高超聲速飛行器快速終端滑模保性能容錯控制

王忠森，廖宇新，魏才盛，戴婷

1.中南大學 航空航天技術研究院，長沙 410083

2.中南大學 自動化學院，長沙 410083

高超聲速飛行器一般是指速度為馬赫數Ma=5 以上的飛行器，具有飛行速度變化大、飛行空域廣等特點。這些特點會使飛行器呈現出異常復雜的飛行特性，主要體現在由模型結構及模型參數等引起的強非線性、三通道運動模態等引起的強耦合性、跨大速域及大空域等所引起的快時變性、容易受到較大的外部干擾等方面。因此，有必要設計具有強魯棒性的控制系統以保證飛行過程中的安全可靠［1］。此外，執行機構發生非致命故障會引起高超聲速飛行器控制系統某些參數的突變，輕則降低姿態控制系統性能，重則導致整個飛行任務失敗。因此，在惡劣飛行條件及執行機構非致命故障下設計有效的控制策略，使高超聲速飛行器具備良好的容錯性能，已經成為目前控制研究領域的一個重要問題［2］。

由于滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）方法可以增強高超聲速飛行器在模型不確定、外部干擾影響下姿態控制系統的魯棒性，其已經成為該領域研究的熱點［3］。文獻［4］將干擾觀測器技術和反步技術結合，設計了自適應滑模控制器，使具有輸入約束、模型不確定和外部干擾的高超聲速飛行器能夠實現姿態高精度跟蹤。文獻［5］針對具有匹配擾動和非匹配擾動的可重復使用運載器，設計了一種連續多變量滑模控制器，保證了姿態跟蹤誤差在有限時間內收斂。快速終端滑模控制（Fast Terminal Sliding Mode Control，FTSMC）方法不僅可以實現系統狀態的快速收斂，而且使系統狀態具有有限時間或固定時間收斂的特性，現已被廣泛應用于高超聲速飛行器姿態控制研究中［6］。文獻［7］提出了一種改進的非奇異快速終端滑模面，并結合自適應控制技術設計了快速自適應有限時間抗飽和容錯控制器，以應對高超聲速飛行器在外部干擾、執行機構故障和輸入飽和條件下的姿態控制問題。文獻［8］針對可重復使用運載器的再入姿態控制問題，基于快速終端滑模控制方法設計了新型干擾觀測器，實現了對模型不確定和外部干擾的精準估計與補償。

為進一步提升高超聲速飛行器姿態控制系統的容錯能力，將模型不確定、外部干擾和執行機構故障等效成復合干擾，并在控制系統中對復合干擾進行估計和補償的研究策略取得了良好的效果［9-14］。文獻［15］設計了新型的固定時間觀測器，對包含模型不確定、外部干擾和執行機構故障的復合干擾進行估計，最后設計控制器實現了再入姿態的高精度跟蹤。文獻［16］設計了一種改進的滑模干擾觀測器，用來準確估計高超聲速飛行器受到的模型不確定、強外部干擾和未知執行機構故障，并將復合干擾估計值作為補償設計了一種終端滑模控制器，使飛行器能夠平滑地跟蹤姿態指令信息。

為了使系統具有更好的控制性能，確保系統的姿態角跟蹤誤差保持在較小范圍，需要對系統的瞬態性能和穩態性能有更深刻的認識。預設性能控制（Prescribed Performance Control，PPC）方法能夠定量地刻畫受控動力學系統的瞬態與穩態性能，因此在其被提出之后，迅速得到應用領域的關注［17-18］。文獻［19］提出了一種新的無初始誤差的預設性能函數，利用反步控制將高超聲速飛行器跟蹤誤差限制在預設范圍內。文獻［20］設計了一種在高超聲速飛行器非仿射模型基礎上保證預設性能的反演控制方法，使速度和高度的跟蹤誤差均能實現較好的動態性能和穩態精度。文獻［21］利用光滑函數將輸入飽和作近似處理，基于預設性能函數來設計自適應容錯有限時間控制器，約束了航天器姿態跟蹤誤差。文獻［22］提出了一種基于預設性能和深度學習的分層容錯控制框架，先利用故障診斷單元和最小二乘方法在控制分配層實現容錯，然后結合擴張狀態觀測器設計了預設性能容錯控制器，有效提高了高超聲速再入飛行器姿態系統的容錯能力。

