莫讓概率實驗的教學形同虛設

基金項目? 2022年度江蘇省教育科學規劃課題“大概念觀照下初中數學前建構教學的實踐研究”（C/2022/02/01）；江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃課題“數學理解視域下跨學科教學的實踐研究”（2022/LX/02/081/10）.

【摘? 要】? 通過從學科、學生、教材與教學四個視角對蘇科版八年級下冊“8.2可能性的大小”一課展開案例分析與思考，并提出對“認識概率”單元的教學建議：重視概率實驗的意義，發展學生的核心素養；緊扣學生已有認知經驗，豐富對概率的理性認識；組織設計前建構課堂，明晰概率的本質內涵；借助信息技術工具，發展智能計算思維.

【關鍵詞】? 認識概率；可能性的大小；初中數學；案例分析

1? 問題緣起

近期，在蘇科版教材八年級下冊“8.2可能性的大小”教學中，筆者組織了如下數學實驗：在不透明的盒子中裝有1支白粉筆、2支黃粉筆和3支紅粉筆，每支粉筆除顏色外都相同.每次從盒子中摸1支粉筆，記下所摸粉筆的顏色，然后將粉筆放回并搖勻，重復10次，將結果填寫到表1中.表1? 摸粉筆實驗結果記錄表實驗結果劃記頻數頻率

摸到白粉筆

摸到黃粉筆

摸到紅粉筆

在課堂教學中，筆者將6支粉筆放置在粉筆盒中，并邀請了若干位同學隨機抽取粉筆.第一個班通過10次抽取實驗，得到了摸到白粉筆1次、黃粉筆3次、紅粉筆6次的完美結果，順勢激發學生思考“摸到紅粉筆的可能性與哪些因素有關”，豐富學生對可能性大小的感悟.但在第二個班的實驗中，卻出現了十分尷尬的一幕：在10次抽取的結果中一次也沒有抽到白粉筆，反而抽出了7次黃粉筆、3次紅粉筆，這不由引發了學生的哄堂大笑.筆者只有無奈地向學生解釋道：無論摸到什么顏色的粉筆都是隨機事件，我們實驗的次數偏少就有可能出現這種情況，那如果我們實驗次數增加到100次、1000次，那么大家猜一猜摸到哪種顏色的粉筆可能性大呢？學生配合地回答道：紅色粉筆.隨后歸納出：一般地，隨機事件發生的可能性有大有小，并迅速進入課堂的下一個環節.回首再看這一實驗的設計與教學實施，可以發現無論實驗是否成功，都沒有達到相應的實驗效果，實驗結論也大多屬于教師的告知，是一種“自圓其說”的表現，缺乏學生真實的體驗與內在的認同.而這一次尷尬的實驗也不禁反映出了概率教學的一大問題——概率實驗的教學“形同虛設”.對此，筆者針對這一案例展開深入思考，以期為初中概率的教學提供些許建議.2? 案例分析與思考

2.1? 學科視角：為何摸到紅色粉筆的次數不是最多的

在蘇科版九年級下冊的教材中將隨機事件A的概率表示為P（A）=mn，m是指事件A發生可能出現的結果數，n是指所有等可能出現的結果數.因而，從理論的角度可以推出實驗中摸到紅粉筆的概率為12，摸到黃粉筆的概率為13，摸到白粉筆的概率為16，故摸到紅粉筆的可能性最大.由大數定律可知，隨機事件在反復多次實驗中的頻率穩定在某一個常數附近，這個常數被認為是隨機事件發生的概率的估計值.上述概率的表示均是建立在反復多次實驗的基礎上，而在課堂中由于實驗次數較少，則很有可能出現現實情況與理論情況相違背的現象，這就需要進行更多次實驗，方能得出較為理想化的結果.因此，教師可以組織開展小組活動，讓每個小組都開展10次乃至更多次的摸粉筆實驗，進而在大量數據的匯總與疊加下，現實結果會更趨向于理論情況，就能夠直觀地呈現出摸到不同顏色粉筆的可能性大小，這樣課堂中就不會出現如此尷尬的情況了.

