基于聯系數和系統功能狀態的因素聯系分布式構建與應用

崔鐵軍，李莎莎

（1. 沈陽理工大學 環境與化學工程學院, 遼寧 沈陽 110159; 2. 遼寧工程技術大學 安全科學與工程學院, 遼寧葫蘆島 125105; 3. 遼寧工程技術大學 工商管理學院, 遼寧 葫蘆島 125105）

系統運行期間必然會受到各種因素影響。如果以系統完成功能為目標，那么一些因素的數值增加有利于系統完成功能；一些因素則不利于完成功能，也必然有一些因素對系統完成功能的作用不清楚。這是客觀存在的，也影響著系統實現自身功能的能力。對于一種環境，其中蘊含著很多因素，如何判斷該環境是否有利于系統實現自身功能成為關鍵問題。將某一時刻系統實現自身功能的能力狀態稱為系統功能狀態[1-2]，所有時刻的系統功能狀態按時間順序的集合稱為系統故障演化過程(system fault evolution process, SFEP)[3-5]。這些定義是作者為了完成對系統故障過程的分析和研究提出的。顯然SFEP 必然受到因素影響，不同的因素及其數值變化使得SFEP 出現多樣性、不確定性和隨機性。其本質原因就是因素變化與系統功能狀態變化，即系統故障特征的變化關系不清造成的。當然這也與測量SFEP 的系統有關，其涉及被測SFEP、測量儀器、測量環境和觀察者[6-8]，其中最為關鍵且最易變化的是測量環境，即影響因素。因而無論是系統本身的功能變化或是測量導致的不確定，其主要原因都是因素變化。相較于單因素影響，多因素影響更為復雜。需要確定各因素作用，解決因素的冗余、相關和隱秘性等問題。使用現有方法分析尚存在問題，但因素對系統功能狀態、SFEP 和系統故障等的影響是普遍、顯著和直接的。為使系統實現功能正常運行，確定不同因素在運行環境中對系統功能狀態的影響是必須解決的關鍵科學問題。

就因素對系統功能、故障、安全和風險等的影響研究較多[9-20]。這些研究從不同角度及領域對因素影響系統功能的問題進行了分析。其中有各領域內獨特的因素作用分析方法，也有在系統層面給出的通用分析理論，例如因素空間、屬性論等。這些成果為研究上述問題提供了有益借鑒，但仍存在難以解決的問題。因素對系統功能狀態的影響，應基于因素數值變化與系統功能狀態變化之間的關系確定；需要同一函數式對所有因素影響系統功能狀態的情況進行表示，而不是復雜的疊加形式；函數式應能動態地進行影響等級合并和擴展；多因素影響能通過簡單的統計方法得到。從而構建統一、可變、多因素共同作用的因素變化與系統功能狀態變化的關系表達式。該表達式采用上述文獻方法顯然難以構建。

為解決上述問題，作者基于提出的系統功能狀態概念[21-22]，將因素導致系統功能變化的不同等級使用集對分析的聯系數形式表示。確定因素聯系分布式的因素聯系分布系數，最終得到分布式。

1 聯系數與系統功能狀態

集對分析理論是處理系統確定性與不確定性的數學理論，是由我國學者趙克勤在1989 年提出的[23-25]，其核心工具是聯系數。聯系數是一種結構函數，其中每一項代表了一類數據對系統的影響程度；所有項代表了系統狀態的所有等級；而且所有項在聯系數中都是有序的。各項都由分項系數和等級（狀態）標記組成。最簡單的二元聯系數μ=a+bi。一是確定和不確定的對立關系，a和b分別代表確定和不確定的占比；二是可靠和失效的對立關系，a和b分別代表可靠和失效的占比。三元聯系數也是經典聯系數，μ=a+bi+cj。三元聯系數的各項可分別解釋為可靠、不確定和失效。a、b和c分別代表可靠、不確定和失效的狀態占比。它可退化為二元聯系數，將可靠和失效合計為確定狀態a，而b表示的不確定狀態不變。

