高斯激光束在Fraunhofer圓孔衍射成像中的球差

夏雄平, 張 凱, 韋貴妹, 田愷婧

(桂林理工大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

光衍射成像技術(shù)廣泛應(yīng)用于通信、 生物醫(yī)學(xué)和材料檢測等領(lǐng)域[1-2]. 由于光在衍射過程中受介質(zhì)、 元件尺寸和材料等因素影響, 因此產(chǎn)生各種像差, 其中球差是因為軸上單色同心光束經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后, 不同孔徑光線相交光軸不同位置, 導(dǎo)致在成像面上形成了以高斯像點為中心的彌散斑, 從而成為影響成像清晰度和質(zhì)量的重要因素[3-5].

光學(xué)衍射成像的理論基礎(chǔ)為Huygens-Fresnel原理和Kirchoff衍射積分, 其成像分析可分為標(biāo)量衍射和矢量衍射方法. 對大口徑元件一般用標(biāo)量衍射法[6-8], 當(dāng)微光學(xué)元件的尺寸接近或小于光波長時, 采用矢量衍射法[9]. 像差研究方法包括幾何方法[10]、 計算機(jī)模擬方法[11]和Zernike函數(shù)法[12-14]等. 由于Zernike多項式構(gòu)建像差函數(shù)和光學(xué)檢測中觀測到的像差多項式形式一致, 因此Zernike多項式廣泛應(yīng)用于分析像差研究中: Wang等[15]利用Zernike多項式法提出了通過優(yōu)化成像位置和增加相位補(bǔ)償器, 可有效控制圓孔衍射波前畸變; Zhang等[16]基于Zernike多項式擬合的相位畸變方法, 提出了圓孔衍射波前畸變模型; Hsieh等[17]利用優(yōu)化的Zernike函數(shù), 提出了一種對像差分析和模式識別更有效的算法; Nemes-Czopf等[18]用參數(shù)建模和標(biāo)量衍射在ZEMAX軟件中模擬浮雕型衍射透鏡.

對比一般Fraunhofer圓孔衍射中透鏡緊貼圓孔的情形, 本文以廣義Huygens-Fresnel衍射理論為基礎(chǔ), 采用標(biāo)量衍射理論, 將通過Zernike多項式構(gòu)建的像差函數(shù)應(yīng)用到ZEMAX軟件中, 并根據(jù)實驗結(jié)果和利用Zernike多項式法分析實驗出現(xiàn)的像差所對應(yīng)的階數(shù), 實現(xiàn)激光衍射光斑通過Z8階Zernike形變的像差透鏡, 研究高斯激光束在圓孔與透鏡距離較大時的Fraunhofer圓孔衍射成像中的球差, 并在此基礎(chǔ)上提出有效控制球差的方法.

1 圓孔衍射成像機(jī)制

在圓孔衍射中, 從Huygens-Fresnel原理出發(fā), 若點光源距離衍射屏足夠遠(yuǎn), 則其積分公式可寫為

(1)

(2)

當(dāng)采用極坐標(biāo)時, 方程(2)可轉(zhuǎn)換為

(3)

利用Bessel函數(shù)的積分式和遞推性質(zhì), 可得x處的光強(qiáng)分布為

(4)

(5)

光強(qiáng)分布可進(jìn)一步簡化為

(6)

(7)

(8)

Zernike標(biāo)準(zhǔn)矢高表面類型可使用多達(dá)231個Zernike標(biāo)準(zhǔn)多項式定義表面矢量高, 其標(biāo)準(zhǔn)矢高表面描述的是表面變形. “Extrapolate”用來指定在計算時使用的最大Zernike多項式項表面矢量, 該數(shù)字用來加速射線追蹤計算, 可忽略超過該數(shù)字的項. 表面矢高的形式為

(9)

其中M為系列中Zernike系數(shù)的數(shù)量,Ai為Zernike標(biāo)準(zhǔn)多項式上ith的系數(shù),r為透鏡單位的徑向射線坐標(biāo),ρ為歸一化的徑向射線坐標(biāo),φ為角射線坐標(biāo).

