關于橢圓曲線y2=(x+47)(x2+472)的整數(shù)點

華 程

(泰州學院 數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300)

1 主要結(jié)論

許多學者關注橢圓曲線

y2=(x+P)(x2+P2)

(1)

的整數(shù)點問題，這里P為奇素數(shù).其中文獻中，Weger利用較高深的方法對P=167，223，337，1201找到了(1)的全部整數(shù)點，分別是

當P=167時，(1)僅有整數(shù)點(x，y)=(-167，0)；

當P=223時，(1)僅有整數(shù)點(x，y)=(-223，0)；

當P=337時，(1)僅有整數(shù)點(x，y)=(-337，0)，(-287，±3130)，(2113，±105910)和(56784，±13571615)；

當P=1201時，(1)僅有整數(shù)點(x，y)=(-1201，0)，(599，±56940)，(1999，±131920)和(58849，±14424010)。

本文利用初等方法研究了P=47的整數(shù)點，獲得如下定理

定理橢圓曲線

y2=(x+47)(x2+472)

(2)

僅有整數(shù)點(x，y)=(-47，0)。

2 一些引理

引理1 設P為素數(shù)，a為任一整數(shù)，則p|a或(P，a)=1。

證明：參見文獻(p27，定理1.17)。

引理2 不定方程x2+y2=z2適合條件(x，y)=1，2|x的全部正整數(shù)解可表示為

x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2，其中a>b>0，(a，b)=1，2+(a+b)

證明：參見文獻(p110，定理3.4)。

引理3 設p為素數(shù)，e≥0，則不定方程

(2epy2-1)2-2z2=-1

僅有正整數(shù)解z=1，5和p=2.

證明：參見文獻(p69，習題2)。

引理4 不定方程x2+y2=z2適合條件(x，y)=1，x>y的全部正整數(shù)解可表示為

x=m2-n2+2mn，y=|m2-n2-2mn|，z=m2+n2

其中m>n>0，(m，n)=1，2?(m+n)。

證明：參見文獻(p117，習題5)。

引理5 設p是一個素數(shù)，若不定方程u2-Dv2=±p有整數(shù)解，則當p|2D時，有1個結(jié)合類；當p?2D時，有2個結(jié)合類.

證明：參見文獻(p33，定理4)。

證明：參見文獻(p32，定理3)。

引理7 不定方程

x2-2y4=47

(3)

僅有正整數(shù)解(x，y)=(7，1)。

證明：由引理5、引理6知，方程X2-2Y2=47的一般解可由以下2個非結(jié)合類給出

這里n∈，是方程X2-2Y2=47的基本解，為Pell方程U2-2V2=1的基本解。

若方程(3)有整數(shù)解，必有n，使得

y2=±(un+7vn)或y2=±(un-7vn)=±(u-n+7v-n)

當n≥0時，un+7vn>0；當n<0時，un+7vn<0.因此可以歸結(jié)為

y2=un+7vn，n≥0

(4)

或

y2=-un+7vn，n>0

(5)

易知，有

un+2=6un+1-un，u0=1，u1=3

(6)

vn+1=6vn+1-vn，v0=1，v1=2

(7)

u2n=un2+2vn2=2un2-1=4vn2+1，v2n=2unvn

(8)

un+2km=(-1)kun(modum)，vn+2km≡(-1)kvn(modum)

(9)

先討論(5)式(約定：用“T”表示取模所得剩余序列的周期)。

對(5)式取模8，得T=4，且當n≡0，1，2，3(mod4)時，-un+7vn≡7，3，3，7(mod8)均為模8的平方非剩余，故(5)式不成立。

再討論(4)式。

對(4)式取模8，得T=4，且當n≡2，3(mod4)時，un+7vn≡5(mod8)為模8的平方非剩余，故排除，剩n≡0，1(mod4)。

當n≠0時，可令n=2×2t×5×(2k+1)，t≥1，且令

則2m≡2(mod3)。

由(9)式可得

y2≡±(u2m+7v2m)≡±7v2m(modu2m)

(10)

注意到2|m時，um≡1(mod8)，u2m≡1(mod8)。令2s‖vm結(jié)合(8)式，則(10)式成為

(11)

因為{un}模7的剩余序列的周期為3，1，3，3，1，3，3，…，且當2m=2(mod3)時，u2m≡3(mod7)，u2m≡3(mod7)所以(11)式變?yōu)?/p>

矛盾。因此n=0，此時y2=u0+7v0=1，故y=1，從而x=7，于是(3)僅有正整數(shù)解(x，y)=(7，1)