綜上可見聯系數的特點是二元辯證對立的，是兩種基態（可靠和失效）的綜合表現；兩種狀態的比例可以改變；項數代表的不同系統功能狀態等級可根據需要拓展或合并。因此聯系數是一種動態自適應的結構函數。這與系統功能狀態的表示極為契合，系統功能具有可靠和失效兩個基態；在不同因素影響下可相互轉化；實際的系統功能狀態屬于在可靠和失效狀態之間存在的多種狀態等級。

聯系數的特點和系統功能狀態的特點是對應性，可使用一個聯系數統一表示系統功能狀態的所有等級，以及這些等級出現的概率、比例或可能性。

2 因素聯系分布的思想

上文論證了聯系數可綜合的表示系統功能狀態。根據定義，系統功能狀態是表示某一時刻系統實現功能的能力狀態。這意味著對于該時刻的系統功能狀態是不變的。但實際上系統工作于環境之中，隨著時間發展，影響系統的因素也必然發生變化。將所有系統功能狀態組合起來就是一個系統功能的動態變化過程。將多因素影響下系統實現自身功能的能力變化過程定義為SFEP。

SFEP 中所有時刻都對應著確定的系統功能狀態，而所有系統功狀態按照演化時刻能組成SFEP。問題在于如何在SFEP 中，研究所有因素對系統功能狀態的作用；并根據這些作用將因素按照影響等級進行歸類，最終表示在同一個聯系數中。由于在多因素影響下，不同因素數值組合必然導致對系統功能狀態的影響不同。因此因素聯系分布式應該是一個具有因素變量的函數式。將所有因素作為坐標軸構成因素空間[26-27]。空間中不同位置的因素對功能狀態的影響不同，因此該函數式表示了在因素空間中的一種隨因素變化的數值分布。

對于因素聯系分布式的數值表示問題，最直接的方法是確定因素變化與系統功能狀態變化的關系，即確定它們單位變化率的關系。可使用求導方法確定它們變化的數值關系。對求導后得到的導數式，將所有因素值代入得到導數值并進行劃分，形成多個不同的數值區間。導數為正且值越大者表明因素與系統功能狀態的正相關性越強；導數為零表示不相關；導數為負且數值越大代表負相關性越強。將這些劃分對應于各系統功能狀態等級，即因素聯系分布式中的各項。各項的分項系數可根據在該等級的因素數量與總因素數量的比值確定。從而構造同時表示多因素影響的因素聯系分布式。

3 因素聯系分布式構建

以確定的系統功能為目標，以可靠、不確定和失效劃分系統功能狀態等級，考慮所有影響系統功能的因素，確定所有因素同時作用時使系統處于可靠、不確定和失效的因素數量分布情況，利用聯系數形式表達分布情況的式子稱為三元因素聯系分布式。以因素值域為坐標變化區域，以所有影響系統功能的因素作為坐標軸形成了因素空間，影響的作用在空間中可能是點、線、面或更高維度形態。

設影響系統功能狀態的因素集合為F={f1,f2,···,fN}，n=1,2,···,N，fn∈F，N為因素數量。這些因素對應的因素數值集合為X={x1,x2,···,xN}，xn∈X，xn為fn的一個確定值。所有因素的值域集合為A={a1,a2,···,an}，xn∈an，an為fn的值域。這時三元因素聯系分布式 μ3為

進一步，對式（1）中變量進行解釋和計算。上文提到因素聯系分布式代表了所有因素f1,f2,···,fN對系統功能狀態的影響。式中a代表了使系統功能狀態為可靠的因素占比，是以x1,x2,···,xN為變量的可靠因素聯系分布系數；b代表了系統功能狀態不確定的因素占比，是不確定因素聯系分布系數；c代表了系統功能狀態為失效的占比，是失效因素聯系分布系數。那么確定各因素在其余因素不變情況下對系統功能狀態的作用等級是關鍵問題。對系統功能狀態就單一因素值在其余因素值不變時求偏導，得到的偏導式將所有因素數值帶入，如果導數值小于0 則為可靠狀態、等于0 不確定、大于0 為失效狀態。

上述對可靠、不確定和失效的劃分是由于使用到空間故障樹理論基礎中的系統故障概率分布p(x1,x2,···,xN)造成的。p(x1,x2,···,xN)規定所有影響系統故障的因素作為因素坐標軸，系統故障概率為因素空間中曲面的數值。因此故障概率100%為最大值，即完全失效；故障概率為0 是最小值，即完全可靠。因此使用p(x1,x2,···,xN)計算因素聯系分布式的各分布系數。對于分布系數，導數大于0 意味著系統向著失效方向發展，導數小于0 代表向著可靠方向發展。