對于高超聲速飛行器姿態控制問題而言，非奇異快速終端滑模對模型不確定及外部干擾有較強的魯棒性，能夠保證系統狀態準確地跟蹤姿態指令信息，預設性能函數能約束系統的瞬態和穩態性能，使故障發生前后的系統狀態能夠盡量保持一致且變化平緩。基于此，本文研究了一種考慮預設性能的非奇異快速終端滑模容錯控制方法。首先建立高超聲速飛行器面向容錯控制的模型，并通過引入性能函數和誤差轉換使氣流角跟蹤誤差獲得預先設定的性能；其次將模型不確定、外部干擾和執行機構故障等效為復合干擾，并設計新型滑模干擾觀測器對復合干擾進行精確估計和補償，然后設計了非奇異快速終端滑模容錯控制器以提高控制系統的容錯能力，最后通過數值仿真驗證了所提方法的有效性。

1 問題描述

1.1 運動建模

本文以文獻［23］中給出的一類高超聲速飛行器為研究對象，研究其在模型不確定、外部干擾和執行機構故障下的姿態控制問題。假定高超聲速飛行器為面對稱的理想剛體，忽略地球自轉對姿態運動的影響，其繞質心運動方程可表示為

式中：α、β和σ分別為攻角、側滑角和傾側角；p、q和r分別為滾轉角速率、俯仰角速率和偏航角速率；Ixx、Iyy和Izz分別為繞x、y和z軸的轉動慣量，Ixz為慣性積；Mx、My和Mz分別為滾轉力矩、俯仰力矩和偏航力矩；其表達式分別為

其中：Cl、Cm和Cn分別為滾轉、俯仰和偏航通道的力矩系數為動壓；Sref為機翼參考面積；bA為機翼橫向參考長度；cA為機翼平均氣動弦長。

考慮外部干擾，以及由于模型簡化和通道耦合引起的模型不確定，其模型可描述為

式中：ω=[p q r]T表示姿態角速率向量；Θ=[α β σ]T為氣流角向量；u=[δaδeδr]T為等效控制輸入；d1表示模型不確定，d2表示外部干擾。

矩陣I、Ω、Β1及R的具體表達式為

進一步考慮高超聲速飛行器執行機構的增益故障和偏置故障，其故障模型可描述為

結合式（3）與式（8），建立如下包含模型不確定、外部干擾和執行機構故障的姿態運動模型：

假定復合干擾d是有界的，且其上界未知，其導數氣流角指令Θd連續，其一階導數和二階導數一直連續且有界。

本文的控制目標可歸納為：針對如式（9）所示的姿態跟蹤誤差系統，克服模型不確定d1、外部擾動d2和執行機構故障的不良影響，實現跟蹤誤差e1和e2的快速收斂，且保證跟蹤誤差e1和e2滿足預設的性能約束。

1.2 預備知識

對于x∈Rn且x=[x1x2…xn]T，定義sign(x)=[sign(x1) sign(x2) … sign(xn)]T。

引理1［24］對于xi∈R(i=1，2，3)，z＞1，0 ＜y≤1，不等式（12）和（13）成立：

引理2［25］考慮如式（14）所示的非線性系統：

式中：x0是狀態量x的初值。

假定存在一個Lyapunov 函數V(x)滿足：

式中：ζ1＞1，0 ＜ζ2＜1，φ1＞0，φ2＞0。則系統（14）將在固定時間內收斂，收斂時間T滿足：

定理1考慮如式（17）所示的非線性系統：

式中：x(0)=x0(x∈R)；l1，l2，m1，m2＞0；0 ＜n1＜1；n2＞1；則式（17）是固定時間收斂的。

證明選擇Lyapunov 函數為

對V(x)求導，可得

根據引理2，狀態量x將在固定時間內收斂，收斂時間T(x)滿足：

注圖1 給出了m1，m2對式（17）中狀態量x收斂效果的影響，參數設置為：x(0)=3；l1=5；l2=3；n1=0.8；n2=1.5；m1=m2；且其值分別為0.001，0.005，0.01，0.05，0.1。由圖1 可知，m1，m2越小時，狀態量x的收斂速度越慢，但其穩態精度越高；當m1=m2≤0.01 時，其收斂速度及穩態精度變化不大。

