在具身體驗(yàn)中理解、創(chuàng)造
——以“長(zhǎng)方體與正方體表面積含義”為例

文｜黃景鋒

長(zhǎng)方體與正方體的學(xué)習(xí)是學(xué)生建立量感與空間觀(guān)念的關(guān)鍵一環(huán)。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生具有一定的思維能力，可以研究它們的本質(zhì)特征，不僅要對(duì)其進(jìn)行定性描述，更要對(duì)其進(jìn)行定量刻畫(huà)。“表面積”是定量刻畫(huà)的核心概念之一，在研究長(zhǎng)方體與正方體的特征后進(jìn)入了表面積的學(xué)習(xí)。表面積的學(xué)習(xí)關(guān)注面積的求解，更注重對(duì)長(zhǎng)、寬、高與展開(kāi)后平面對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，同時(shí)對(duì)于長(zhǎng)方體與正方體（尤其是正方體）的展開(kāi)圖的學(xué)習(xí)也很關(guān)鍵。筆者認(rèn)為身邊的立體圖形教學(xué)中存在一些共性問(wèn)題，在進(jìn)行“長(zhǎng)方體與正方體表面積含義”這節(jié)課的教學(xué)前后進(jìn)行深度思考，力求能精準(zhǔn)地描述存在的問(wèn)題，從而解決存在的問(wèn)題。

一、課前慎思

“長(zhǎng)方體與正方體表面積含義”從教材內(nèi)容的安排來(lái)看是比較簡(jiǎn)易的，簡(jiǎn)單地出示長(zhǎng)方體與正方體的展開(kāi)圖，通過(guò)簡(jiǎn)要的問(wèn)題厘清其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以總結(jié)出它們的表面積含義。通過(guò)對(duì)義務(wù)教育教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)與《中山市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要義（第二學(xué)段）》的研讀，提出了不同的建議：首先教師用書(shū)對(duì)表面積一般意義的建立提出了先計(jì)算后概括的建議，其次要將正方體的展開(kāi)圖作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)之一。這樣一來(lái)，教師在一節(jié)課中既要致力于解決表面積含義、展開(kāi)圖與原體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又要致力于探究并概括正方體展開(kāi)圖的所有類(lèi)型。

在研讀與初步分析的基礎(chǔ)上，筆者與同年級(jí)教師進(jìn)行探討，并觀(guān)摩學(xué)習(xí)了他們的課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題簡(jiǎn)要概括為以下三點(diǎn)。

1.教學(xué)內(nèi)容含量大。正如前文所分析，本節(jié)課既要致力于解決表面積含義、展開(kāi)圖與原體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又要致力于探究正方體展開(kāi)圖的所有類(lèi)型，同年級(jí)教師都沒(méi)能在一節(jié)課中完成教學(xué)內(nèi)容，都不得不使用兩節(jié)課時(shí)分別探究。

2.表面積的含義理解不透徹。教材定義的是長(zhǎng)方體與正方體的表面積，但對(duì)表面積卻加以忽視。教學(xué)用書(shū)中提及：“理解長(zhǎng)方體、正方體的表面積后，教師可進(jìn)一步拓寬表面積的概念，任何幾何體外表面的面積之和就是它的表面積，建立表面積的一般意義”。筆者深以為然，但表面積概念的建立是從特殊到一般還是從一般到特殊值得商榷。

3.教學(xué)難點(diǎn)難突破。一是展開(kāi)圖與原體的對(duì)應(yīng)關(guān)系依然難理解，二是難以探究正方體的所有展開(kāi)圖。教師用書(shū)雖強(qiáng)調(diào)“折疊想象”，但從學(xué)生的表現(xiàn)情況來(lái)看，過(guò)分依賴(lài)“折疊想象”使學(xué)生難以理解。

