郭躍龍



[摘 要]求銳角三角函數(shù)值是中考數(shù)學的必考點。文章結(jié)合五則典例,從五個方面對求銳角三角函數(shù)值的策略進行分析探討,旨在豐富學生的解題經(jīng)驗,提高學生的核心素養(yǎng)。
[關(guān)鍵詞]銳角;三角函數(shù)值;策略
[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2023)29-0007-03
銳角三角函數(shù)值反映的是直角三角形中邊與邊的比,只有把銳角放在直角三角形中,才能讓銳角三角函數(shù)值發(fā)揮作用。如何讓不在直角三角形中的銳角放置在直角三角形中呢?常用方法包括垂線法、平移法、面積法、構(gòu)造法等,通過這些方法可以實現(xiàn)等角轉(zhuǎn)換,從而求得銳角三角函數(shù)值。
一、作垂線構(gòu)造直角三角形
如果求銳角三角函數(shù)值的銳角不在直角三角形中,則常用的方法就是作垂線構(gòu)造直角三角形,讓這個銳角放置在直角三角形中,從而利用邊與邊的比求得銳角三角函數(shù)值。
點評:本題在求兩個銳角的三角函數(shù)值時都分別作了垂線,構(gòu)造了兩個銳角所在的直角三角形,只需根據(jù)正切與正弦的定義求出邊長。
二、作平行線平移角到直角三角形中
在網(wǎng)格中如果兩條斜線在小正方形內(nèi)相交成一個銳角,如何求這個銳角的三角函數(shù)值呢?常用的方法是作其中一條斜線的平行線,將這個銳角平移到一個直角三角形中,通過求直角三角形中銳角的三角函數(shù)值,得所求銳角的三角函數(shù)值。
[例2]如圖5所示,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點D、N和E、C,DN和EC相交于點P,求[tan∠CPN]的值。
思考:求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形。觀察發(fā)現(xiàn):[∠CPN]不在直角三角形中,并且頂點不在格點處,則可以利用網(wǎng)格畫平行線的方法解決此類問題,比如連接格點M、N,可得MN∥EC,則[∠DNM=∠CPN],連接DM,那么[∠CPN]就變換到格點處,并且恰好在[Rt△DMN]中,可以方便求出[tan∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。
問題解決:(1)如圖6所示,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點P,則[cos∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ?;(2)如圖7所示,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點P,則[sin∠CPA]的值為? 。
思維拓展:如圖8所示,若干個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格,網(wǎng)格頂點稱為格點,已知菱形的較小內(nèi)角為60°,點A、B、C、D都在格點處,線段AB與CD相交于點P,求[cos∠CPA]的值。
解:如圖9所示,∵[CE]∥[MN],∴[∠MND=∠CPN],∴[tan∠MND=tan∠CPN],
問題解決:(1)如圖10所示,取格點[Q],連接[QM]和[CQ]。∵[CQ]∥[AN],∴[∠CPN=∠QCM],∵[△QCM]是等腰直角三角形,∴[∠CPN=
思維拓展:如圖12所示,取格點E,連接EA、EB,設(shè)小菱形的邊長為1,由題意可知:EA∥CD,∴[∠APC=∠BAE],∵[∠AEO=60°],[∠BEO=30°],
點評:本題由易到難,由正方形網(wǎng)格到菱形網(wǎng)格,說明了作平行線平移角在網(wǎng)格中的應(yīng)用。平移后的角的頂點必須是格點,所作平行線必須是連接格點形成的,網(wǎng)格可以延伸,可以作垂線輔助解答。
三、利用面積法求銳角三角函數(shù)值
在網(wǎng)格圖中,通過作高構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)時,高線的長不能直接求得,此時應(yīng)采用面積法求高線長,即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積,建立方程求高線的長,從而求得銳角三角函數(shù)值。
[例3]如圖13和圖14所示,在[6×6]正方形方格紙中,每個小的正方形邊長為單位1,點A、B、C、D都在格點處。(1)如圖13所示,四邊形ABCD的周長是。(2)如圖14所示,AC與BD相交于點O,[tan∠BOC=] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。
點評:在網(wǎng)格圖中,端點不是格點的線段不易求得長度,影響求銳角三角函數(shù)值。本題提供了兩種求這樣線段的方法,一是相似三角形,二是面積法。
四、利用構(gòu)造法求銳角三角函數(shù)值
所謂構(gòu)造法就是構(gòu)造圖形,使用特殊角的三角函數(shù)值求非特殊角的三角函數(shù)值。
[例4]學校數(shù)學興趣小組在嘗試計算tan15°時,采用以下方法:如圖16所示,在[Rt△ACB]中,[∠C=90°],[∠ABC=30°],延
解:如圖17所示,在等腰[Rt△ABC]中,[∠C=90°],延長CB至點D,使得[BD=AB],則[∠BAD=∠D]。∵[∠ABC=45°=∠BAD+
五、利用三角函數(shù)公式求三角函數(shù)值
三角函數(shù)公式是指將兩角和或差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個角的三角函數(shù)值的和或差,這本是高中階段學習的內(nèi)容。在初中階段應(yīng)用時,常以閱讀材料的形式命題,通過定義新運算,要求學生應(yīng)用三角函數(shù)公式求銳角三角函數(shù)值。
閱讀材料,請選擇適當?shù)墓浇獯鹣铝袉栴}。(1)求sin75°;(2)如圖18所示,邊長為2的正[△ABC]沿直線滾動,設(shè)當[△ABC]滾動240°時,C點的位置在[C′],當[△ABC]滾動480°時,A點的位置在[A′]。①求[tan∠CAC′]的值;②試確定[∠CAC′+∠CAA′]的度數(shù)。
點評:利用三角函數(shù)公式,可以利用特殊角的三角函數(shù)值求得非特殊角的三角函數(shù)值。本題求非特殊角的三角函數(shù)值時,也使用了作垂線的方法,說明作垂線求三角函數(shù)值仍是最基本的方法。
求銳角三角函數(shù)值的策略還包括對稱法、全等轉(zhuǎn)換法等,每一種策略都有其使用的條件,要根據(jù)不同的情境選擇不同的策略。