2 實驗與仿真模擬結(jié)果

在Fraunhofer圓孔衍射中, 采用波長為641 nm的激光作為點光源, 將點光源通過由雙透鏡構(gòu)成的組合透鏡L1對基模高斯光束進(jìn)行準(zhǔn)直, 準(zhǔn)直后的高斯光束通過圓孔和圓孔后方透鏡L2后, 在光屏上產(chǎn)生Fraunhofer圓孔衍射圖像. 其中圓孔直徑d=0.3 mm, 透鏡L2焦距f=20 mm, 透鏡L2與圓孔間距分別為C1=100 mm和C2=400 mm, 圓孔與衍射光屏距離為800 mm. 在實驗開始前, 先理論模擬透鏡L2緊貼圓孔時無像差影響下的結(jié)果, 如圖1(A)所示, 再根據(jù)實驗參量, 得到透鏡L2與圓孔距離較大時的實驗結(jié)果, 分別如圖1(B)和(C)所示.

圖1 無像差影響下的理論模擬結(jié)果(A)和Fraunhofer圓孔衍射實驗結(jié)果(B),(C)Fig.1 Theoretical simulation result without aberration influence (A) and Fraunhofer circular aperture diffraction experimental results (B),(C)

由圖1(A)可見, 理論模擬的衍射圖像呈圓形, 條紋窄而清晰, 且分布范圍較大. 由圖1(B)和(C)可見, 當(dāng)透鏡L2與圓孔距離較大時, 除中心Airy斑和少數(shù)幾個衍射環(huán)呈較好的圓形外, 其較高級數(shù)的衍射環(huán)連續(xù)性變差, 且在其垂直于軸向方向形成了較明顯的彌散斑和垂軸球差, 其原因可能是透鏡形狀、 折射率和焦距以及圓孔和透鏡的距離等因素導(dǎo)致產(chǎn)生球差. 圖1(B)的衍射條紋分布較均勻且清晰度較高, 隨著圓孔和透鏡距離的增大, 圖1(C)中條紋分布的均勻度和清晰度均明顯降低, 因此, 透鏡和衍射孔之間的距離對圓孔衍射影響較大.

基于實驗結(jié)果, 根據(jù)在極坐標(biāo)形式下的Fraunhofer衍射公式中引入Zernike多項式所構(gòu)建的圓孔衍射積分函數(shù), 用ZEMAX軟件仿真模擬對圓孔衍射中衍射成像的球差進(jìn)行分析. 其中凸透鏡曲率半徑r=10.336, 鏡片厚度2 mm, 鏡片材質(zhì)為常用玻璃材料BK7, 采用中心視場(0,0.01,0.02)觀測, 其他參量與實驗一致. 在模擬過程中, 通過引入Zernike表面形變, 根據(jù)實驗出現(xiàn)的垂軸球差現(xiàn)象, 對應(yīng)在Zernike多項式法研究像差在Z8時會產(chǎn)生球差與離焦現(xiàn)象, 因此在ZEMAX軟件仿真模擬中, 采用的Zernike多項式為Z8階, 得到光斑強(qiáng)度暈染圖和視場點列圖如圖2所示. 由圖2(A)和(B)可見, 衍射圖像呈橢圓狀, 產(chǎn)生了較明顯的球差現(xiàn)象, 其原因可能與透鏡、 激光或圓孔本身有關(guān). 隨著透鏡與圓孔距離的增大, 其球差變得更明顯, 表明透鏡和圓孔距離對球差有直接影響. 由圖2(C)和(D)可見: 在增大視場條件下, 球差現(xiàn)象變得更明顯; 在相同視場條件下, 當(dāng)增大透鏡和圓孔距離時, 其球差也會變得更明顯. 因此為有效調(diào)控球差, 需采取小角度視場和適當(dāng)?shù)耐哥R和圓孔間距.

