逆向思維在初中數學解題中的應用

王志剛

［摘 要］在初中數學教學中，運用逆向思維解題能夠使學生從不同角度、不同方向思考問題，探索到合理有效的解題方法，從而拓寬解題思路，提高解題效率。文章結合案例探討逆向思維在初中數學解題中的應用，以期為數學一線教師的解題教學提供參考。

［關鍵詞］逆向思維；初中數學；解題；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0004-03

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出了發展學生學科核心素養的要求，其中在闡述“會用數學的思維思考現實世界”這部分內容時，明確指出學生通過數學課程的學習要能夠合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論，分析、解決簡單的數學問題和實際問題。由此可見，開展思維活動、培養學生的思維品質成為新時期數學課程改革的重要內容。在解題過程中，學生常常遇到這樣的困境：從已知條件出發，順著題目的要求思考問題，解題無從下手，甚至陷入了思維的“死胡同”，而運用逆向思維能很好地解決這一問題。

二、典型例題

［例1］已知a，b，c，d是實數，且[ad-bc=1]，求證：[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

分析：這類命題的反面并沒有無窮多種情況，所以用反證法來證明是非常簡潔的一種解題思路，即通過假設[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，并以此證明這一結論不成立則可以反證原命題成立。

解：假設[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，把[ad-bc=1]代入上式得[a?+b?+c?+d?+ab+cd-ad+bc=0]，

通過整理代數式可以得出[（a+b）?+（b+c）?+（c+d）?+（a-d）?=0]。

因為a，b，c，d都是實數，所以[a+b=b+c=c+d=a-d=0]，所以[a=b=c=d=0]，所以[ad-bc=0]。

這與已知條件[ad-bc=1]相矛盾，所以假設不成立，原命題成立，即[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

［例2］如圖1所示，將矩形ABCD折疊，使點C落在邊AB上的[C']處（不與A、B重合），點D落在D'處，此時C'D'交AD于E，折痕為MN。若[AB=BC=1]，可使[△NBC']≌[△C'AE]的C'存在嗎？若存在，求出C'的位置，若不存在，說明理由。

分析：要想解答這一題目，我們可以從假設出發，推導出與已知條件相互矛盾的結論，這樣就可以完成證明。

解：當矩形ABCD的邊長[AB=BC=1]，說明其為正方形，假設存在這樣的[C']，使[△NBC']≌△[C'AE]。

設[AC'=x]，則有[BN=AC'=x]，[BC'=1-x]，此時[NC'=NC=BC-BN=1-x]，即[BC'=NC']，在直角三角形[BC'N]中，[∠B=90°]，直角邊[BC']與斜邊[NC']不可能相等。故若[AB=BC=1]，并不存在這樣的[C']使[△NBC']≌[△C'AE]。

點評：上述兩個例題顯示了反證法在代數和幾何證明中的應用價值。在兩道題中，都是通過“對結論進行假設，繼而推導出與題目相關條件相矛盾的結論”這一思路完成證明的，這是反證法最基本的思路，對于解答其他證明題有著重要的參考意義。

［例3］如圖2所示，已知[△ABC]中，[∠BAC=45°]，[AD⊥BC]于點[D]，若[BD=2]，[CD=1]，求[△ABC]的面積。

分析：要求三角形的面積，我們通常需要知道三角形的底以及相應的高的長度。在這一題目中，通過兩個線段長度可以知道BC的長度，也知道AD是相應的高，但是要想求得AD的長度卻存在一定難度。題目中有一個關鍵條件[∠BAC=45°]。這時我們可以將[∠BAC=45°]進行補充，讓其構成一個直角，即在AC的右邊作出一個[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，而且[∠BAD+∠DAE=90°]（如圖3），這樣設計肯定是可以得到三角形全等。以前證明全等的時候，我們通常會用到“兩個相同頂點的角加上相鄰的同一個角的結果相同，這兩個角相等”，此時我們可以將這個方法倒過來用，即先構造全等三角形，再得到“等角+同角的結果相等”，然后根據三角形全等的條件構建正方形，最后將所求的面積問題進行轉化，并通過間接方法完成題目解答。

解：如圖3所示，在AC的右邊作出一個[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，連接[CE]，根據“邊角邊”定理可知，[△ABC]和

點評：這道題條件簡單易懂，但是解答起來卻相當有難度。關鍵在于如何運用45°角，即如何將現有的圖形向擴展圖形這個方向去思考。許多學生并不擅長運用輔助線構造圖形。其實這道題的圖形補充完整后，新圖形的特點一目了然。本題的解題思路運用了補集法，這是一種逆向思維，即利用45°角補充出一個正方形，并通過巧妙轉化，完成計算。

［例4］如圖4所示，已知[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DC=2BD]，[∠ADC=60°]，[AD⊥CO]，垂足為點[O]，求證：[AC2=CD?CB]。

