【摘? 要】? 《義務教育數學課程標準（2022年版）》中強調尺規作圖在發展學生幾何直觀、推理能力和創新能力上的重要作用.而尺規作圖作為數學教學中的重難點，引起了數學教師的重點關注和深層思考.在用尺規作圖解決問題中能夠發現，尺規作圖能夠簡化問題，降低數學學習的難度，通過使用數形結合的思想，讓學生發散思維、自主探究，產生數學學習的興趣和積極性，也為后續學習提供思維和方法的支持.

【關鍵字】? 核心素養；尺規作圖；執果索因

《義務教育數學課程標準（2022年版）》注重數學核心素養的培養，尺規作圖正是培養學生數學核心素養的有效載體.新課標對初中階段尺規作圖提出兩個新增內容，并且重點強調要理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法［1］，由此可以看出新課標對尺規作圖教學提出了更高的要求.史寧中教授也指出：用幾何解釋代數的基本理論工具是幾何作圖；幾何作圖實際上蘊含著幾何證明，幾何作圖對于培養幾何直觀是非常有利的［2］.所以要想用幾何的方法解決代數問題，教師應該更加注重作圖原理和方法的推理，讓學生多經歷探索尺規作圖的內涵和動手操作的過程，發展空間觀念和想象力，培養幾何直觀、推理能力和創新能力，從而提升學生的學習力.1? “尺規作圖”是培養學生核心素養的有效載體

1.1? 幾何直觀

幾何直觀是數形結合思想的重要體現，是學生建立數與形之間的聯系、感知圖形本身內涵的數學核心素養.尺規作圖恰好展示了數與形的相互結合，要把尺規作圖作為數學探究的手段，讓學生對圖形本身有一定的認識，要從數學問題中構建出數學模型，分析圖形的性質，利用數形結合簡化問題，解決問題.1.2? 推理能力

推理是用尺規解題的生長點，而尺規作圖又在促進和發展學生推理能力方面有重要作用.在尺規作圖問題中學生要從“是什么？為什么？怎么做？”三個方面去推理解決問題的方法.從學生推理中，就能發現其思維是否嚴謹、是否具有整體性.1.3? 創新能力

尺規作圖是解決數學問題的重要手段，也為解決數學問題提供了無數方法和思路.學生通過尺規作圖去嘗試、思考、推理、解決問題，借助不同知識間的聯系找到多種多樣的解題方式，提高創新能力.在促進多元知識結合，鞏固學科聯系的同時，也為不同類型問題提供別出心裁的解法.2? 用尺規解決問題的現狀分析

在實際教學過程中，教師往往只注重作圖方法的講解，粗略或一筆帶過作圖原理的推理，這也進一步導致缺乏學習主動性的學生只是機械掌握了作圖的方法，做簡單題目時生搬硬套，遇到較難題目或將具體問題隱藏在問題情境中時，學生不能正確理解題目意圖，也難以從已有知識基礎尋找解決問題的突破口和方法.以2023年徐州市中考數學第26題為例.

兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉璧、玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扁圓型器物，據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發現看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．

（1）若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為；

（2）利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．

本題是2023年徐州中考第26題，是尺規作圖與傳統文化的結合應用，得分率約為10％.這就說明學生對于此題的理解不透徹，在尺規作圖方面的應用能力差，難以把問題簡化成所學的知識技能.題目設計以徐州兩漢文化為背景，以玉璧、玉環為依托，注重將思想、推理和操作相融合，同時也貫徹落實了新課標的新要求“能理解尺規作圖的操作過程；并能進一步利用尺規作圖完成新的作圖，了解其中的數學依據，強化作圖的基本原理和方法”［1］71.

第（1）問考查璧與環的“肉”的面積之比，題目中也指明了“肉”的位置，所以這一問是圓面積公式的簡單應用.

第（2）問重點考查尺規作圖.第①小題讓判斷圖形比例關系是否符合“肉好若一”，也就是判斷內圓的半徑是否是外圓半徑的一半，結合尺規作圖以及圓的性質可以確定本題的關鍵是找同心圓的圓心.簡化后題目就轉化為找同心圓的圓心并判斷兩圓半徑之間的倍長關系.根據“不在同一條直線上的三點確定一個圓”和“垂徑定理”確定具體作圖方法：如圖4所示.在該圓環外圓上任意找A，B，C三點，連接AB，AC，分別作線段AB，AC的垂直平分線，交點即為同心圓的圓心O.過圓心O畫一條直徑，以O為圓心，OD為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關系即可.