圖2 光斑強(qiáng)度暈染圖(A),(B)和視場點列圖(C),(D)Fig.2 Spot intensity blooming chart (A),(B) and spot diagram (C),(D)

針對實驗和仿真模擬在衍射成像過程產(chǎn)生的球差, 根據(jù)ZEMAX軟件特點, 通過添加評價函數(shù)優(yōu)化鏡片, 利用優(yōu)化圓錐系數(shù)將球面透鏡轉(zhuǎn)換成非球面透鏡, 優(yōu)化后的曲率半徑為18.836 mm, 此時有效焦距降低至19.999 7 mm, 圓錐系數(shù)為25.696, 透鏡采用較高折射率的透鏡材料(SF59)和小視場, 從而從整體上有效調(diào)控球差, 得到的仿真結(jié)果如圖3所示. 對比系統(tǒng)未優(yōu)化的結(jié)果(圖2), 由圖3可見, 在小視場條件下, 當(dāng)采用優(yōu)化的非球面透鏡和較高折射率材料的透鏡時, 一方面其衍射圖像從橢圓變成圓形, 其中的球差現(xiàn)象幾乎消失, 其衍射圓環(huán)的分布與理想條件下的理論模擬結(jié)果相符, 圖像的清晰度和成像質(zhì)量明顯提升, 此時透鏡和圓孔距離對成像質(zhì)量的影響變?nèi)? 另一方面, 當(dāng)C=100 mm和C=400 mm時, 相比實驗(圖1)和系統(tǒng)未優(yōu)化的結(jié)果(圖2), 光斑分布變得更均勻, 光斑大小和性質(zhì)受透鏡和圓孔距離的影響減弱, 進(jìn)而提升了成像質(zhì)量.

圖3 光斑強(qiáng)度暈染圖(A),(B)和光斑強(qiáng)度局部放大線性圖(C),(D)Fig.3 Spot intensity blooming chart (A),(B) and local magnification linear graph of spot intensity (C),(D)

為分析圖像的解像力, 得到優(yōu)化前后傳遞函數(shù)(MTF)隨空間頻率的變化關(guān)系, 空間頻率的單位為線對每毫米(lp/mm), 結(jié)果如圖4所示, 其中a和d為優(yōu)化前的MTF曲線, b和c為優(yōu)化后的MTF曲線, 虛線和實線分別表示子午和弧矢面的不同成像質(zhì)量, 由于衍射極限的差異, 因此曲線b略低于曲線a, 但MTF曲線均接近Airy斑. 由邊緣視場MTF曲線c和d可見, 優(yōu)化后的MTF值明顯優(yōu)于未優(yōu)化時的結(jié)果, 其解像力更強(qiáng), 有利于降低衍射過程中球差和慧差的影響, 其成像質(zhì)量更好.

圖4 MTF定量對比曲線Fig.4 MTF quantitative comparison curves

綜上, 本文將Zernike多項式法構(gòu)建的像差函數(shù)應(yīng)用到ZEMAX中, 并結(jié)合圓孔衍射實驗結(jié)果, 對高斯型激光束在透鏡和圓孔距離較大時的Fraunhofer圓孔衍射成像中的球差進(jìn)行了研究. 首先, 通過實驗分析了高斯型激光束在透鏡與圓孔距離較大時的Fraunhofer圓孔衍射成像特點, 對衍射成像中出現(xiàn)的球差進(jìn)行了分析; 其次, 利用ZEMAX仿真模擬對衍射成像中的球差進(jìn)行了研究. 理論模擬和實驗結(jié)果表明: 透鏡及透鏡和圓孔距離對產(chǎn)生球差影響較大, 當(dāng)選擇優(yōu)化的非球面透鏡、 較高折射率的透鏡材料和小視場時, 可有效降低圓孔和透鏡距離較大時產(chǎn)生的球差, 從而有效提升衍射成像質(zhì)量, 該研究結(jié)果可為實際衍射光學(xué)系統(tǒng)的透鏡設(shè)計和制造提供理論指導(dǎo).