基于Hurst指數的量化投資策略研究

收稿日期：2023-04-18

基金項目：湛江市非資助科技攻關計劃項目（2021B01494）

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2023.22.018

摘? 要：自尤金·法瑪1970年提出有效市場假說后，部分學者認為股票市場具有長期記憶性，不符合該假說，用分形理論來刻畫股票價格運動更為合理。首先應用配分函數法（Partition Function， PF），通過滬深300股指數據驗證了A股市場的分形特征，然后選取了Hurst指數這一指標來衡量股票價格變動的長期記憶性，構建量化交易策略池，并通過均線策略進行擇時，最后通過夏普比率最大化完成投資組合優化，發現該投資策略能獲得明顯高于被動投資滬深300指數的投資收益，說明基于Hurst指數構建量化交易策略具有一定的實用性。

關鍵詞：Hurst指數；分形市場；均線策略；投資組合優化；量化交易

中圖分類號：TP39；F832.48? 文獻標識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）22-0083-06

Research on Quantitative Investment Strategies Based on Hurst Index

LI Minghui

（Zhanjiang Preschool Education College， Zhanjiang? 524084， China）

Abstract： Since Eugene Fama proposed the Efficient Market Hypothesis in 1970， some scholars believe that the stock market has long-term memory and does not conform to this hypothesis. It is more reasonable to use fractal theory to describe stock price movements. Firstly， the Partition Function （PF） method is applied to validate the fractal characteristics of the A-share market through the Shanghai and Shenzhen 300 stock index data. Then， the Hurst index is selected as an indicator to measure the long-term memory of stock price changes， and a quantitative trading strategy pool is constructed. The time is selected through the moving average strategy. Finally， the investment portfolio is optimized by maximizing the Sharpe ratio， it is found that this investment strategy can achieve significantly higher investment returns than passive investment in the Shanghai and Shenzhen 300 Index， indicating the practicality of constructing a quantitative trading strategy based on the Hurst Index.

Keywords： Hurst index; fractal market; moving average strategy; portfolio optimization; quantitative trading

0? 引? 言

金融市場中的股票價格特征研究一直是學術界和業界的重點關注對象。自法瑪[1]提出有效市場假說理論和法瑪三因子定價模型以后，資產定價的相關研究開始以有效市場假說為基石進一步深化發展。研究者們認為股票市場的價格應當服從有效市場假說，具體表現為股票市場的股票價格服從正態分布、變化過程符合隨機游走過程特點，市場交易信息透明，忽略交易摩擦和理性人假設等。

但是隨著研究深入，很多學者發現股票市場并不一定完全符合有效市場的假說要求，在現實的股票市場中，常常會出現和有效市場假說相背離的情況，如周末效應、一月效應和動量效應等，這些現象也被研究者稱為市場異象。因此，針對這些異象，研究者們提出了眾多理論，其中較為著名的包括行為金融學的相關理論、混沌理論和分形市場理論等。其中，分形市場認為投資者不是完全理性的，不符合有效市場中的理性人的假設，且由于市場存在不同偏好的投資者，市場并不會長期處于有效市場的穩定狀態。

由于國內金融市場建設起步較晚，很多相關理論和實踐經驗都是從歐美國家借鑒和學習過來的。因此，國內的很多實證研究都是基于有效市場假設這一框架提出的，但由于有效市場假設本身苛刻的假設條件，歐美成熟的金融市場也難以完全符合有效市場假設的需求，所以該理論在國內金融市場是否適用也是存疑的。而分形市場的假設條件較少，且能夠得到驗證，故基于分形理論構造一個新的投資研究框架有利于更好地了解國內金融市場的資產價格特征。王宏勇等[2]通過實證分析證明了中國碳市場、能源股票市場和原油市場均存在多重分形特征。王瑩瑩[3]通過對上證指數和深圳成指的收盤價數據通過盒統計法進行分析，證明了A股市場的多重分形特征。以上研究表明：通過分形市場理論對A股市場進行分析可能是合適的。

另一方面，隨著信息技術的迅猛發展，量化投資由于具有系統性，能夠幫助投資者更好地進行風控及投資套利，同時避免主觀情緒和操作帶來的交易失誤，其作為一種全新的投資方式越來越為投資者所看重。將分形市場的相關理論與量化投資相結合構造投資策略，有著良好的發展前景。陳雨[4]通過Hurst指數、多重分形譜和小波分析三種工具進行投資策略構建，發現基于多重分形譜構建的投資策略可以顯著跑贏大盤，證明了分形策略應用于投資實踐的可行性。