2.2? 學生視角：為何學生會“哄堂大笑”

在第二個班的實驗中，隨著一支又一支黃色粉筆被抽出，學生們越來越興奮，筆者也越來越緊張，直至十次實驗全部完成后統計結果，學生們就哄堂大笑了起來.學生的大笑從表面上看是由于他們看到了老師“出糗”，即“明明紅粉筆支數多，但實驗摸出黃粉筆的次數卻遠超紅粉筆”，期待老師如何“圓場”.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022版》）在第三學段“統計與概率”中要求“通過試驗、游戲等活動，讓學生了解簡單的隨機現象，感受并定性描述隨機現象發生可能性的大小，感悟數據的隨機性，形成數據意識”［1］.這就說明在小學階段學生能夠借助數量的多少來描述隨機事件發生的可能性大小.從深層次看，學生在參與實驗之前就已經知道了實驗理想化的結果，即“摸到紅粉筆的次數最多，黃粉筆次之，白粉筆最少”，也能夠明白實驗結果的隨機性.因而，面對實驗結果與學生原有認知相矛盾時，學生就認為“該實驗是沒有意義”，并以“哄堂大笑”的形式表現出來.

2.3? 教材視角：“可能性的大小”的編排意圖是什么

《課標2022版》指出：隨機事件的概率的教學要從小學階段的定性描述逐漸走向初中階段的定量分析，應當通過簡單易行的情境，引導學生感悟隨機事件，理解概率是對隨機事件發生可能性大小的度量［1］76.這也就意味著初中階段“可能性的大小”的教學并不是炒小學的“冷飯”，而更需要從定量分析的角度來思考隨機事件的可能性大小，為后續概率的計算教學而服務.

蘇科版教材在八年級下冊編排了“認識概率”這一章，包含“確定事件與隨機事件”“可能性的大小”“頻率與概率”這三塊內容.本章的重點是希望學生能夠初步建立概率的基本概念，能夠通過定量分析，利用頻率來估計概率的大小.“可能性的大小”這節課的內容重點在于讓學生通過實驗探究感受古典概型與幾何概型下隨機事件發生可能性的大小，初步感知可以通過頻率來定量分析可能性的大小，為后續用頻率估計概率的引出鋪墊.然而，教材在“嘗試”環節中給出了5只裝有10個球的不透明袋子，其中白球的個數依次為4，2，9，0，10，要求根據摸到白球的可能性大小排序.學生能夠快速地根據白球的數量多少來排出可能性大小的順序，在課堂中也有學生已經能夠準確地說出各個袋子中摸到白球的概率.雖然答案是正確的，學生的答案是由“白球的個數占總球數之比”得到，這是受數字巧合的影響對概率公式的形成一種錯誤的認識，不利于學生后續概率公式的深度學習.

綜上，初中教材的編排相較小學而言，增添了“計算頻率”這一步驟，體現了概率知識學習的螺旋式上升，突出了小初概率學習的差異，為學生定量刻畫可能性的大小提供了明確的方向.但教學中也要避免學生產生對概率認識的偏差.

2.4? 教學視角：“可能性的大小”應該怎么教

基于上述分析，“可能性的大小”的教學既要立足小學階段對可能性大小的定性描述，又要結合數學實驗啟發學生從定量分析的角度刻畫可能性的大小，為用頻率估計概率的引出打好基礎，同時也要幫助學生免受數字巧合的影響，發展學生的數據觀念.

因此，教師在教學中應積極組織開展古典概型與幾何概型的兩類概率實驗，如：摸球實驗和轉轉盤實驗，鼓勵學生主動參與到實驗中去，通過實踐操作、記錄數據、計算頻率等活動，讓學生結合原有經驗與實驗結果，初步感知隨機事件的可能性的大小，提升數據分析能力.而后，教師引導學生思考“隨機事件的可能性的大小與什么因素有關呢？”“兩次實驗的異同之處在哪？”“如何定量刻畫可能性的大小呢？”等問題，讓學生通過對實驗結果的分析與思考，建立用頻率估計概率的意識，逐步實現由對可能性大小的定性描述轉向定量分析.