式（1）中得到的三元因素聯系分布式不是單一值，它代表了在因素空間的不同位置有不同值，空間中的一點是x1,x2,···,xN值的組合，所以因素空間是所有因素值域的組合，設為Γ=a1×a2×···×an。

在多因素影響下，在空間 Γ中，p(x1,x2,···,xN)對因素fn的變化率，即為p(x1,x2,···,xN)對單一因素fn求偏導，偏導式為Vn：

將x1,x2,···,xN值代入式（2）中，如果Vn|=x1,x2,···,xN＞0，則該時刻fn在 Γ中使系統故障概率增加；如果Vn|=x1,x2,···,xN=0，則該時刻fn在 Γ中使系統故障概率不變或不確定；如果Vn|=x1,x2,···,xN＜0，則該時刻fn在Γ中使系統故障概率減小。

因此設a′、b′和c′分別是使系統故障概率減小、不確定和增加的因素數量，初始值均為0。那么對于因素fn，在因素值為x1,x2,···,xN時刻，如果Vn＜0，則a′=a′+1；如果Vn=0，則b′=b′+1；如果Vn＞0，則c′=c′+1。

對于所有因素f1,f2,···,fN，循環n=1,2,···,N，統計在 Γ中所有位置，即所有因素數值組合情況下，落在a′,b′,c′中的因素數量。在任意x1,x2,···,xN數值組合時Vn的數值只能屬于a′,b′,c′之一。統計后即可得三元因素聯系分布式 μ3的數值表達式為

設系統可靠為功能目標，那么式(3)中，可靠因素聯系分布系數不確定因素聯系分布系數；失效因素聯系分布系數i和j代表了上述3 種系數的標記。從而最終實現了式(1)的定量計算式。

4 多元因素聯系分布

第3 節確定了三元因素聯系分布式，對于二元和多元因素聯系分布式的確定如下。

參考二元聯系數μ2=(a+c)+bi，利用式（1）可得二元因素聯系分布式，μ2(x1,x2,···,xN)=(a(x1,x2,···,xN)+c(x1,x2,···,xN))+b(x1,x2,···,xN)i。

對于M元因素聯系分布式為

元數不同即表示將因素對系統功能狀態影響的等級劃分不同。M元將系統功能狀態等級劃分為M級，即在所有因素x1,x2,···,xN時刻，將Vn的值域劃分為M-1個區間。如下對這M-1個區間的范圍進行具體劃分，其中Max{Vn}和Min{Vn}分別代表著系統功能狀態在因素fn作用下在 Γ中（所有因素數值組合中Vn）的最大值和最小值。

與三元因素聯系分布式的確定方法相同，循環n=1,2,···,N，統計則得到式（4）的數值表達形式：

上述過程實現了二元到多元因素聯系分布式的推導及計算過程。主要目的在于研究在多因素影響下，所有因素在值域的變化過程中，所有因素對系統功能狀態的影響。如果因素空間的某一區域中使系統可靠的因素較多，說明該區域適合系統功能實現；反之使系統失效的因素較多時，該區域則不適合系統功能實現；且一般情況下適合和不適合系統實現功能的區域之間都存在著不確定的區域。因此使用三元因素聯系分布的概念和分布式研究因素與系統功能狀態的關系是較為理想的。如果試圖更為詳細的區分因素作用則需要建立多元因素聯系分布式。

5 實例分析

考慮到圖像展示，使用三維圖像只能考慮兩種因素的影響，保留一維用于展示故障概率等曲面信息。因此設有2 個因素影響該系統的功能狀態，因素集合為F={f1,f2}，因素值集合X={x1,x2}，因素值域為x1∈a1=[0,15]，x2∈a2=[0,15]，則因素空間為Γ=a1×a2。系統故障概率分布P(x1,x2)為

根據式（2）對式（6）分別就因素f1和f2求偏導，得到偏導式V1和V2，如式（7）、（8）所示。

根據式（6）、（7）和（8），以及x1∈a1=[0,15]，x2∈a2=[0,15]，得到的系統故障概率分布和偏導式在因素空間中的分布，分別如圖1、2、3 所示。

