求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的三角標量輔助變量方法

郭姣姣 莊清渠

摘要： 采用三角標量輔助變量（TSAV）方法，構造求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程初邊值問題的高效數值格式。基于方程非線性勢能的三角函數形式，提出求解方程的TSAV格式；對方程在時間和空間上分別采用二階Crank-Nicolson格式和傅里葉譜方法進行離散，并證明時間半離散格式的修正能量守恒律。最后，通過數值算例對文中格式進行驗證。結果表明：文中格式具有有效性，修正能量具有守恒性。

關鍵詞： 耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程； 三角標量輔助變量方法； 修正能量； 守恒律

中圖分類號： O 241.8文獻標志碼： A?? 文章編號： 1000-5013（2024）01-0098-10

Trigonometric Scalar Auxiliary Variable Method for Coupled Nonlinear Schr?dinger-Boussinesq Equation

GUO Jiaojiao， ZHUANG Qingqu

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： Based on the trigonometric scalar auxiliary variable （TSAV） method， an efficient numerical scheme is constructed to solve the initial boundary value problem of the coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation. Firstly， based on the trigonometric function form of the nonlinear potential energy equation， the TSAV scheme of the considered equation is proposed. Then， the equation is discretized in temporal and spatial by using the second-order Crank-Nicolson scheme and Fourier spectral method respectively， and the modified energy conservation law of time semi-discrete scheme is proved. Finally， the proposed scheme is verified by numerical examples. The results show that the proposed scheme is effective and the modified energy is conserved.

Keywords：coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation； trigonometric scalar auxiliary variable method； modified energy； conservation law

Schr?dinger方程和Boussinesq方程是應用數學和物理學中的重要方程，前人對這兩類方程展開了廣泛的研究［1-2］。耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq（CNSB）方程是一類用于描述激光和等離子體領域各種物理過程的重要的波動方程［3］。文獻［4-5］對方程解析解的存在性、全局光滑解及適定性進行了研究。由于直接求解CNSB方程的困難較大，所以數值求解CNSB方程得到了廣泛的關注。例如，Yang等［6］設計了求解CNSB方程的BDF2-Galerkin有限元格式。Tian等［7］設計了基于Galerkin有限元框架的時間兩網格格式。 Oruc［8］提出一種用于求解CNSB方程的徑向基函數結合有限差分的無網

格逼近方法。Cai等［9］針對CNSB方程構造了一種保持質量和能量守恒的快速求解器。文獻［10-11］對一維和二維CNSB方程構造一類保能量和質量守恒的有限差分方法。關于求解CNSB方程的一系列線性和非線性的緊致有限差分格式及其穩定性、收斂性等理論分析可參考文獻［12-13］。二次B樣條有限元方法［14］、基于時間分裂的傅里葉譜方法［15］及標量輔助變量（SAV）方法［16］等均可用于高效求解CNSB方程。

SAV方法首先由Shen等［17］提出，之后出現了基于SAV方法的各類擴展形式，如拉格朗日乘數法、指數標量輔助變量方法等，這些方法因計算的高效性和簡便性受到了廣泛的應用［18］。Yang等［19］提出一種基于非線性勢能泛函的三角函數形式，即三角標量輔助變量（TSAV）方法，并驗證該方法可以成功應用于一大類梯度流模型。該方法繼承了傳統SAV方法所有優點的同時，還彌補了其不足，它對于任意非線性勢能泛函，均可通過添加一個大于1的常數c0，使新引入的標量輔助變量具有常正性。將標量輔助變量作用于方程的非線性部分，可以使方程完全解耦，簡便計算。文獻［20-21］基于正弦函數型標量輔助變量，分別構建了四階非線性波動方程和廣義分數階Schr?dinger方程的高階TSAV保能格式。目前，針對CNSB方程的高階TSAV保能格式的研究仍較少。基于此，本文基于余弦函數型標量輔助變量，提出一種求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的高效能量穩定方法。

1 問題與TSAV格式

考慮帶周期邊界條件的CNSB方程的數值求解格式，即

式（1）中：i2=-1；Ω=［a，b］d，d=1，2；ε表示電子數與離子數質量比的參數，ε>0；γ，ξ，α，θ，ω均為正實數；f（v）為一個滿足f（0）=0的充分光滑函數；u（x，t）為朗繆爾振蕩電場的復值函數；v（x，t）為描述低頻密度攝動的實值函數。

式（1）的初始條件為u（x，0）=u0（x），v（x，0）=v0（x），vt（x，0）=v1（x），x∈Ω。

式（1）滿足電荷（Q）守恒律和能量（E）守恒律［15］，有

將式（1）中的第1個方程與u作內積，取虛部，可證明電荷守恒律。將式（1）中的第1個方程與-ut作內積，取實部，再將式（1）中的第2個方程與-vt作內積，結合上述內積結果和vt=Δφ，可證明能量守恒律。