為嘗試解決發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，筆者通過(guò)思考形成了以下想法：

第一，提供直觀(guān)性強(qiáng)的教學(xué)工具進(jìn)行具身體驗(yàn)。筆者在學(xué)習(xí)他人的課堂中發(fā)現(xiàn)可探究的學(xué)具是學(xué)生從家里攜帶的長(zhǎng)方體與正方體包裝盒，展開(kāi)后五花八門(mén)，其中的非數(shù)學(xué)元素大大擠占了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間與時(shí)間，同時(shí)“折疊想象”太多、難度太大，因此需要提供更直觀(guān)的研究對(duì)象，教師應(yīng)協(xié)助學(xué)生在課前制作相同數(shù)量與大小的長(zhǎng)方體與正方體。

第二，更合理地建構(gòu)“表面積的概念”。教師用書(shū)中建議采用先學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體與正方體的表面積”再拓展至一般意義的“表面積”，運(yùn)用的思路是“特殊—一般”。這樣一是特殊的例子太單一、不生活化，二是采用的邏輯是小學(xué)常用的歸納推理，是否可以嘗試從“一般—特殊”或“特殊—特殊”來(lái)更合理地建構(gòu)“表面積的概念”。

二、課中體驗(yàn)

（一）在具身體驗(yàn)中理解“表面積”的含義

片段：

師：在三年級(jí)時(shí)，我們學(xué)習(xí)了面積，它是指平面圖形的大小，今天我們要學(xué)習(xí)表面積，什么是物體的表面積呢？你能結(jié)合下面的物體說(shuō)一說(shuō)嗎？

生1：橘子的表面積就是橘子皮有多大。

師：如果要知道它的表面積你們有什么好方法嗎？

生2：剝下來(lái)，然后切成我們學(xué)過(guò)的圖形計(jì)算。

師：真有創(chuàng)造力！竟然想到了把體轉(zhuǎn)化成面，化未知為已知。它呢（指著長(zhǎng)方體）？

生2：長(zhǎng)方體的表面積是指所有面的面積加起來(lái)。（追問(wèn)：你能摸一摸給大家看看嗎？學(xué)生邊摸邊說(shuō)：上下、前后、左右）

師：這是我們現(xiàn)在對(duì)表面積的理解，不一定準(zhǔn)確，今天我們就來(lái)深入學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體與正方體的表面積含義”。

理解“表面積”的含義需要具身體驗(yàn)，這種體驗(yàn)要做到調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，也要在操作（此處是觀(guān)察、觸摸與想象）中體驗(yàn)。

筆者讓學(xué)生先談?wù)勛约簩?duì)“表面積”的理解，學(xué)生會(huì)將“面積”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)嘗試自己去理解“表面積”的含義，并用生活中的事物激發(fā)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)有趣味、值得思考的問(wèn)題：“如果要知道橘子的表面積你們有什么好方法嗎？”滲透化體為面后表面積是不變的，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

教學(xué)用書(shū)中“特殊—一般”的概念建構(gòu)邏輯，筆者通過(guò)思考認(rèn)為調(diào)整為“特殊—特殊—一般”更適合。從生活中的事物引入，讓學(xué)生談?wù)勯L(zhǎng)方體的表面積，這是“特殊—特殊”的過(guò)程，通過(guò)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)后，再?gòu)纳钪械氖挛锱c立體圖形兩方面歸納總結(jié)“表面積”的含義，這是“特殊—一般”的過(guò)程，更具說(shuō)服力。整個(gè)概念的建構(gòu)經(jīng)歷了“特殊—特殊”的類(lèi)比，在經(jīng)歷“特殊—一般”的歸納，使建構(gòu)過(guò)程中的具身體驗(yàn)更充分。

（二）在具身體驗(yàn)中深度理解展開(kāi)圖與立體圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

片段：

師：現(xiàn)在就請(qǐng)大家先將手里的長(zhǎng)方體標(biāo)上“上下前后左右”再展開(kāi)。（學(xué)生基本剪完后出示問(wèn)題，將學(xué)生的生成貼在黑板上）展開(kāi)圖和原來(lái)的長(zhǎng)方體什么變了，什么沒(méi)變？展開(kāi)后的6 個(gè)面有什么特點(diǎn)？先觀(guān)察思考再討論。

