基金項目? 聊城市重大攻關科研課題“教育信息化下的教師專業發展研究”（LJZ16015）.

【摘? 要】? 以2023年北京中考卷第27題為例，通過把握圖形特征，分析圖形性質，借助圖形分析問題，探索解決問題的思路，分析問題情境中的基本圖形，探究其中的不變關系，達成高效解題，體現試題的育人價值.

【關鍵詞】? 關注整體；基本圖形；幾何直觀；學科素養

1? 試題呈現

題目? 在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．

（1）如圖1，當點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；

（2）如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF＝DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．

圖1????????? 圖2

2? 試題分析

本題是一道幾何綜合題，主要考查“圖形與幾何”知識領域的相關內容，考查學生是否理解圖形運動的變化特征，發現其中蘊含的不變關系，能否運用幾何圖形的基本性質進行推理論證.考查學生是否具備一定的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

解題思路一定要從題目條件出發，順藤摸瓜，分析每個條件背后的含義，將可能推導出的結論連接成知識網絡.線段、角的計算、證明基本都是利用三角形全等、相似，直角三角形性質、三角函數等知識點進行考查的［1］.第（1）問，主要考查對線段旋轉這一概念的理解與運用，三角形的外角性質的運用、等腰三角形的判定，難度不大.

難度主要集中在第（2）問.當點D在線段MC上運動（不與M，C重合）時，始終有DM=DE，DF=DC，∠FDE=2α，圖1中的點M就可以看作點F的特殊位置，連接EM（如圖3），則ED=FD=CD，從而E，M，C在以D為圓心，MC為直徑的圓上，從而根據“直徑所對的圓周角是直角”，可得∠MEC=90°，所以∠AEF=90°.關注特殊位置，可以讓我們快速確定定值［2］.這樣的特殊位置還可以是圖4、圖5.圖6是借助幾何畫板驗證點D在線段MC上運動，∠AEF的運動軌跡，借助其度量功能，∠AEF的大小始終不變，為90°.圖3????????? 3? 解法探究

解法1? 如圖7，延長DE，交AC于T，連接FT，則FD=DT=DC，根據“一邊中線等于這邊一半的三角形是直角三角形”或者圓的定義結合圓周角定理推論，可得∠FTC=90°，所以∠FTA=90°，又因為∠FMA=90°，取AF中點O，連接OT，OM，根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”，可得OT=OA=OF=OM，根據圓的定義，可得A，F，M，T在⊙O上，且AF為⊙O直徑，由DE=DM，DF=DT，可得∠DEM=∠DFT=180°-∠MDE2，根據“外角等于它的內對角的四邊形四個頂點在同一個圓上”，可得F，M，T，E在同一個圓上，然后根據“經過不在同一直線上的三點有且只有一個圓”，故E在⊙O上，又因為AF為⊙O直徑，所以∠AEF=90°.

點評? 解法1著眼整體，注重與第（1）問的關聯，充分利用圓的定義，確定圓的條件，以及確定四點共圓的條件，圓周角定理的推論等，來確定思路.當F在線段CM上時，如圖8，仍然可以用這種思路.從解法1中發現：第一，∠AFE=∠AME=α始終成立；第二，通過證明△OFM≌△OTE，得到OE=OM說明E在⊙O上.這樣更易理解.

解法2? 如圖9，延長FE到N，使EN=FE，連接AF，AN，CN，由EF=EN，DF=DC，可得DE為△FCN的中位線，根據“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”，可得DE∥CN，DE=12CN.因為AB=AC，AM⊥BC，所以BM=CM=12BC，又因為DF=DC=12CF，所以DE=DM=CM-CD=12BC-12CF=12BF，所以CN=BF.因為DE∥CN，所以∠NCD=∠EDM=2α，又因為∠B=∠ACB=α，所以∠ACN=∠B.在△ABF和△CAN中，因為AB=AC，∠B=∠ACN，BF=CN，所以△ABF≌△CAN（SAS），所以AF=AN，又因為EN=FE，所以根據等腰三角形“三線合一”的性質，可得AE⊥FN，從而∠AEF=90°.

點評? 當F在線段CM上時，如圖10，仍然可以用這種思路.尋求線段間的數量關系，對幾何圖形的定性定量分析，往往至關重要.在幾何學習過程中，線段的中點是常見的條件之一，當圖形中有中點時，要注意聯系“三角形中線”“直角三角形斜邊中線”“等腰三角形底邊中線”“三角形中位線”等知識，合理添加輔助線，構造有關基本圖形.發現DM是BF的一半（還可以用代數法來推導，可以設BM=CM=x，DF=DC=y，則DM=x-y，而BF=2x-2y），是證明三角形全等的關鍵，史寧中教授指出：越是直觀的越難抽象［3］.在學習過程中，兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形形成的全等三角形較為常見［4］.如果先繞點A逆時針旋轉△ABF到△ACN處，再連接FN，需要證明△FDE∽△FCN，得到∠DFE=∠DFN，結合兩角相等的定義（疊合法）來說明另一邊FE，FN也重合，從而說明F，E，N三點在同一直線上，下同解法2.