圖2 給出了l1，l2對式（17）中狀態量x收斂效果的影響，參數設置為：x(0)=3；m1=m2=0.01；n1=0.8；n2=1.5；l1，l2的值分別為10，5，0。由圖2 可知，l1越小時，狀態量x的穩態精度越高；l2越大時，其收斂速度越快。

圖2 l1，l2 對狀態量x 的影響Fig.2 Influence of l1，l2 on state parameter x

圖3 給出了n1，n2對式（17）中狀態量x收斂效果的影響，參數設置為：x(0)=3；m1=m2=0.01；l1=l2=4；n1的值分別為0.8，0.5；n2的值分別為2，1.5。由圖3 可知，n1越大時，狀態量x的穩態精度越高；n2越小時，其收斂速度越快。

圖3 n1，n2 對狀態量x 的影響Fig.3 Influence of n1，n2 on state parameter x

2 基于預設性能的快速終端滑模容錯控制方法

本文控制系統結構框圖如圖4 所示。首先，基于高超聲速飛行器面向容錯控制的模型，利用預設性能函數及誤差轉換對姿態跟蹤誤差系統的瞬態和穩態性能進行約束；其次，設計滑模干擾觀測器，不僅精確估計包含執行機構故障、外部干擾和模型不確定在內的系統復合干擾，而且保證角速率跟蹤誤差的估計誤差值始終停留在預設包絡之內；最后，設計非奇異快速終端滑模保性能容錯控制器，在執行機構發生故障后，提高系統的容錯能力。

圖4 控制系統結構Fig.4 Structure of control system

2.1 性能函數與誤差轉換

基于文獻［26］，考慮如下固定時間預設性能函數：

式中：?i(t)=-liTit/(Ti-t) (i=1，2，3)；li＞1；Ti＞0；ρ0i＞0 為性能函數初值；ρ∞i＞0 為跟蹤誤差穩態范圍。

定義如式（22）所示的函數：

為保證跟蹤誤差|e1i|＜ρi，S(ε1i)應當滿足以下條件。

1）光滑連續單調函數。

2）-1 ＜S(ε1i)＜1

故設計關于轉換函數ε1i的雙曲正切函數為

進一步，可得如式（27）所示的轉換誤差系統：

2.2 滑模干擾觀測器

設計滑模干擾觀測器的滑模變量為

針對如式（11）所示的跟蹤誤差系統，參考文獻［27］，設計滑模干擾觀測器：

式中：η0，η1＞0是對d的估計值。

定理2選擇合適的滑模干擾觀測器參數，姿態角速率跟蹤誤差e2和復合干擾d將被準確估計。

證明對滑模變量s1求導可得

則對于單個通道，都有：

考慮Lyapunov 函數：

對V1求導，可得

定義函數：

注意到當|s1i0|＜|s1i|＜η0+η1e-t時必有F2i(|s1i|)＞F2i(|s1i0|)=0，由式（34）可知，當F2i(|s1i|)＞0 時必有F1i(|s1i|)＞0；則當|s1i0|＜|s1i|＜η0+η1e-t時，F1i(|s1i|)＞0。類似的，可證得當η0+η1e-t-1 ＜|s1i|＜η0+η1e-t時，F3i(|s1i|)＞0。令γ0=max{|s1i0|，η0+η1e-t-1}，則當γ0＜|s1i|＜η0+η1e-t時，注意到V1也是關于|s1i|的增函數，當|s1i|不斷增大且|s1i|＞γ0時V1減小，|s1i|也隨之減小。由式（33）可知，當|s1i|不斷增大至趨于η0+η1e-t時，趨于負無窮，此時|s1i|的導數也會趨于負無窮。

