探究立體幾何最值問題的常用求解策略

桓 坤

(江蘇省沛縣中學(xué))

以立體幾何圖形為載體,考查有關(guān)最小值或最大值問題,能夠較好地考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力,進(jìn)一步提高空間想象能力、邏輯推理論證能力以及運(yùn)算求解能力,同時(shí)能夠拓寬學(xué)生的解題思維,積累解題經(jīng)驗(yàn).

1 考慮側(cè)面展開圖,巧解有關(guān)最小值問題

求解立體幾何表面上兩點(diǎn)間的最短距離或立體幾何表面上幾條線段長(zhǎng)度之和的最小值時(shí),往往需要先畫出該幾何體的側(cè)面展開圖,這樣有利于將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而從平面幾何的角度去探求最小值,進(jìn)而順利解決目標(biāo)問題.

例1 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝1,AD＝AA1＝2,點(diǎn)E是棱AA1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)平面BED1與棱CC1交于點(diǎn)F,則四邊形BED1F周長(zhǎng)的最小值為( ).

為了便于分析,先畫出長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1,如圖1所示,再畫出其側(cè)面展開圖,如圖2所示.由圖易知,當(dāng)BD1∩AA1＝E,BD1∩CC1＝F時(shí),截面四邊形BED1F的周長(zhǎng)取得最小值.

圖1

圖2

求解的關(guān)鍵是考慮幾何體的側(cè)面展開圖,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而有利于具體分析最小值,然后借助有關(guān)平面幾何知識(shí)加以求解計(jì)算.

2 利用不等式的性質(zhì),巧解有關(guān)最值問題

求解有關(guān)幾何體體積的最值或有關(guān)空間角的某個(gè)三角函數(shù)值的最值時(shí),往往需要借助圖形進(jìn)行適當(dāng)分析,再靈活運(yùn)用重要不等式a2＋b2≥2ab(其中a,b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)成立)或基本不等式(其中a≥0,b≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)成立)巧妙求解目標(biāo)最值問題.

例2 如圖3 所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)Q在平面PAD與平面PBC的交線上,且已知PD＝AD＝1,則直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為_________.

圖3

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為直線l,先證明直線l⊥平面PCD.

由四邊形ABCD為正方形,得AD//BC,又因?yàn)锳D?平面PBC,BC?平面PBC,所以根據(jù)線面平行的判定定理可得AD//平面PBC.

于是,結(jié)合AD?平面PAD,且平面PAD與平面PBC的交線為直線l,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得AD//l.由于四邊形ABCD是正方形,則AD⊥CD,由PD⊥底 面ABCD,得PD⊥AD,又PD∩CD＝D,所以根據(jù)線面垂直的判定定理,可得AD⊥平面PCD.因此,直線l⊥平面PCD.

如圖4所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,可得點(diǎn)P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0).因?yàn)橹本€l⊥平面PCD,且點(diǎn)Q∈l,所以可設(shè)點(diǎn)Q(m,0,1),其中m＞0,則

圖4

題目設(shè)計(jì)比較新穎(沒有具體給出兩面的交線),需要先探究圖形特征(兩面的交線垂直平面PCD),再利用空間向量法,求解線面所成角的正弦值的代數(shù)式,最后在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上,活用基本不等式的變形式a＋b≥2ab順利求解問題.

3 利用函數(shù)的單調(diào)性,巧解最值問題

求解有關(guān)簡(jiǎn)單幾何體體積的最值時(shí),往往需要在“設(shè)元”分析的基礎(chǔ)上,先獲得該幾何體體積的函數(shù)表達(dá)式,再通過構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性順利求解目標(biāo)最值問題.該求解策略充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”以及“函數(shù)與方程思想”在解題中的綜合運(yùn)用,有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).

例3 在三棱錐P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC,且∠ACB＝90°,BC＝PC＝2,若AC＝PB,則三棱錐P-ABC的體積的最大值為________.

如圖5 所示,為了便于分析、求解,先畫出對(duì)應(yīng)的三棱錐.設(shè)PB＝AC＝x,則易知0＜x＜4.因?yàn)椤螦CB＝90°,即AC⊥BC,又 平 面PBC⊥平 面ABC,AC?平面ABC,且平面PBC∩平面ABC＝BC,所以根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,可得AC⊥平面PBC.于是,有.在△PBC中,由余弦定理得

圖5

所以

從而,可知

于是,根據(jù)式①②可以解得VP-ABC的最大值為

本題具有一定的綜合性,需要先根據(jù)“等積法”和解三角形知識(shí)獲得三棱錐P-ABC體積的函數(shù)表達(dá)式,再靈活運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想巧妙求解目標(biāo)最大值.△PBC面積的求解,還可以運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)簡(jiǎn)捷獲解,易知PB邊上的高為,所以

總之,關(guān)注立體幾何中有關(guān)最值問題的常用求解策略,可幫助我們熟知常見題型、常用解題方法,有利于較好地提升學(xué)生在直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的核心素養(yǎng).

(完)