采用TSAV方法對式（1）進行求解，首先，引入vt=Δφ，將式（1）降階為關于時間一階導的等價形式，有

此時，式（2）的初始條件和邊界條件可分別表示為

u（x，0）=u0（x）， v（x，0）=v0（x）， φ（x，0）=φ0（x），? x∈Ω，

u（a，t）=u（b，t）， v（a，t）=v（b，t）， φ（a，t）=φ（b，t），? t∈（0，T］。

其次，對于任意網格函數u1，u2∈L2（Ω），定義內積（·，·）和范數·的表達式為

然后，基于方程的非線性勢能引入三角標量輔助變量，有

式中：c0是一個恒大于1的常數，則有

基于此，可構建式（2）的TSAV格式，有

其中有

定理1 式（3）滿足修正能量守恒律，有

將式（3）中第2，3個方程分別與vt，-φt作內積并相加，可得

將上述兩個內積結果相加，并結合式（3）中最后一個方程，可得

即可證得式（4）。證明完畢。

2 時間半離散格式

對于n=1，2，…，N-1，為了求解un+1，vn+1，φn+1，Rn+1，通過二階Crank-Nicolson格式構建CNSB方程的時間半離散格式，有

此外，式（5）的實現需要第1層的值u1，v1，φ1，R1和初始條件。初始條件是已知的，則當n=0時，第1層的值可通過隱式Crank-Nicolson格式求解，有

定理2 時間半離散格式（5），（6）滿足修正能量守恒律，有

在式（5）第2，3個方程的兩端分別乘以（vn+1-vn），-（φn+1-φn），然后，在Ω上積分，再將結果相加，整理可得

將以上兩個等式相加，并利用式（5）中最后一個方程，可得

下面考慮式（5），（6）的求解。首先，考慮將式（5）的前3個方程分別改寫為

最后，將求得的un+1，vn+1代入式（5）中最后一個方程，可得

值得注意的是，余弦函數的定義域為全體實數，且通過計算可知Γ的值恒為實數，所以Rn+1是始終可解的。

此外，初始值u1，v1，φ1，R1可通過式（6）采用預估校正法進行類似的求解。簡言之，TSAV格式（5），（6）可以通過以下4個步驟快速求解：

1） 通過式（6）解得第1層的值u1，v1，φ1，R1；

2） 計算b1，b2，b3；

3） 依次從式（7），（10），（11）求解un+1，vn+1，φn+1；

4） 由式（12）解得Rn+1。

3 數值算例

為了方便求解，對所有數值實驗均采用快速傅里葉變換（FFT）和傅里葉逆變換（IFFT）進行空間離散，以驗證文中格式在時間方向上具有二階精度，在空間方向上具有譜精度，有效保持修正能量E的守恒性，并模擬CNSB方程二維孤立波的演化行為。在此之前，先定義enj（g）=gnj-g（xj，tn），則對應的L∞誤差和L2誤差可分別表示為

式中：任意網格函數g可分別表示u，v，φ。

L∞誤差和L2誤差對應的收斂階Rate的計算公式分別為

當t=0時，式（13）可作為CNSB方程的初始條件，取常數c0=2.0。

檢驗文中格式的時間精度和空間精度。選擇計算區域Ω=［-20，20］，T=1。固定空間剖分M=512。

不同時間步長下u，v，φ的時間L∞ 誤差及收斂階，時間L２ 誤差及收斂階，分別如表1，2所示。

表1，2中：Rate∞，u，Rate∞，v，Rate∞，φ分別為Err∞（u），Err∞（v），Err∞（φ）的收斂階；

Rate2，u，Rate2，v，Rate2，φ分別為Err2（u），Err2（v），Err2（φ）的收斂階。

由表1，2可知：文中格式在時間方向上具有二階精度。

固定時間步長τ=0.000 1，u，v，φ在不同空間剖分下的空間L∞誤差和L2誤差，分別如圖1所示。由圖1可知：文中格式在空間方向上呈現指數收斂，具有譜精度。

選取計算區域Ω=［-20，140］，T=100，固定空間剖分M=512，時間步長τ=0.01。u，v，φ的精確解與數值解，如圖2所示。

由圖2可知：不同時刻下的數值解與精確解都能很好地吻合，故文中提出的TSAV格式是穩定的。

驗證CNSB方程的守恒律，基于上述計算區域和網格設計，修正能量（E）和修正能量誤差（enE）隨著時間的變化情況，如圖3所示。

由圖3可知：TSAV格式能很好地保持修正能量守恒，這與節2的能量守恒定理一致。

在不同時間步長τ=1/100，1/200，1/400下，電荷誤差（enQ）和能量誤差（enE）隨著時間的變化情況，如圖4所示。由圖4可知：電荷誤差和能量誤差均隨著時間步長的減小而減小。

算例2 考慮CNSB方程二維孤立波的演化行為，選擇初始條件，有［7，15］

計算區域取Ω=［-20，20］2，固定空間剖分和時間步長分別為M=512，τ=0.01，取常數c0=2.0。

CNSB方程在情況1下的數值解u，v，φ不同時間的曲面圖，如圖5所示。

由圖5可知：u的數值解隨著時間的推移，由一個波峰變成多個波峰；v，φ的數值解逐漸呈現下陷趨勢，且逐漸產生少量余波。

CNSB方程在情況2下可以簡化為Zakharov系統，它是CNSB方程的一種特殊形式。二維Zakharov系統的數值解u，v，φ不同時間的曲面圖，如圖6所示。

由圖6可知：u的數值解隨著時間的演化過程與情況1類似；v的數值解也隨著時間推移出現下陷趨勢，但形態與情況1不同；φ隨著時間的推移并未出現下陷趨勢，也無余波產生。這與文獻［7］中算例4.3的研究結果一致。

綜上可知，文中TSAV格式可推廣至方程高維問題的求解。

4 結束語

利用TSAV方法構造耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的能量穩定數值求解格式，理論證明了時間半離散格式的修正能量守恒性。通過數值實驗驗證了格式的穩定性和有效性，并模擬了方程二維的動力學過程。

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