這一小題看似容易，但難在理解題意.很多學生難以理解該怎樣用尺規作圖的方式來判斷比例關系，其實就是對尺規作圖的基本原理沒有完全掌握，沒有切實從問題出發“執果索因”，對問題做“減法”，找關鍵.? 圖4

第（2）問的第②小題題目看似容易，只需要在第①小題已經確定圓心的基礎之上找到內孔的半徑，有了圓心和半徑就能確定這個圓的大小，但這也是本題難度最大的地方.該如何找“肉倍好”內孔的半徑，或者換個角度根據題目已有信息“肉倍好”的內涵是三等分外圓的直徑.因此確定本題的關鍵是如何用尺規作圖的方法將線段三等分，然后在已有知識中展開聯想：可以借助三角形相似、平行線所截線段成比例、三角形重心、矩形的性質、等邊三角形的性質等來解決問題.按照①的方法找出圓心O，過圓心畫一條直徑AB，再借助聯想整合出以下作圖方法.2.1? 借助平行線所截線段成比例

如圖5所示.過點A作一條射線；以A為圓心適當長為半徑畫弧，在射線上依次截取AC=CD=DE；連接BE，分別過點C，D作BE的平行線，交AB于點F，G，則F，G為線段AB的三等分點；進而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖5

如圖6所示.以A，B，C為頂點，其中C在圓外，作△ABC；線段BC與圓O交于點D，連接AD；取AD的中點E，連接CE并延長交AB于點F；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖6

這兩種方法都是依據三角形相似和平行線所截線段成比例的性質.其中第一個方法也是新課標在尺規作圖中新增的要求“過直線外一點作這條直線的平行線”的針對性運用.

2.2? 借助三角形重心

如圖7所示.作△BCD，使點A為邊CD的中點，那么此時線段AB是邊CD的中線；取BD中點E，連接CE與AB交于點F，則點F是△BCD的重心；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖7

這種作法是依據三角形重心的性質.三角形三條中線的交點稱為三角形的重心，而重心能夠將三角形的中線分為1∶2的兩部分，這也為本題解決線段三等分提供了思路.

2.3? 借助矩形的性質

如圖8所示.在圓O中，連接AB，CD兩條直徑，以AB，CD為對角線作矩形ABCD；取AC，BD的中點分別為E，H，連接EH；連接DE，交AB于點F；取BF的中點G，則F，G為線段AB的三等分點；進而以FG為直徑畫圓，問題得解.圖8

此方法利用矩形對邊平行且相等的性質，構造出相似比為1∶2的兩個相似三角形△AFE∽△BFD，也就將線段分為了1∶2的兩部分，與借助三角形的重心有異曲同工之妙.

2.4? 借助等邊三角形的性質

如圖9所示.分別以A，B為圓心，AB為半徑畫弧，兩弧相交于C，D兩點，連接AC，AD，BC，BD得到全等的等邊△ABC和等邊△ABD；在線段AC，BC上分別截取AH=BE=AO；連接DH、DE分別交線段AB于點F，G，則F，G為線段AB的三等分點；進而以FG為直徑畫圓，問題得解.? 圖9

這一作法實則是根據三角形的中位線和等邊三角形三邊相等的性質，同樣構造出了相似比為1∶2的兩個相似三角形△HFO∽△DFA，進而促進問題的解決.

2.5? 借助三角函數

如圖10所示.以點A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點C，連接BC，過點O作AB的垂線，交BC于點D，作BD的垂直平分線交AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作圓，問題得解.圖10

如圖11所示.以點A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點C，連接OC，作OC的垂直平分線，交OC于點D，作OA的垂直平分線，交AD于點E，過點E作AD的垂線交AB于點F，以O為圓心，OF為半徑作圓，問題得解.圖11

這兩種方法借助了30°和60°角的三角函數來解決.利用尺規作圖構造出特殊直角三角形，并與垂徑定理結合，將大圓的半徑分成了1∶2的兩部分.特殊角的三角函數為本題的解答提供了獨特的思路.