同時，為了避免學生對概率的計算產生錯誤的認知，教師可以對上述實驗進行進一步拓展，例如在摸球實驗中，教師可以讓學生有放回地摸兩次，記錄所有可能的情況，并判斷各種情況發生可能性的大小.在活動中，學生無法從球的數量來判斷可能性的大小，只能回歸到利用生活經驗來感知或者利用隨機事件出現的頻率來判斷，更利于學生感受事件發生的隨機性，發展數據分析意識，提升數學統計素養.3? “認識概率”單元的教學建議

3.1? 重視概率實驗的意義，發展學生的核心素養

在當下概率教學的評價導向下，教師大多抱以“考什么就教什么”的態度，更側重概率的計算教學.同時，由于概率實驗的隨機性，學生往往無法在小量次數的實驗中得到較為理想的結果，且受限于課堂教學的時間、場地、器材等因素，概率的實驗在教學中往往受到了“冷落”.這就會導致教師選擇如案例的教學形式，讓學生在已知實驗結果的情況下“旁觀”概率實驗，進而假裝得出實驗結果，引出教學內容，然后迅速地轉向概率問題的解決中.雖然八年級的學生處于皮亞杰認知發展理論中的形式運算階段，思維具有可逆性、補償性和靈活性，能夠結合原有認知經驗接受這一事實，但是如此教學使學生容易產生“等可能偏見”“曲解概率的內涵”等問題，不利于學生數學統計素養的發展，喪失了概率教學的價值意義.

因此，教師要重視概率實驗的意義，在“認識概率”單元的教學中，充分發揮“拋硬幣”“摸小球”“轉轉盤”“拋圖釘”等實驗的價值，讓學生以小組合作的形式在課堂中完整經歷實驗操作、記錄數據、分析數據、得出結論的概率統計過程，豐富用頻率估計概率的活動體驗.此外，在單元教學的尾聲，教師可以組織跨學科主題的項目活動（如圖1），以生物學中“生物種群密度的取樣調查方法——標志重捕法”為主題，引導學生理解該調查方法的數學原理，感知統計與概率知識學習的意義.活動中，教師可以設計模擬實驗，以大米、紅豆、綠豆等材料代替生物的種群，讓學生開展實驗探究，利用統計與概率的知識來推測出大米、紅豆、綠豆的數量.通過該項目活動的學習，學生的數學素養在多個方面不同維度上都得到了提升，同時也有利于學生跨學科素養的形成與發展.

3.2? 緊扣學生已有認知經驗，豐富對概率的理性認識

建構主義強調，學生并不是空著腦袋進課堂的，他們在過去的學習與生活中已經積累了大量的知識經驗、數學活動經驗、生活經驗，為新知的學習提供認知基礎、情感體驗等.一般來說，對原有經驗的再構建是學生獲得新知的最有效方式［2］.正如案例中學生“哄堂大笑”的情形，這正是學生原有認知經驗與實驗結果產生的沖突而導致的.因此，教師首先要明晰學生對概率知識的認知基礎、小初概率內容的異同之處，避免初中課堂與小學課堂產生同質化傾向，體現知識的螺旋式生長.其次，教師要明晰教材對“認識概率”章節的編排意圖，提煉單元教學的目標與重難點，緊扣“用頻率估計概率”這一關鍵點，引導學生從小學階段的定性描述逐漸轉向初中階段的定量分析，實現數據分析素養由數據意識向數據觀念的進階，豐富學生對概率的理性認識.

3.3? 組織設計前建構課堂，明晰概率的本質內涵

概率論是研究隨機事件發生規律的學科，它的產生與發展經歷了四百余年，逐漸發展為一套完整的理論.概率知識高度抽象，與幾何與代數的知識中的因果關系、邏輯關系等確定性思維方式相比有著較大差異，學生理解起來較為困難.而且要讓學生接受“用大數次試驗中頻率的穩定值作為概率的估計值”這一觀點，也并非易事［3］.倘若要讓學生建立對概率本質內涵的清晰認識，教師需要讓學生在系統認識概率之前先初步建構概率知識的基本框架，初步感受用數據來描述隨機事件可能性的大小，即教師可以圍繞教材章首語的編排開設單元前建構課.在蘇科版教材的“認識概率”的章首語中呈現了拋擲圖釘實驗的折線統計圖，并附上了引言“事件發生的可能性有大有小.概率度量事件發生的可能性的大小.”統計圖揭示了隨著拋擲次數的增多，頻率趨向穩定的這一現象，而引言則揭示了事件發生的隨機性與概率的基本內涵，明晰了單元研究的對象.章首語中還給出了摸小球的實驗，其目的分別是感受隨機事件、感受隨機事件發生的可能性的大小、感受等可能事件.最后，章首語給出了本章的研究對象與研究方法，建構了單元知識框架.

