guān)系式為線性表達式。 通過線性關(guān)系式中的參數(shù)達到確定試樣抗剪強度指標（C，φ）的目的。目前，為提高工作效率和保證成果質(zhì)量， 基本采用辦公軟件或?qū)I(yè)軟件進行數(shù)據(jù)處理。

由于最小二乘法簡便， 是實際工作中較常用的線性關(guān)系式擬合方法。最小二乘法基本原理：采用偏差平方和最小的原則擬合線性關(guān)系式。如設(shè)：線性表達式的型式為y=a+bx，針對表2 數(shù)據(jù)，其矩陣方程組為：

解方程組得：

依據(jù)上述兩式和表2 數(shù)據(jù),分別計算各試樣試驗數(shù)據(jù)擬合的現(xiàn)行表達式參數(shù)a，b 值。計算過程及計算結(jié)果如表3。各試樣的抗剪強度與垂直壓力關(guān)系曲線如圖1。

圖1 抗剪強度與垂直壓力的關(guān)系曲線

表3 各試樣試驗數(shù)據(jù)擬合的現(xiàn)行表達式參數(shù)計算結(jié)果

從圖1 可看到：所顯示公式中的a，b 值與表3 中的計算值完全一致，因此，借助Excel 選取散點圖，其數(shù)據(jù)的線性趨勢線擬合方法采用的是最小二乘法。

4 梯度降減法［4,6］

梯度降減法需進行迭代計算，有時還需進行優(yōu)化后才能確定最后結(jié)果，因此在電算化沒有廣泛普及的年代，其使用受到一定限制。但今天，廣泛普及的計算機應(yīng)用已完全化解此問題。

本文應(yīng)用梯度降減法的基本思路：在坐標圖中，沿著代價函數(shù)在某點處切線的降低方向， 通過各待求變量變化的適當步長，確定代價函數(shù)的下一點，并對應(yīng)1 個預(yù)測函數(shù)。 然后以此點處代價函數(shù)切線的降低方向，通過相同的變量變化步長，確定代價函數(shù)的另一個下降點，同樣對應(yīng)1 個預(yù)測函數(shù)。如此不斷地找下去，直至找到滿足要求的代價函數(shù)最小值或約定的變化值所對應(yīng)的點，此時對應(yīng)的預(yù)測函數(shù)是所需的最終結(jié)果。

設(shè)擬合的線性表達式（預(yù)測函數(shù)）為：y=a+bx

為評判獲得的預(yù)測函數(shù)是否滿足要求，引入均方差代價函數(shù)。

設(shè)均方差代價函數(shù)（或稱平方差代價函數(shù)、損失函數(shù)）為：

式中 m 為數(shù)據(jù)組數(shù)（樣本數(shù)），本文實例中m=4；1/2 為常量， 為在求梯度時能把二次方乘數(shù)加以抵消，這樣方便計算且不會影響計算結(jié)果；yi為試驗實測數(shù)據(jù)值；ya，b為預(yù)測函數(shù)。根據(jù)a，b 值得到預(yù)測的y值。即：ya,b(xi)=a+bxiaj，bj值的迭代計算公式如式（8）～式（9）：

根據(jù)表2 中試樣編號為003004 的試驗數(shù)據(jù)，采用梯度降減法進行迭代計算的過程及計算結(jié)果如表4。 通過優(yōu)化， 在計算過程中aj，bj的初始值選取為：a0=20，b0=0.4；步長值選取為：αa=0.3，αb=0.00002。

表4 直剪試驗數(shù)據(jù)線性擬合表達式參數(shù)a，b 值迭代計算

從表4 中aj，bj的迭代計算過程和計算結(jié)果可看出： 當以均方差代價函數(shù)的最小值或約定的變化值為判斷標準時，a=76.717404，b=0.368912，修約后，a=76.72，b=0.3689。 預(yù) 測 函 數(shù) 的 最 終 關(guān) 系 式 為：y=0.3689x+76.72。 與上述采用最小二乘法獲得的關(guān)系式非常接近。同時，從表4 還可看出：如果持續(xù)增加計算步驟， 那么最終的a，b 值與采用最小二乘法獲得的值完全相同。

同理，根據(jù)表2 中試樣編號為003012 的試驗數(shù)據(jù)， 通過優(yōu)化， 在計算過程中aj，bj的初始值a0=20，b0=0.4。步長αa=0.3，αb=0.00002。當以均方差代價函數(shù)的最小值為判斷標準時，a=42.9775，b=0.341277，修約后，a=42.98，b=0.3413。 預(yù)測函數(shù)的最終關(guān)系式為：y=0.3413x+42.98。

同理，根據(jù)表2 中試樣編號為003032 的試驗數(shù)據(jù)， 通過優(yōu)化， 在計算過程中aj，bj的初始值a0=20，b0=0.4。步長αa=0.3，αbt=0.00002。當以均方差代價函數(shù)的最小值為判斷標準時，a =27.447728，b =0.399208，修約后，a=27.44，b=0.3992。預(yù)測函數(shù)的最終關(guān)系式為：y=0.3992x+27.44。

5 關(guān)系式可靠性分析

為驗證上述關(guān)系式的可靠性， 以試驗實測數(shù)據(jù)為基準值， 比較采用各方法擬合關(guān)系式的計算值與基準值的偏差情況，如表5、表6。從表5、表6 可看出： 采用不同方法擬合的線性關(guān)系式并分別計算在不同垂直壓力下的抗剪強度，計算結(jié)果略有不同，相差不大，但與實測數(shù)據(jù)均存在一定偏差，其偏差絕對值隨各組試驗數(shù)據(jù)離散性增大而增大。

表5 各垂直壓力下抗剪強度的實測值和關(guān)系式計算值

表6 采用不同計算方法線性擬合關(guān)系式計算的抗剪強度與實測值偏差情況

6 不同方法確定抗剪強度指標的差異

最小二乘法：為方便求解，需關(guān)心誤差函數(shù)在迭代值處的局部性質(zhì)， 而不用考慮在迭代值處的全局性質(zhì)，這種方法機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域使用的非常廣泛。

梯度降減法： 是用于找到可微函數(shù)的局部最小值的一階迭代優(yōu)化算法。 為了使用梯度下降找到函數(shù)的局部最小值，采取與該數(shù)在當前點的梯度（或近似梯度）的負值成比例的步驟。梯度下降法每次都以梯度的反方向下降，所以，有可能會走出鋸齒路線，從而增加迭代次數(shù)。

不論什么方法，只要選好初始參數(shù)，就可減少迭代次數(shù)，從而減少計算量。在實際使用中，可根據(jù)具體情況決定用哪種方法優(yōu)化求解。

不同線性擬合方法確定的試樣抗剪強度指標如表7。

表7 不同線性方法確定的抗剪強度指標

從表7 可看出： 兩種方法確定的抗剪強度指標幾乎沒有差別。

7 結(jié)語

（1） 對直剪試驗數(shù)據(jù)線性的擬合方法不是單一的。 擬合方法不同， 其結(jié)果也可能不同。為了保證數(shù)據(jù)的連續(xù)性，盡可能采用同一種線性擬合方法。

（2） 在兩種線性擬合方法中，最小二乘法最簡單、最方便。一組試驗數(shù)據(jù)采用某種方法擬合線性關(guān)系式后，要驗證關(guān)系式的可靠性，當發(fā)現(xiàn)綜合誤差較大且不滿足實際要求時，應(yīng)考慮采用其他線性擬合方法。