圖1 系統故障概率分布Fig. 1 System fault probability distribution

將圖2 和3 進行系統功能狀態等級劃分，以三元因素聯系分布式為例。設3 個等級為可靠。不確定和失效。圖中V1和V2大于0 的區域是使系統失效的區域，小于0 的區域是使系統可靠的區域。因此需要統計上述分布中所有x1∈a1=[0,15]，x2∈a2=[0,15]組合值所對應的V1和V2數值。當然這些數值不但取決于因素值域，也取決于對因素值域的劃分。這里兩因素的值域都被劃分為49份，50 個節點。因此在分布曲面上共有2 500 個點。

圖2 因素 f1偏導式的分布Fig. 2 Distribution of partial derivative of factor f1

圖3 因素 f2偏導式的分布Fig. 3 Distribution of partial derivative of f2

統計得到a′,b′,c′數值，并進行歸一化，得到可靠因素聯系分布系數不確定因素聯系分布系數失效因素聯系分布系數它們在因素空間中的分布平面圖分別如圖4 的（a）、（b）和（c）。

圖4 各等級因素聯系分布Fig. 4 Connection distribution of factors at various levels

由于只有兩個因素，所以a′+b′+c′=2，a′,b′,c′的可能數值為2、1 和0。因此圖4 中，歸一化后得到的a、b、c值只可能是1、0.5 或0。圖4（a）和（c）中，黑色為區域為1，橙色區域為0.5，白色區域為0。圖4（b）中均為0 值，這與分布曲面的變化速度和因素值域劃分有關。

參照式（3），確定x1=10且x2=10的三元因素聯系分布式。根據圖4（a），可靠因素聯系分布中，當x1=10且x2=10時，可靠因素聯系分布系數a(10,10)=0.5；根據圖4（b），不確定因素聯系分布中，不確定因素聯系分布系數b(10,10)=0；根據圖4（c），失效因素聯系分布中，失效因素聯系分布系數c(10,10)=0.5。因此最終得到的x1=10且x2=10的三元因素分布聯系式：

這也說明了在x1=10且x2=10時，兩因素對系統功能狀態的影響是均勢的。類似可通過上述方法得到所有因素數值組合情況下的三元因素聯系分布式。從而確定整個討論環境條件下的系統功能狀態是否有利于系統實現自身功能。

當然上述實例是簡單的，當因素數量增加，因素值域擴展，劃分功能等級數增加時得到的因素聯系分布式將變得復雜。但使用的計算方法與上述過程相同。雖然上述方法基于集對分析聯系數發展而來，但也有幾個明顯特點。集對分析聯系數是集合對象數量之間的關系，而因素聯系分布式代表了不同因素對系統功能狀態的影響；前者是單一的計算式，后者是同時表示所有因素值組合情況下的分布式；前者是靜態的數量關系，后者是動態的因素與系統功能狀態的變化關系；前者是不同等級對象比值關系，后者是不同等級因素對象比例關系。后者在繼承了前者統一表示、分類可擴展和收縮等優點后，也具備了上述特點。這使得因素聯系分布概念和分布式特別適用于研究因素與系統安全和可靠性之間的關系，也可應用于基于因素分析的系統安全等級研究之中。

6 結束語

1）論述了聯系數與系統功能狀態的關系，提出和構建因素聯系分布的思想和目的。因素對系統功能狀態的作用不同，所有因素的不同值組合必然對應著不同的功能狀態等級。因素與等級之間存在聯系且以分布形式體現，為此提出因素聯系分布的概念和分布式。

2）構建了因素聯系分布式。以系統故障概率分布對某因素的導數值代表該因素對系統功能狀態的影響。導數值小于0 有利于系統可靠，大于0 導致系統失效，等于0 則代表不確定。統計所有因素值組合情況下的導數值屬于三類的數量，歸一化得到三元因素聯系分布式。多元因素聯系分布式可由三元因素聯系分布式通過拓展分布得到。通過實例分析說明了方法的分析過程。認為因素聯系分布式繼承了聯系數的特點，并具備了因素分析、動態調整、分布表示等能力，適合于系統安全和可靠性的相關研究。