1? 相關理論介紹

1.1? Hurst指數

Hurst指數也稱作重標極差法或R/S分析，是刻畫分形程度的一種度量工具。其優點在于計算的假設條件較少，在大多數情況下，Hurst指數的計算是符合假設條件的，且Hurst指數可以反映時間序列數據的運行趨勢，通過對Hurst指數進行區間劃分就可以實現。

Hurst指數的對比標準為隨機游走時間序列數據，通過計算得到的Hurst指數，可以得知時間序列數據相對于隨機游走時間序列數據而言的偏離趨勢程度有多大。將時間序列數據的標準差除極差并進行平均，得到以下等式：

（1）

式中的H即為赫斯特指數，它在[0，1]值域取值，Hurst指數取0.5時，說明時間序列數據為白噪聲序列，即純隨機序列，這種序列隨時間變化而隨機進行變化，因此難以進行預測分析。當Hurst指數大于0.5時，越接近1，則該時間序列的趨勢越強，越有可能沿著原有趨勢繼續運動下去。當Hurst指數小于0.5時，越接近0，表明序列發生趨勢反轉的可能性越大。

為了計算方便通常將上式取對數得到下式：

Log （R/S）N = H Log（N） + Log（a）? ? ? ? ? ?（2）

利用上式，通過OLS回歸求解上式中的斜率，即可得到Hurst指數。

1.2? 配分函數法

判斷時間序列數據是否存在分形特征有三種常見的方法，分別是配分函數法、多重分形消除趨勢波動分析法和小波分析法，本文采用的是配分函數法。配分函數法也稱盒統計法，它來源于統計物理，在進行數據的分形特征分析時，由于具有簡單、直觀的特點，被廣泛采用。配分函數法的主要原理是通過計算配分函數，并比較配分函數與采用數據尺度大小之間的關系來判斷是否存在分形特征，對價格時間序列數據{Si}（i = 1，2，…，N）的分析步驟如下：

1）對時間序列數據{Si}進行歸一化處理：

（3）

2）將歸一化處理后的序列數據{pi}以ε為長度（即數據尺度）分為n個長度相同且互相沒有交集的盒子，并計算每個盒子的概率密度P（ε），第k個盒子的概率密度記為Pk（ε）：

（4）

3）根據不同的q值來計算配分函數χq（ε）：

（5）

4）得到配分函數χq（ε）和數據尺度ε的冪律關系。由雙對數圖形ln χq（ε）～ln ε，可以求出質量指數τ （q）：

τ （q） = ln χq（ε） / ln ε? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

5）由多重分形理論可以得到：

τ （q） = αq - f （α）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

6）對上式關于q與τ （q）作勒讓德變換便可得到多重分形譜參數。

1.3? 均線策略

趨向指標主要研究對象為股票市場價格的運行趨勢，其主要是基于趨勢理論提出的，趨勢理論認為股票市場價格在形成一定的趨勢后會保持原來的運動趨勢持續運動下去，并在一定時間和幅度后出現趨勢完結的過程。而均線策略是趨向指標中常見的交易策略，即認為股價波動存在趨勢性，如果短期股價上漲，那么股價會在一段時間內維持上漲趨勢，此時應當買入，同理，若短期股價下跌，那么股價會在一段時間內維持下跌趨勢，此時應當賣出。孫碧波[5]的通過標準檢驗方法和自助法對均線策略在A股的表現進行實證研究，研究表明均線策略可以取得顯著收益。因此，通過均線策略提取股價趨勢可能是有效的。

1.4? 投資組合優化

投資組合優化理論最早源自Markowitz [6]的均值方差模型，均值方差模型通過均值衡量資產的獲利能力，通過方差衡量資產風險，并通過構造有效前沿后找到了投資組合的最優點。除均值方差模型外，還有很多學者提出了其他的投資組合優化方法，研究采用的是夏普比率最大化的投資組合優化方法。其原理如下：

假設一個投資組合由n項投資產品構成，用xi （i = 1，2，…，n）表示投資于第i項投資產品的權重，則投資組合的預期年化收益率E（Rp）和年化收益率的標準差σp可表示為：

（8）

（9）

其中，Ri表示第i項投資資產的期望收益率，則基于夏普比率的投資組合模型可以表示為：

（10）

其中，Rf代表無風險利率。

1.5? 策略評價指標

策略評價指標包括：回測年化收益率、阿爾法、夏普比率、索提諾比率、信息比率、最大回撤等。其中，回測年化收益率從收益的絕對水平上反映了策略的獲利能力，阿爾法、貝塔、夏普比率、索提諾比率和信息比率則反映了策略在一定風險下的獲利能力，反映了策略的相對獲利能力，而最大回撤及波動率則反映了策略的風險。本文通過這些指標從不同角度對策略的表現進行評價。