生1：原來(lái)是體，展開(kāi)是平面。

生2：展開(kāi)的面就是原來(lái)長(zhǎng)方體的表面，所以面積沒(méi)變。

生3：原來(lái)有棱，都變成了邊。

生4：兩個(gè)相同的面都隔著一個(gè)面，不連在一起。

師：大家觀(guān)察得很仔細(xì)、很深刻。那每個(gè)面的長(zhǎng)和寬與原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有什么關(guān)系？先觀(guān)察。（學(xué)生手里分別有一個(gè)展開(kāi)的長(zhǎng)方體和一個(gè)未展開(kāi)的長(zhǎng)方體）

生5：（結(jié)合長(zhǎng)方體、展開(kāi)圖、三線(xiàn)圖說(shuō)一說(shuō)每個(gè)面的長(zhǎng)和寬與原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的對(duì)應(yīng)關(guān)系）

師：（學(xué)生輪番解釋?zhuān)處熜〗Y(jié)）現(xiàn)在結(jié)合自己手中的長(zhǎng)方體與展開(kāi)圖與同桌說(shuō)一說(shuō)對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

為使學(xué)生深度理解展開(kāi)圖與原體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，筆者一方面注重直觀(guān)教學(xué)，另一方面也嘗試對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行深加工。

1.對(duì)教材的問(wèn)題進(jìn)行再加工

教材中原本的問(wèn)題是：“哪些面面積相等？”對(duì)于這樣的問(wèn)題學(xué)生不需要經(jīng)過(guò)深入思考就可以得出結(jié)論，對(duì)于表面積的含義與對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解少有幫助，真正有幫助的是通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)變與不變的關(guān)系。雖然化體為面，還是6 個(gè)面且表面積不變，每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬也是源于原來(lái)的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。學(xué)習(xí)材料沒(méi)有變化，但是更有深度的問(wèn)題學(xué)生會(huì)有更深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，深層次、多角度的體驗(yàn)使學(xué)生的生成更加豐富，也將體與面對(duì)應(yīng)起來(lái)。

2.對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)直觀(guān)化

每個(gè)面的長(zhǎng)和寬與原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有什么關(guān)系？這一問(wèn)題是本節(jié)課的重難點(diǎn)，對(duì)于表面積的求解至關(guān)重要，但是展開(kāi)圖的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)量都發(fā)生了變化，很難一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。此處我設(shè)置了三個(gè)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生更直觀(guān)地理解、更深度地思考：

（1）板書(shū)長(zhǎng)方體的三線(xiàn)圖，便于學(xué)生想象觀(guān)察。

（2）學(xué)生上臺(tái)講解時(shí)借助紙質(zhì)展開(kāi)圖來(lái)解釋?zhuān)厦媸窃瓉?lái)的長(zhǎng)方體，下面就是展開(kāi)圖，并且讓學(xué)生在講解時(shí)可以將展開(kāi)圖折疊還原，過(guò)程是動(dòng)態(tài)的。

（3）學(xué)生給教師講解之后，再讓學(xué)生結(jié)合自己手中的展開(kāi)圖與原來(lái)的長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)來(lái)給同桌講解，加深理解。

層層遞進(jìn)，想明白、說(shuō)清楚，每個(gè)學(xué)生都能直接接觸學(xué)習(xí)材料，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題的答案。采用直觀(guān)教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的具身體驗(yàn)更豐富。

（三）在具身體驗(yàn)中創(chuàng)造不同的展開(kāi)圖

片段：

師：長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖是這樣的，那正方體的展開(kāi)圖又是什么樣的呢？試一試吧。

學(xué)生操作，教師相機(jī)指導(dǎo)，將學(xué)生的生成展示在黑板上。

師：剛剛大家的正方體展開(kāi)圖已經(jīng)有些是不同的了，其實(shí)還有很多，請(qǐng)大家再用手里的正方體試一試，找出不同的展開(kāi)圖（每人手里有兩個(gè)正方體）。