證畢。

3 定理的證明

設(x，y)是(2)式的任意整數(shù)點.因為x2+472>0，所以由(2)式知，x≥-47。

當x=-47時，可得(2)式的整數(shù)點為(x，y)=(-47，0)，

當x=0時，(1)式可化為y2>473，顯然沒有整數(shù)解。

因此，下面只需考慮-470的情況。

情形Ⅰ -47

表1 橢圓曲線-47

綜上，此情形，橢圓曲線(2)無整數(shù)點。

情形Ⅱx>0

令(x+47，x2+472)=d，則d=(x+47，2×472)，所以d|2×472，即d∈{1，2，47，2×47，472，2×472}。

①當d=1時，(2)式可化為

x+47=s2，x2+472=t2，y=±st

(12)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

x=2uv，47=u2-v2，t=u2+v2

(13)

其中u>v>0，(u，v)=1，u，v為一奇一偶。

由(13)的第2式得(u+v)(u-v)=47，所以u+v=47，且u-v=1。解得

u=24，v=23，代入(13)的第1式得x=1104。

此時，y2=52×132×172×1151，顯然無整數(shù)解。

②當d=2時，(2)式可化為

x+47=2s2，x2+472=2t2，y=±2st

(14)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

如果47|x，則由(14)知47|s且47|t。令x=47x1，s=47s1，t=47t1，代入(14)得

x1+1=2×47s12，x12+1=2t12

其中x1>0，s1>0，t1>0，消去x1， 得

(2×47s12-1)2-2t12=-1

(15)

根據(jù)引理3，方程(15)無正整數(shù)解。

如果47?x，即(47，x)=1，則由(14)的第2式知，x，t都是奇數(shù)。根據(jù)引理4，可得

47=m2-n2+2mn，x=|m2-n2-2mn|，t=m2+n2

(16)

或

x=m2-n2+2mn，47=|m2-n2-2mn|，t=m2+n2

(17)

其中m>n>0，(m，n)=1，2?(m+n)。

先討論(16)式。

由(14)式的第1式及(16)知，當x=m2-n2-2mn時，有

s2=m2-n2

(18)

考慮到2?s，由(18)式及引理2可得

s2=f2-g2，n=2fg，m=f2+g2

(19)

其中f>g>0，(f，g)=1，2?(f+g)。

將(19)式的后兩式代入(16)式的第一式整理得

47=f4+4f3g-2f2g2+4fg3+g4，2?(f+g)

對上式兩邊取模8，得-1≡1(mod 8)，顯然不可能。

當x=-m2+n2+2mn時，有s=2mn.因(m，n)=1，故得

m=f2，n=2g2

(20)

或

m=2g2，n=f2

(21)

將(20)代入(16)式的第一式整理得

47=f4-4g4+4f2g2

上式兩邊取模8，得-1≡1(mod8)，顯然不可能。

將(21)代入(16)式的第2式整理得

47=-f4+4g4+4f2g2

即

(2g2+f2)2-2f4=47

(22)

根據(jù)引理7，由(22)式得出2g2+f2=7且f=1。

于是g2=3，無整數(shù)解。

再討論(17)式。

由(14)式的第一式及(17)知，當47=m2-n2-2mn時，有s2=m2-n2.類似(18)的討論可得

47=f4-4f3g-2f2g-2f2g2-4fg3+g4，2?(f+g)

對上式兩邊取模8，得-1≡1(mod8)，不可能。

當47=-m2+n2+2mn時，有s2=2mn，類似(20)與(21)式的討論可得

47=-f4+4g4+4f2g2

即(22)式無整數(shù)解。

③當d=47時，(2)式可化為

x+47=47s2，x2+472=47t2，y=±47st

(23)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

由(23)式可知 47|x且47|t.設x=47x1，t=47t1，代入(23)得

x1+1=s2，x12+1=47t12

(24)

其中x1>0，t1>0。

若2|t1，對(24)的第二式取模4，知不可能，故2?t1由(24)的第一式代入第二式可得

47t12=s2-2s2+2，2?s

對上式兩邊取模8得-1≡(mod8)，也不可能。

④當d=2×47時，(2)式可化為

x+47=2×47s2，x2+472=2×47t2，y=±2×47st

(25)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

若2|t1則(26)的第二式得出x12≡7(mod8)，不可能，因此2?t1，由(26)的第一式代入第二式得

47t12=2a4-2a2+1

對上式取模8得-1≡1(mod8)，也不可能。

⑤當d=472時，(2)式可化為

x+47=472s2，x2+472=472t2，y=±472st

(27)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

由(27)可知 47|x，設x=47x1(x1>0)，代入(27)的第二式得x12+1=t2，推出x1=0。從而x=0，與x>0矛盾。

6)當d=2×472時，(2)式可化為

x+47=2×472s2，x2+472=2×472t2，y=±2×472st

(28)

其中s>0，t>0，(s，t)=1。

由(28)可知，47|x。設x=47x1(x1>0)代入(28)得

x+1=2×47s2，x12+1=2t2

于是有(2×47s2-1)2-2t2=-1.根據(jù)引理3，此方程無正整數(shù)解。

綜上，橢圓曲線(2)僅有整數(shù)點(x，y)=(-47，0)。

證畢。