綜上來看，解決這一問的方法是多種多樣的，但學生的答題率和正確率卻不樂觀，其原因就在于學生分析題目的能力欠缺，對于尺規作圖一類的題目只會機械套用作圖步驟，不能結合所學基本圖形的性質進行聯想.因此要解決尺規作圖類題目，我們應該先從情境中抽象出數學模型以達到問題簡化的目的，再去分析解決問題的關鍵，然后在頭腦中展開聯想，根據聯想整合作圖方法，最后形成自己的解題方法.注重從已有的知識出發分析問題，注重將“思想、推理和操作”相融合，善于借力來解決問題.

這樣通過“抽象數學模型—簡化問題—結合幾何圖形性質—找尋問題關鍵”的方式，對問題做簡化，幫助學生分析問題，確定核心問題；通過“執果索因”，從問題出發，理清解決問題的思路，尋找問題解決的突破口，幫助學生解決問題；引導學生聯想已有的知識基礎，發散思維，使用不同的方法解決問題，讓學生更加理解尺規作圖的基本原理.3? 核心素養背景下用尺規解決問題的路徑探究

從新課標的要求以及教學中的實際情況來看，尺規作圖作為解決數學幾何圖形問題的“抓手”之一，是日常教師的教和學生的學與應用的難點.因此，教師應該從學生現有的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗出發，注重思想、推理和操作的相互融合，幫助并引導學生掌握尺規作圖.3.1

確定解決問題的關鍵

讀題是解決問題的第一步.讀題是指閱讀問題、理解問題、分析問題.學生在面對題干情境較長的問題時，通常會將題目歸為難度大的題目，而閱讀題目的過程中去圈畫關鍵字，目的是讓學生將實際問題轉化成數學模型，是幫助學生對問題做“減法”，也讓學生更容易理解問題.然后再從已有知識出發分析問題，對問題進行分類，確定解決問題的關鍵.

3.2? 關注知識之間的聯系

尺規作圖表面上是對學生的一項技能訓練，實際上則是對學生思維能力的培養.大部分題目都不是孤零零的出現，而且伴隨著多重考點，這就意味著學生要在頭腦中不斷聯想，要能夠將知識緊密的聯系在一起.從問題以及確定的關鍵出發，善用“執果索因”，聯系基本圖形的性質，注重知識之間的相互關聯，這是做題的關鍵也是讓學生思維不斷開闊的良好方法.

3.3? 理解作圖的基本原理

《新課標》中多次強調要了解作圖的操作過程，強化作圖的基本原理，理解作圖的本質.作圖不能只是機械的套用畫圖步驟，而應以基本知識為基礎去掌握基本技能，并學會站在數學的角度用數學的思想獲得基本的活動經驗.在觀察學生用尺規作圖解決問題的過程中筆者發現學生通常畫了圖就默認自己已經完成解題，但他們忽略了畫圖只是一種假設，畫完圖后還應對于此種假設進行證明，看看是否符合數學邏輯.3.4? 形成自己的解題方法

基于學生思維發展的不同和已有知識的相似，解決問題的方法是多種多樣的，因此就要求學生在做題時形成自己的解題方法.基于“確定關鍵、關注聯系、理解原理”這樣一個整體性的尺規作圖解題流程，學生的思維十分重要，而思維的體現方式就在于最終的方法的選擇.尺規作圖題目往往要求保留作圖的痕跡，從痕跡就可以看出學生的思維是否嚴謹，思維是否具有關聯性.4? 結束語

綜上所述，尺規作圖在培養學生核心素養和解決數學問題中有著不可或缺的重要地位.同時教師也應該借助尺規作圖的教學，讓學生更加關注知識之間的多元聯系，通過不斷聯想促進“深度學習”的實現，發展高階思維，完成核心素養的提升.

參考文獻［1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.4：63.

［2］劉金英.尺規作圖畫出精彩——基于2022年中考感悟尺規作圖的育人價值［J］.中國數學教育，2022（12）：41-45.作者簡介? 馬玉潔（1999—），女，江蘇徐州人，中小學二級教師；主要從事數學教育與初中數學教學研究.