由上述分析可得出如下2 個結論：

1）當γ0＜|s1i|＜η0+η1e-t時，F1i(|s1i|)，F2i(|s1i|)，F3i(|s1i|)均＞0，即

2）滑模變量s1i將收斂至如式（38）所示的包絡內：

現在分析復合干擾估計誤差的收斂特性，當F2i(|s1i|)＞0 時，必有：

化簡式（39）可得

由式（29）、式（30）及式（41）可知：

若s1i與di同號時，可得

這與式（30）相違背，即s1i無法收斂至0 的某一小鄰域內，故s1i與di異號，化簡式（43）可得

當選取η0，η1使得η0+η1e-t→0 時，可使得

則由式（44）及式（45）可知：

注滑模干擾觀測器參數η0，η1與滑模變量s1的收斂速度及穩態精度有關（即|s1i|＜η0+η1e-t），進而影響對復合干擾的估計效果。通過選取合適的η0，η1，可以有效提高滑模干擾觀測器的精度。

2.3 快速終端滑模保性能容錯控制器

基于定理1，可設計非奇異快速終端滑模面為

式中：ξ1i，ξ2i＞0；k1，k2＞0；0 ＜α1＜1；β1＞1。

對si求導，可得

式中：k3，k4＞0；0 ＜α2＜1；β2＞1；ξ3i，ξ4i＞0。

設計非奇異快速終端滑模容錯控制器為

定理3針對如式（27）所示的轉換誤差系統，在復合干擾被如式（29）所示的滑模干擾觀測器準確估計之后，采用如式（53）～式（55）所示的非奇異快速終端滑模容錯控制器，選擇合適的控制器參數，轉換誤差ε1、ε2和跟蹤誤差e1、e2將在固定時間內收斂。

證明首先，在復合干擾被精確估計后，證明滑模面s將在固定時間內收斂。

考慮如式（56）所示的Lyapunov 函數：

單通道的滑模面導數可寫為

對V2求導，可得

其次，在滑模面收斂后，證明轉換誤差ε1，ε2將在固定時間內沿著滑模面收斂。此時，可得

考慮如式（61）所示的Lyapunov 函數：

對V3求導，參考上述證明過程，可得

3 仿真驗證與結果分析

本節利用MATLAB 軟件對所提的容錯控制方法進行數值仿真驗證。飛行器的總體參數及氣動參數均參考文獻［28］。初始狀態設置為高度30 km，經度0°，緯度0°，速度8Ma，速度傾角0°，速度偏角0°；氣流角初值設置為攻角15°，側滑角0°，傾側角0°，姿態角速率初值均設置為0rad/s；氣流角指令設置為攻角10°，側滑角0°，傾側角20°；實際舵偏角限幅20°，轉動慣量偏差為+10%、氣動系數偏差為+20%，三通道外部干擾力矩設置為

執行機構故障情況如表1 所示。

表1 執行機構故障Table 1 Actuator failures

為充分驗證所提方法的容錯性能，將本文方法與文獻［15］中的基于干擾觀測器的有限時間容錯控制方法（即對比方法1）、基于文獻［22］的預設性能反步容錯控制方法（即對比方法2）進行對比仿真。對比方法1 的干擾觀測器、滑模面s和控制器uc分別如式（65）～式（67）所示。

對比方法2 的性能函數及其參數設置與本文方法保持一致。其干擾觀測器、虛擬控制律e2d、一階濾波器及控制器uc分別如式（68）～式（71）所示。

本文方法與對比方法1、對比方法2 的相關參數選取分別如表2～表4 所示。

表2 本文方法的參數Table 2 Parameters for method of this article

表3 對比方法1 的參數Table 3 Parameters of Method 1

表4 對比方法2 的參數Table 4 Parameters of Method 2

圖5～圖7 給出了氣流角跟蹤曲線。由圖中可知，執行機構未發生故障時，3 種控制方法均能在1 s 左右實現對氣流角指令的跟蹤；由于容錯控制器的作用，執行機構在3 s 時發生的偏置故障對側滑角有較小的影響，對攻角與傾側角無明顯影響；執行機構在10 s 發生增益故障時，對比方法1 的氣流角明顯偏離氣流角指令，經過3 s 左右的調節，對比方法1 重新跟蹤上了氣流角指令，而本文方法與對比方法2 的氣流角未明顯偏離氣流角指令，克服了執行機構故障對系統的影響。