分析：為證明[AC2=CD?CB]，我們從結論出發進行倒推。我們關注到[AC2=CD?CB]這一結構經常在相似三角形中出現，那么只需要證明[∠DAC=45°]就可以得到這一結論。此外，我們還可以將正向思維和逆向思維相結合。首先分析題目的基本條件，根據[DC=2BD]這一關鍵信息得出兩條線段的比值；然后利用“平行線分線段成比例”對線段的比值加以轉化，再結合結論進行分析；最后從結論進行逆推，即要證明[AC2=CD?CB]，只需證明[∠DAC=45°]，也就是證明[AO=OC]。

解法一：如圖5所示，連接BO，令[BD=a]，則[DC=2a]。

∴[BD=DO]，[∠OBD=∠BOD=30°]，∴[∠OBD=∠OCD]，

∵[∠ABC=45°]，∴[∠ABO=15°]，[∠BAD=∠ADC-∠ABC=15°]，

解法2：如圖6所示，過點[B]作[BH]平行[OC]交[AD]的延長線于點[H]，

∵[BH]∥[OC]，∴[∠HBD=∠OCD]，[∠BHD=∠COD]，

∴[△BDH]∽[△CDO]，

∴BH∶[OC=BD]∶[CD]。

∴[AO=OC]，∴[∠DAC=45°]，∴[△ACD ]∽[△BCA]，

點評：兩種方法雖然思路各異，但是都體現了“執果索因”這一解題思路。在解題過程中我們可以從結論入手，探究得到這一結論所需要的條件，并結合現有條件以及所學知識進行補充。這樣不斷逆推就可以將證明結論的條件梳理完整，并達到解題的目的。

三、教學建議

初中階段，學生正處于思維發展的關鍵時期。通過不同類型習題的引導，讓學生認識逆向思維的含義，理解逆向解題的思路，并掌握具體的方法，是提高學生解題能力、發展學生數學核心素養的重要途徑。

（一）指導學生運用反證法進行解題

在初中數學解題中，經常要求學生說明一個命題是真命題，有些題目難度較大，直接證明比較困難，這時候就需要用反證法來打破僵局。反證法是指從原命題結論的反面出發，通過正確的邏輯推理過程，導致矛盾的結果，從而肯定原命題結論正確的一種證明方法。這種方法集中體現了逆向思維的運用，在初中數學的三角、代數、幾何等都有很廣泛的應用。例1和例2都運用了反證法。在初中數學解題教學中，教師應將探究與運用反證法的主動權留給學生，采用啟發式教學方式，啟發學生思考，促使其拓寬反證法的運用思路，并為他們留足時間，引導他們去自主探究，使他們將所學知識綜合運用起來，從而達到舉一反三的效果。同時，在指導學生運用反證法的過程中，教師還應針對學生的特點，將教材的例題和習題重組，盡量滿足不同思維層次學生的需求，豐富學生的解題經驗，讓學生跳出機械做題的局限，有效掌握反證法的運用技巧，從而鍛煉學生的逆向思維，提高學生的獨立思考能力和創新能力。

（二）指導學生運用補集法進行解題

補集法就是取集合的補集來解決問題的一種方法。從解題思路來看，這一方法也需要運用逆向思維，即通過證明補集的特點來逆推集合特征與性質。從其含義來看，這一方法主要運用于代數相關題目的解答。在上述例3中，補集法在幾何題目中就得到了體現，即結合題目中圖形的特點進行補圖，其目的是讓圖形由抽象變具體，以此降低題目的難度，降低計算難度，提高解題效率。基于此，在初中數學教學中，教師應適當拓展，進行逆向思維的培養。

（三）指導學生運用執果索因法進行解題

“執果索因法”是常用的一種推理、思維方法，其主旨是根據題目已經給出的結論（假定結論正確，并保持不變），從結論入手考慮問題，尋找結論成立的先決條件，從而梳理出證明的邏輯思路。

在初中數學中，證明題是一類非常典型的習題，這類題目對學生的邏輯思維有著較高的要求。部分學生在證明的過程中一味地從條件入手，或者對復雜的結論缺乏深入分析，無法迅速找到解題思路，從而影響解題效率。而執果索因法則可以在明確結果的基礎上有的放矢，從結果出發進行過程反推，使問題得證，這樣不僅可以迅速找到解題思路，還能夠降低解題的難度。上述例4就是運用了這一方法。基于此，在初中數學解題指導中，教師應從問題出發引導學生分析思考的過程，讓學生逐步學會表達“從問題想起”解決問題策略的一般過程，結合具體題目幫助學生梳理條件與結論之間的關系，分析思考過程，為學生搭建表達、交流的平臺，從而共同探索逆向思維的應用，提高解題效率。

在初中數學教學中，加強學生逆向思維的培養，有利于提高學生分析問題及解決問題的能力，有利于開闊其視野、活躍其思維。當然，在初中階段，數學解題中常用的逆向思維方法還有很多，如反例法、逆推法等，不同方法所適用的情況千差萬別。因此，在數學解題教學中，教師應根據學生的實際情況做好指導，并將重點放在啟發學生思維、培養學生學習能力上，進而落實發展學生核心素養的課程目標。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

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［3］? 劉奎.初中數學解題教學中逆向思維的應用研究［J］.數學之友，2023（5）：53-55.

［4］? 謝小兵.逆向思維在初中數學解題教學中的應用［J］.數學學習與研究，2022（16）：41-43.