解法3? 如圖11，連接AF，并取其中點O，連接OM，OD，OE，因為OF=OA，DF=DC，所以OD為△FAC的中位線，所以OD∥AC，∠ODM=∠C=α，又因為∠MDE=2α，所以∠ODE=∠ODM=α，在△OMD和△OED中，因為MD=ED，∠ODM=∠ODE，OD=OD，所以△OMD≌△OED，所以OE=OM=OA=OF，根據圓的定義結合圓周角定理推論或“一邊中線等于這邊一半的三角形是直角三角形”，可得∠AEF=90°.

點評? 如圖12，當點F在線段CM上時，仍然可以用三角形全等這種思路，當然在圖11、圖12中，如果連接ME，由DM=DE，DO平分∠MDE，得DO垂直平分ME，那么OE=OM，利用這種思路也是可以的.我們在得到OE=OA=OF后，除了利用“圓的定義結合圓周角定理推論”或“一邊中線等于這邊一半的三角形是直角三角形”外，利用∠AEF=∠AEO+∠FEO=180°-∠AOE2+180°-∠FOE2，來得到∠AEF=90°也是可以的.

解法4? 如圖13，連接ME，作EG∥AC，交BC于G.則∠EGM=∠C=α，MD=ED=DG，∠MEG=90°，由DM=DG，DF=DC，得DF+DG=DC+DM，即FG=CM，從而tanα=EMEG=AMCM=AMFG，由∠AME+∠EMG=90°，∠FGE+∠EMG=90°，得∠AME=∠FGE，根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，得△AME∽△FGE，所以∠AEM=∠FEG，從而∠AEF=∠MEG=90°.

點評? 如圖14，當點F在線段CM上時，仍然可以用解法4這種思路.在解法4中，得到FG=CM是問題解決的關鍵.

解法5? 如圖15，記EF交AM于K，作DN∥AC，交AM于N，連接EN.則∠MDN=∠C=α，則∠NDE=∠MDE-∠MDN=α=∠MDN，且MD=ED，ND是公共邊，所以△NMD≌△NED，所以NE=NM，∠NED=∠NMD=90°，根據“四邊形內角和等于360°”，可得∠MNE，∠MDE互補，又因為∠MNE，∠ANE互補，所以∠ANE=∠FDE.ANFD=ANCD=MNMD=NEDE，所以△ANE∽△FDE，所以∠NAE=∠DFE，又∠AKE=∠FKM，所以∠AEF=∠AMB=90°.

點評? 如圖16，當點F在線段CM上時，仍然可以用解法5這種思路.結合解法2和解法4，繼續思考，可以得到解法6、解法7.

解法6? 如圖17，連接AF，ME，作DH⊥ME，垂足為H.因為DM=DE，DH⊥ME，所以∠MDH=12∠MDE=α，MH=12ME，由解法2，知DM=12BF，AMAB=sinα=MHDM=12ME12BF=MEBF，由解法4，知∠AME=α=∠B，所以△AME∽△ABF，所以ABAM=AFAE，∠BAF=∠MAE，從而ABAF=AMAE，∠BAM=∠FAE，所以△ABM∽△AFE，所以∠AEF=∠AMB=90°.當F在CM上時（如圖18），結論∠AEF=90°仍然成立.

解法7? 如圖19，記FE交AM于K，連接ME，CE，延長ED到N，使DN=ED，連接FN，MN，CN，由DF=DC，DN=ED，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，可得四邊形CEFN為平行四邊形，所以FE∥CN，所以∠KFM=∠MCN，由MD=DE=DN，∠MDE=2α，得∠EMN=90°，∠MNE=α，所以MEMN=tanα=AMCM，由∠AMC=∠EMN=90°，得∠AME=∠CMN，所以△AME∽△CMN，所以∠MAE=∠MCN，所以∠MAE=∠KFM，又因為∠AKE=∠FKM，所以∠AEF=∠KMF=90°.用這種方法仍可證明點F在線段CM上時（如圖20），∠AEF=90°.

點評? 當然還可以不連接FN，倍長ED，得到△FDE≌△CDN，利用△AMC∽△EMN或由∠ACM=∠ENM得兩角正切值相等，即AMCM=MEMN，下同解法7也是可以的.一般地，在圖形中遇到一個中點時，可倍長中線，補成一個中心對稱圖形，達到轉移線段位置的目的.進一步分析，如圖21，在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M，動點D在BC的延長線上時，動點F在線段CD的延長線上，DF=DC，將線段DM繞點D順時針旋轉2α得到線段DE．∠AEF=90°仍然成立.