基于上述分析，在“認識概率”的章前構課中，教師可以組織學生開展拋擲圖釘的實驗，讓學生首先思考拋擲圖釘后可能出現的情況（即“針尖著地”與“針尖不著地”），初步感知隨機事件，進而讓學生從感性的角度出發判斷哪種情況發生的可能性較大，激發學生實驗探究的興趣.而后，學生以小組為單位通過不斷拋擲圖釘，記錄數據，并在教師的引領下匯總數據，繪制折線圖統計圖，發現“大量實驗下‘針尖不著地’的頻率在0.61附近擺動”這一事實，建立用數據來刻畫可能性大小的意識，揭示概率的意義，發展學生的數據觀念.最后，教師可以總結概率研究的基本內容與基本思路，共同繪制初中概率學習的框架圖，揭示小初概率學習的差異，為后續概率的學習起到先行組織者的作用.

3.4? 借助信息技術工具，發展智能計算思維

《課標2022版》中指出：要重視大數據、人工智能等對數學教學改革的推動作用，改進教學方式，促進學生學習方式轉變［1］88.信息技術的發展為數學教學的開展提供了諸多直觀、便捷的方式，同時也不斷推動著數學教學形式的變革.在概率的教學中，信息技術的融入有助于教師與學生進行隨機數據的產生、數據的處理、數據的可視化分析等.因此，在“認識概率”單元的教學中，教師可以利用信息技術來模擬數學實驗，例如，“拋骰子”實驗就可以利用Excel中的RANDBETWEEN函數，即在單元格中輸入“=RANDBETWEEN（1，6）”就可以立刻隨機輸出1～6中的整數，再利用COUNTIF函數統計數字1～6出現的次數.表2中統計了隨機產生的700個數，學生能夠直觀地感受出數字1～6出現的頻率較為接近.此外，教師還可以將數字1～5代表紅球、數字6代表黃球來模擬摸球實驗，甚至可以進一步開發拋圖釘、轉轉盤等實驗的計算機模擬，為隨機數據的產生提供便捷.

在獲得隨機數據后，教師可以利用Excel中的插入圖表功能，快速地呈現相關統計圖，便于學生觀察可視化數據，利于學生順利地發現概率中的相關結論.當然，課程中統計軟件的使用不僅可以采用Excel，還可以應用Tinkerplot等統計教育軟件和SPSS、R等專業統計軟件，發揮軟件優勢，凸顯其數據可視化的價值.此外，當面對較為復雜、不便于紙筆計算的數據時，教師還可以與信息技術教師合作，開展跨學科的項目式學習課程，讓學生親身體驗應用計算機收集數據、分析數據與處理數據，養成利用信息技術開展研究的習慣，促使學生智能計算思維的發展.4? 結束語

隨著社會信息化程度的不斷提升，概率在生活各個領域的應用愈加廣泛，概率教學的重要性也日益突出.概率實驗作為概率教學不可或缺的組成部分，能夠使學生親身經歷隨機事件發生規律的探索過程，激發學生從定量分析的角度感知可能性的大小，消除“等可能偏見”，發展數據觀念、推理能力等數學核心素養.因此，教師要立足單元整體，合理設置開展概率實驗的時機，重視概率實驗的教學組織，發揮學生在課堂中的主體地位，促進學生形成對概率探究的真實體驗，加深其對概率本質的認識與理解.當然，教師不應盲目地夸大概率實驗的價值，要以理性客觀的眼光審視組織概率實驗的必要性，要鼓勵學生開展概率的“思想實驗”，讓學生通過“思想實驗”來初步感知隨機事件發生的可能性的大小，形成對可能性大小的感性認識，而后再加以開展必要的概率實驗，以此發現規律、驗證猜想、修正錯誤，切實體會隨機性與隨機思想，形成豐富的數學體驗.最后，值得指出的是，由于實驗次數的有限性與實驗結果的隨機性，開展概率實驗的真正目的并不是為了驗證概率的大小，而是為了讓學生親身經歷事件發生的隨機性及其規律性，使學生產生感性與理性的思維碰撞，修正對概率的錯誤認識，建立正確的概率直覺.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：37.

［2］黃賢明.基于學生經驗的教學實踐與思考——以蘇科版“有理數的除法”教學為例［J］.中學數學雜志，2022（06）：37-39.

［3］趙燕，連春興.初中概率教學“雞肋說”的根源分析——兼談一個教學案例的啟示［J］.數學通報，2011，50（11）：8-12.

作者簡介? 黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，中學二級教師;研究方向為初中數學教學．