其中，主要指標的具體計算公式及解釋如下。

1.5.1? 詹森阿爾法指數

指在回測時期投資策略獲得的收益率在帶入CAPM模型中，扣除其承擔的市場風險帶來的風險溢價后，策略的超額收益。該指標可以較好地展示投資策略在承擔市場風險下獲得超額收益的能力，當該指標大于0時，說明投資策略的表現優于基準組合，且當該指標越大時，說明投資策略的獲得收益的能力越強。其計算式為：

（11）

1.5.2? 夏普比率

夏普比率的提出是基于資產配置線理論（CAL），其基本思想是計算承擔單位風險對投資者帶來的超額收益，當該指標越大時，說明投資者承擔單位風險可以帶來更高的超額回報，投資策略更為優秀。其計算式為：

（12）

1.5.3? 索提諾比率

索提諾比率是基于夏普比率的修正，基本計算方式與夏普比率類似，區別在于其衡量了波動性的好壞，用下行標準差替代了標準差，因此在投資收益率分布左偏時更為精確。其計算式為：

（13）

1.5.4? 信息比率

信息比率用于衡量投資策略承擔單位主動風險帶來的超額收益，其主要展示的是在風險一定的情況下通過建立主動投資組合帶來的額外收益能力，信息比率越大說明獲得的額外收益能力越強。其計算式為：

（14）

2? 滬深300指數的分形特征研究

2.1? 數據來源

滬深300指數的分形特征研究選用的樣本數據為滬深300指數的日收盤價數據，數據抽取的樣本時段為2002年1月4日至2009年12月30日。

2.2? 正態性檢驗

研究采用J-B統計量進行數據的正態性檢驗。J-B統計量，即Jarque-Bera統計量，是檢驗指定數據分布是否服從正態分布的一種常用的方法，其主要原理是根據最小二乘回歸的殘差項對大樣本數據的數據分布進行檢驗。

在Eviews軟件中對滬深300指數在樣本時段內的日收益率數據進行J-B統計量檢驗，得到檢驗結果如圖1所示。

由圖1可以看到，J-B統計量的值為776.523 7，對應p值為0.000 0，小于0.05.故可以認為在5%的顯著性水平下，拒絕原假設，滬深300指數日收益率數據并不服從正態分布。

因此，可以認為市場指數中的滬深300指數的收益分布并不服從正態分布。在這一情況下，通過有效市場假說進行資產價格分析無疑是有偏的。但與有效市場不同，分形市場的假設條件較少，并不要求數據必須服從正態分布，因此通過分形市場理論進行分形可能是有效的，為了驗證市場指數的分形特性，還需要進一步分析。

2.3? 配分函數法分析過程

按照配分函數法的分析步驟，將價格序列歸一化后，應用不同的q值來計算配分函數Mp，此處q值的取值范圍定義為[-60，60]?？梢缘玫綔?00指數在樣本時段內數據的配分函數Mp和尺度T的雙對數關系圖，如圖2所示。

由圖2可以看出：當q的取值變化時，滬深300指數在樣本時段內數據的配分函數Mp和尺度T的雙對數關系都存在著明顯的線性關系，說明滬深300指數具有明顯的多重分形特征。通過冪律關系計算得到質量指數，可以進一步畫出其多重分形圖譜，如圖3所示。

由以上分析，可以認為A股市場的市場指數存在多重分形特征，嘗試通過Hurst指數描述股票的分形特征，并構造量化投資策略可能是有效的。

3? 策略構建

3.1? 交易策略總體設計

交易策略回測選用的樣本數據為全A股市場和滬深300股票成分池的股票日收盤價數據，數據抽取的樣本時段為從2010年1月1日至2020年7月3日。

在股票選取上，首先選出在對應股票池中市值較小的股票（滬深300選最小的100支、所有A股選最小的1000支）作為待選股票，通過調參優化，選取表現最優的滑動窗口時長為250天，計算Hurst指數，每天計算更新所有股票的Hurst值。

設定交易策略，將0.45設為基準，設立基準策略為：在Hurst指數小于0.45的情況下，若當期Hurst指數較上期而言下降、且最近5日的股票收盤價格的平均價大于上一個5日股票收盤價格的平均價，即近期股價的5日均線上升，此時認為股價有可能反轉下跌，記為賣出信號；在Hurst指數小于0.45的情況下，若當期Hurst指數較上期而言上升、且最近5日的股票收盤價格的平均價小于上一個5日股票收盤價格的平均價，即近期股價的5日均線下降，此時認為股價有可能反轉上升，記為買進信號。后面用rt-0.45（hs300）和rt-0.45（CS）來分別記錄該策略在滬深300股票池和全部A股股票池中的表現，并對基準策略的優化做了兩種調整：

1）從改變調倉頻率出發，將每日調倉改為每周調倉，交易信號保持不變。后面用rt-0.45（hs300）-week和rt-0.45（CS）-week來分別記錄該策略在滬深300股票池和全部A股股票池中的表現。