圖5 攻角跟蹤曲線Fig.5 Angle of attack tracking curves

圖6 側滑角跟蹤曲線Fig.6 Sideslip angle tracking curves

圖7 傾側角跟蹤曲線Fig.7 Bank angle tracking curves

圖8～圖10 給出了氣流角跟蹤誤差曲線。由圖中可知，執行機構未發生故障時，3 種方法的氣流角跟蹤誤差均能快速收斂至0°附近；執行機構在3 s 發生偏置故障時，在容錯控制器的作用下，3 種方法的氣流角跟蹤誤差均變化不大；執行機構在10 s 發生增益故障時，對比方法1 的氣流角跟蹤誤差發生了較大的突變，3 s 后重新收斂至0°附近，而本文方法與對比方法2 的氣流角跟蹤誤差始終處于預設性能邊界之內，且本文方法的攻角、側滑角及傾側角的穩態誤差均為0.002°，對比方法1 的攻角、側滑角及傾側角的穩態誤差分別為0.006°、0.003°和0.007°，對比方法2 的攻角、側滑角及傾側角的穩態誤差分別為0.01°、0.004°和0.01°。

圖8 攻角跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking error curves of angle of attack

圖9 側滑角跟蹤誤差曲線Fig.9 Tracking error curves of sideslip angle

圖10 傾側角跟蹤誤差曲線Fig.10 Tracking error curves of bank angle

圖11～圖14 給出了舵偏角變化曲線。由圖中可知，執行機構未發生故障時，3 種控制方法的舵偏角響應較為平穩，無抖振現象；由于容錯控制器的作用，執行機構3 s 時發生的偏置故障對舵偏角影響較小；執行機構10 s 發生增益故障時，3 種方法的舵偏角均產生了較大的響應來補償控制效率損失，本文方法與對比方法2 的舵偏角變化曲線在發生增益故障后0.05 s 內趨于平緩，而對比方法1 的舵偏角變化曲線在發生增益故障后2 s 左右才趨于平緩。

圖11 1 號舵偏角曲線Fig.11 Deflection angle curves of Rudder 1

圖12 2 號舵偏角曲線Fig.12 Deflection angle curves of Rudder 2

圖13 3 號舵偏角曲線Fig.13 Deflection angle curves of Rudder 3

圖14 4 號舵偏角曲線Fig.14 Deflection angle curves of Rudder 4

圖15～圖17 給出三通道復合干擾的估計值變化曲線，由圖中可知，執行機構未發生故障時，2 種方法的三通道復合干擾估計值變化較為平緩，執行機構在3 s 發生偏置故障時，復合干擾估計值變化較小，執行機構10 s 時發生的增益故障使復合干擾估計值發生了較大的突變，但在短暫調節后又重新趨于平緩，可用于控制器中實現對復合干擾的精確補償。

圖15 滾轉通道復合干擾估計值曲線Fig.15 Curves of composite disturbance estimate of roll channel

圖16 俯仰通道復合干擾估計值曲線Fig.16 Curves of composite disturbance estimate of pitch channel

圖17 偏航通道復合干擾估計值曲線Fig.17 Curves of composite disturbance estimate of yaw channel

圖18 給出了滑模干擾觀測器的滑模變量變化曲線，可以看出，滑模變量一直處于預設的性能包絡之內，且偏置故障與增益故障對其影響均不明顯。

圖18 干擾觀測器滑模變量變化曲線Fig.18 Variation curves for sliding variable of disturbance observer

為進一步分析執行機構的能量消耗情況，定義能耗值為Ei=∫|δi|2dt。圖19 給出了執行機構的能耗值直方圖。由圖19 可知，采用本文方法的系統執行機構能耗值較對比方法1及對比方法2均更小。

圖19 執行機構能耗值直方圖Fig.19 Histograms of actuator energy consumption

4 結論

本文針對高超聲速飛行器姿態控制問題，提出了一種快速終端滑模保性能容錯控制方法，有效克服了模型不確定、外部干擾和執行機構故障的不良影響。首先建立了高超聲速飛行器面向容錯控制的模型，并利用性能函數與誤差轉換實現對氣流角跟蹤誤差瞬態和穩態性能的約束；其次設計了新型滑模干擾觀測器，實現對由模型不確定、外部干擾和執行機構故障組成的復合干擾的準確估計與補償；最后設計了非奇異快速終端滑模容錯控制器，保證在復合干擾被準確估計之后，氣流角跟蹤誤差在固定時間內收斂。仿真對比結果表明本文方法具有良好的容錯能力。