曲徑通幽 彰顯本質
——解密二次函數圖像的變換規律

文／仲偉東

二次函數圖像的平移、翻折和旋轉是眾多命題者青睞的方向，也被不少同學視為數學學習中的障礙。要突破這個學習難點，我們需要回歸知識本位去思考不同的解題策略，進而發現隱藏于題目之中的數學本質，解密二次函數圖像的變換規律。

一、二次函數圖像的平移

問題1 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像向上平移2 個單位，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】方法1：在拋物線y=x2-2x-3 上任取三點，如（0，-3）、（-1，0）、（-2，5），然后確定這三點向上平移2 個單位后的新點坐標為（0，-1）、（-1，2）、（-2，7），最后用待定系數法求解。

方法2：我們根據平移性質發現，在自變量x不變的前提下，對應的函數值均增加2，直接得到平移后的表達式為y=x2-2x-3+2。

【密碼破譯】二次函數圖像的平移問題本質是利用平移的性質確定平移后對應點的坐標，對于規律的運用要分清楚點的平移規律和圖像平移規律的不同之處。

變式1 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像向左平移2 個單位，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】方法1 要注意點的左右平移和上下平移的區別；方法2 要注意是函數值y不變，自變量x變化。

變式2 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=x方向向上平移2個單位，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=3x方向向上平移2 個單位”進行解密，它的正確譯文應是“先向右平移1個單位，再向上平移3 個單位”。

二、二次函數圖像的翻折

問題2 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像沿x軸翻折，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1 的“方法1”一樣，任取三點，然后用待定系數法求解。

方法2：我們根據軸對稱性質發現，在自變量x不變的前提下，對應的函數值均取相反數，得到翻折后的表達式為-y=x2-2x-3。

【密碼破譯】二次函數圖像的翻折問題的本質是利用軸對稱性質，確定翻折后的對應點坐標。

變式1 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像沿y軸翻折，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】方法1 要注意點關于y軸對稱和關于x軸對稱的區別；方法2要發現其翻折的規律是在函數值y不變的前提下，對應的自變量x均取相反數。

變式2 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=1 翻折，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=1 翻折”進行解密，它的正確譯文應是“翻折前后，對應點到直線y=1 距離相等”。

三、二次函數圖像的旋轉

問題3 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像繞頂點旋轉180°，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1 的“方法1”一樣，任取三點，然后用待定系數法求解。

方法2：在拋物線y=x2-2x-3 上取頂點（1，-4）和非頂點的任意點（0，-3），然后確定這兩點繞頂點旋轉180°所得的新點坐標為（1，-4）、（2，-5），最后用待定系數法設頂點式求解。

【密碼破譯】二次函數圖像旋轉問題的本質是利用中點坐標公式確定旋轉后的對應點坐標。

變式1 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像繞其與y軸交點旋轉180°，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】破譯旋轉類問題要學會取特殊點降低解題難度。如本題可取頂點和與y軸交點變換后的對應點進行求解。

變式2 把二次函數y=x2-2x-3 的圖像繞點（2，1）旋轉180°，所得圖像的函數表達式是什么？

【方法提示】對于旋轉中心為一般點的情況，我們要學會合理建立全等三角形模型，正確求出變換后圖像上的對應點坐標。