2）保持每日調倉的策略，改變交易信號，加入持續性趨勢的考慮，將基準策略修正為：在Hurst指數大于0.65（0.7）的情況下，若當期Hurst指數較上期上升、且最近5日的股票收盤價格的平均價大于上一個5日股票收盤價格的平均價，即近期股價的5日均線下降，認為股價可能保持持續下跌趨勢，記為賣出信號；在Hurst指數小于0.45的情況下，若當期Hurst指數較上期上升，且最近5日的股票收盤價格的平均價小于上一個5日股票收盤價格的平均價，即近期股價的5日均線下降，此時認為股價有可能反轉上升，記為買進信號。并在后面用ut-0.7（hs300）、ut-0.65（hs300）和ut-0.7（CS）、ut-0.65（CS）、rt-0.45（hs300）和rt-0.45（CS）來分別記錄以上策略在滬深300股票池和全部A股股票池中的表現。

然后根據相應的擇時策略篩選有交易信號的股票，最后對于有買入信號的股票，按照波動率排序買入波動率較大的股票，并保證最大持股數和每日新增持股數為定值（全A股股票池最大持股數為100，滬深300股票池最大持股數為30，全A股股票池每日新增持股數不超過20，滬深300股票池每日新增持股數不超過5）。

最后將得到的8個策略結合滬深300指數構建CTA策略池，通過均值策略擇時和投資組合優化（夏普比率最大化）進一步優化模型。

3.2? 回測指標數據統計

根據設計的交易策略，在RiceQuant量化投資平臺上進行投資回測，得到回測相關指標數據如表1所示。

表1為6種日投資策略和滬深300指數在2010年1月1日至2020年7月3日的時間段內的回測指標統計結果。其中回測收益表現最好的是在滬深300股票池中加入持續性趨勢考慮的臨界值為0.7的交易策略，其回測收益為85.34%，最大回測為40.20；最大回測最小的是在滬深300股票池中加入持續性趨勢考慮的臨界值為0.65的交易策略，其回測收益為68.65%，最大回測為34.90%。

將9種策略的累積收益數據進行提取，可以得到9種策略的累積收益曲線（將初始資產設為1），如圖4所示。

3.3? 策略擇時和投資組合優化

通過修正對策略是否實行進行擇時，將該種策略看作一類資產，計算到當期賬戶為止的2日收益率的短移動平均線和20天收益率的長移動平均線，策略為當策略短移動平均線大于長移動平均線時買入該策略，當策略短移動平均線小于長移動平均線時賣出該策略。交易同時設置了交易成本為買入成本費率：0.08%，賣出成本費率：0.18%。完成策略擇時優化后的策略累積收益曲線（將初始資產設為1）如圖5所示。

可以看到部分策略的收益曲線表現顯著上升，并且整體表現更加平穩，減小了整體的策略回測。

接下來最后一步將以上9種策略視為9種資產，構建投資組合，并通過投資組合的數學期望和方差數據進行投資組合優化。基于夏普比率最大化原則進行投資組合優化（將初始資產設為1），結果如圖6所示。

可以看到投資組合累積收益穩步上升，最后穩定在3.0～4.0之間，投資效益較好，且波動不大。統計可以得到投資組合改良后的統計指標如表2所示。

在投資組合優化后，投資組合的回測收益達到了254.89%，較原來的投資組合相比有了較大的提升，且最大回撤比率也進一步降低了，夏普比率、索提諾比率和信息比率均有不同幅度的上升，投資策略的投資表現良好。

4? 結? 論

研究首先通過配分函數法（PF）驗證了A股市場存在多重分形特征，并通過Hurst指數作為擇時策略，構建量化投資策略，分別評估了運用Hurst指數作為擇時策略在全部A股和滬深300成分股中投資表現。研究表明，經過優化后的基于Hurst指數擇時的投資策略的收益率相對來說并不高，在年化6%左右的水平，但是其優點在于最大回測的幅度較小。并且經過策略擇時優化和投資組合優化后，其指標可以進一步優化為254.89的回測收益（年化13.22%）的收益水平，且回測幅度進一步降低為30.95%，相較于滬深300指數2.24%的年化收益和46.7%的最大回撤而言，表現良好。因此可以認為基于Hurst指數進行股票交易具有一定的參考價值。

參考文獻：

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[3] 王瑩瑩.中國股票市場Hurst指數與多重分形分析 [D].武漢：華中科技大學，2006.

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[6] MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. The Journal of Finance，1952，7（1）：77-91.

作者簡介：黎明輝（1996—），男，漢族，廣東茂名人，助教，碩士研究生，研究方向：量化投資與機器學習。