學(xué)生操作，教師相機(jī)指導(dǎo)，將學(xué)生的生成展示在黑板上。由于擺的方向不同，板書(shū)出現(xiàn)了重復(fù)的展開(kāi)圖。

師：請(qǐng)大家觀(guān)察黑板上的展開(kāi)圖，發(fā)揮想象力，說(shuō)說(shuō)有沒(méi)有什么要調(diào)整的？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)有重復(fù)部分并上臺(tái)演示）

師：這些展開(kāi)圖如果讓你分類(lèi)，你想怎么分？和旁邊的同學(xué)交流。

由于分類(lèi)難度太大學(xué)生沒(méi)能做到完美分類(lèi)，但此處分類(lèi)重點(diǎn)是讓學(xué)生認(rèn)真觀(guān)察、總結(jié)各個(gè)展開(kāi)圖的特點(diǎn)即可。教師用希沃白板展開(kāi)正方體的141 類(lèi)型，并讓學(xué)生觀(guān)察特點(diǎn)，總結(jié)141 類(lèi)型，順延到其他類(lèi)型。

在探究正方體展開(kāi)圖時(shí)不能只靠想象，而是要操作與想象并舉，做到多個(gè)層次具身體驗(yàn)。

三、課后反思

從上文中我們可以窺視到所謂的具身體驗(yàn)絕不只是長(zhǎng)時(shí)間的體驗(yàn)，它既要求有充足的時(shí)間體驗(yàn)，又要有合適的學(xué)習(xí)材料（立體圖形需要借助更直觀(guān)的學(xué)習(xí)工具）來(lái)體驗(yàn)，更要設(shè)置值得思考的關(guān)鍵問(wèn)題促使深度思考，使體驗(yàn)更充分。具身體驗(yàn)不僅能獲得理解性的教學(xué)，還能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，使學(xué)生在體驗(yàn)過(guò)程中積累更豐富的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（一）在直觀(guān)教學(xué)中具身體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程

小學(xué)生形成空間觀(guān)念主要依靠“視”與“觸”，亦主要手段是觀(guān)察與操作，兩項(xiàng)都屬于直觀(guān)教學(xué)范疇。囿于小學(xué)生思維發(fā)展能力、空間想象能力不足，教學(xué)過(guò)程中我們往往會(huì)陷入“既然能力不足就應(yīng)該讓學(xué)生多想象”的誤區(qū)，空間觀(guān)念或者更上位的空間想象能力的提升是建立在建構(gòu)充足的幾何圖形表象基礎(chǔ)上的，在學(xué)生還不能完全掌握幾何圖形特征時(shí)就一味地去想象，對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)無(wú)疑是無(wú)根之木。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形的教學(xué)應(yīng)盡量進(jìn)行直觀(guān)教學(xué)，在學(xué)生對(duì)某種或某類(lèi)幾何圖形充分了解后再肆意想象，在直觀(guān)教學(xué)中充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（二）在具身體驗(yàn)中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

體驗(yàn)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的一種深化和超越；體驗(yàn)是經(jīng)驗(yàn)中詩(shī)意與個(gè)性色彩的一種形態(tài)；體驗(yàn)是一種注入生命意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。體驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)雖不同，但有一定的邏輯關(guān)系，體驗(yàn)后經(jīng)過(guò)概括總結(jié)才能形成經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)充分與否也會(huì)影響經(jīng)驗(yàn)的質(zhì)量。因此，經(jīng)驗(yàn)源于體驗(yàn)，數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更多源于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具身體驗(yàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生在具身體驗(yàn)中積累更多基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以有助于后期學(xué)習(xí)的遷移。

在“長(zhǎng)方體與正方體的表面積含義”一課的教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)了一些自身教學(xué)中存在的并嘗試去解決的問(wèn)題。僅從一節(jié)課來(lái)展開(kāi)，不免有管中窺豹之嫌，但筆者也希望能從大處著眼，小處著手，以小見(jiàn)大。無(wú)論如何，毋庸置疑的是只有在教學(xué)中充分進(jìn)行具身體驗(yàn)，才能使學(xué)生更深度理解、更善于創(chuàng)造。