高考全國卷求離心率的題型及解法歸類

李定平

(廣東省佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué) 528300)

圓錐曲線的離心率問題是高考中的一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn).因?yàn)殡x心率是刻畫圓錐曲線形狀的一個(gè)基本量，能考查考生對(duì)圓錐曲線形狀最本質(zhì)的理解，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，靈活多變,綜合性強(qiáng).

一、已知焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系

1.已知焦點(diǎn)三角形中的角

2.已知焦點(diǎn)三角形中邊的關(guān)系

解析1 (幾何法)設(shè)|BF|=t，則由已知可得|AF|=4t.由雙曲線的定義可得|AF′|=2a+4t, |BF′|=2a+t.在△AFF′和△BFF′中,由余弦定理，得(2a+4t)2=(4t)2+(2c)2-2×(4t)×(2c)cos120°，(2a+t)2=(t)2+(2c)2-2×t×(2c)cos60°.即(2a)2- (2c)2=-16at+8ct,(2a)2- (2c)2=-4at-2ct.

故選A.

二、由漸近線求離心率

①

②

三、其它題型

基本思維方法是用坐標(biāo)法把已知條件化歸為a，b，c的關(guān)系求離心率.

數(shù)學(xué)是思維的體操，引導(dǎo)學(xué)生如何思考才是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本途徑.所以把離心率問題歸結(jié)為一個(gè)思考方向(往哪方面想)，兩條路徑(如何達(dá)到)，三種題型.真可謂“思想方法是王道”.