4? 教學啟示

對知識掌握的靈活程度決定著知識的應用層級，從模仿套用→分析整理→融合創新，體現了知識運用的三個層次.完整的知識體系和方法體系只是第一步，針對不同的問題總結歸納圖形結構，聯想有關基本圖形，抽象圖形的性質，及有效應對方法是第二步，熟練靈活的選用恰當的方法是第三步.在幾何教學中，引導學生理解圖形構造，顯得極為重要.4.1? 領悟聯結學習，把握教學價值取向

教育學家桑代克指出：學習的實質是在一定的情境和一定的反應之間建立聯結［5］.本題在命題結構上有所創新，試題引導學生通過畫圖、觀察和分析圖形運動變化的全過程，猜想、探究其中的不變關系，思考并證明自己的猜想，考查學生直觀想象、邏輯推理等數學素養和從特殊到一般的數學思維價值方法.圖形結構較為簡單，一個等腰三角形，一個動點，賦予旋轉和中點意義之后，整個圖形就活了，既能構造旋轉全等或相似，也可以構造中位線，并且相互關聯得到更多新的結論，其中豐富的直角三角形，除了用于“導角”之外，還可以借助斜邊上的中線，以及尋找共斜邊的直角三角形，發現隱圓，從而由直線型跳到圓弧型進行構圖.4.2? 把握圖形結構，有效提高解題能力

立足整體把握，幫助學生尋求基于問題情境、深挖背景知識的自然解法.最佳解法是解題教學的基本要求.把復雜的幾何圖形轉化為簡單的基本圖形，或者把簡約且內涵豐富的圖形豐富完善，是數學轉化思想的體現.通過一題多解，能有效觸發學生多角度，多方位的思考，促進知識向學科素養的轉化；全面聯動相關知識，促進數學知識體系的有效建構.學無止境，注重知識的形成過程與解后的反思與回顧，積累成功經驗，知其然，知其所以然，建立學生與知識的意義聯系，方能真正落實能力與素養的培養［6］.基本圖形在幾何解題教學中，有著重要作用［7］.我們在數學教學中應幫助學生養成畫圖的習慣，建立分離基本圖形的能力.回顧本題的解法，解法1通過圓的定義結合三角形全等，解法2、解法3構造三角形全等，解法4—7，分別以E，A，M為頂點，構造共頂點相似三角形，通過“組形→補形→變形”，使學生感知運用基本圖形進行思考，注重“畫圖、讀圖、析圖”能力的培養，總結基本圖形的特征.既要能拓展基本圖形的變化，也要能在復雜幾何圖形中完成構造、提煉基本圖形，實現多圖相關，尋找解決問題的突破口.借助幾何直觀和空間想象構建幾何問題的數學模型，對問題進行探索并促進邏輯推理的鍛煉與養成，感受數學思想方法的魅力.隨著多方位知識的調用與重組，又促進了思維的不斷創新，創新意識就在把握數學知識的本質、聯系的過程中逐漸形成.4.3? 整體把握教學內容，強化聯結，優化數學教學

基于中考試題開展解題研究和教學實踐，是數學教師的基本教學任務，也是提高學生解題能力的基本途徑［6］.平時解題訓練不應只求做對，而應力求把問題做透.只有把問題理解透徹了，我們才能真正透過現象捕捉到問題（圖形）本質，才算達到做透的境界，小題要做出深度，大題要做出廣度.邏輯結構是數學問題的核心，從條件到結論或者從結論到條件都有其內在的聯系.要想弄清問題的結構關系，就要進退有序，順勢而為，則思路暢通，盤活全局.在當前“雙減”時代背景下，引領學生從學會走向會學是重要目標，在數學教學中，不僅要注重具體內容與核心素養的關聯，還要注重內容的主線與核心素養發展之間的關聯［8］.優秀的中考試題就像一個有多個入口和出口的迷宮，且每條路一眼看不到頭，需要我們不斷嘗試，不斷強化聯結，找到適合的路徑.郭華教授指出：學習的過程，不僅僅是學習知識，不止于學習知識，要把教學內容轉化為學生的精神力量［9］.在教學中要注意“教學內容的邏輯”“學生心理的邏輯”有機結合［10］，教學設計要體現“教學內容的本質”“在學生思維的最近發展區”“關注通性通法”“關注問題的發展性”的原則.數學教學的過程要緩滲透，勤反思，多質疑，在課堂教學過程中，關注學生的思維起點和對問題的結構分析，促進學習真正發生，讓核心素養真正落地.

參考文獻

［1］齊欣.例析線段、角的計算與證明［J］.數理化學習（初中版），2017（02）：7-10.

［2］齊欣.關注特殊位置，快速求解定值［J］.數理化學習（初中版），2017（10）：24-25.

［3］史寧中.數學思想概論（第2輯）——圖形與圖形關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2009.

［4］齊欣.2022年蘇州中考數學試題第8題解法研究［J］.數理化學習（初中版），2023（05）：6-9.

［5］張大均.教育心理學 ［M］.第3版.北京：人民教育出版社，2015.

［6］鄭振興.注重研形求理，達成解題高效——一道中考試題的評價、解法賞析和教學啟示［J］.中國數學教育（初中版），2023（06）：55-58.

［7］周斌.一題多解拓思維基本圖形顯魅力［J］.中小學數學（初中版），2021（03）：31-32.

［8］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［9］郭華.教學的模樣［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［10］金鐘植.“數學通性通法”的研究綜述及其現實意義［J］.數學通報，2021（01）：32-38.

作者簡介? 齊欣（1976—），男，山東臨清人，中學高級教師；主要從事初中數學教育研究.