求銳角三角函數(shù)值的策略

郭躍龍

［摘 要］求銳角三角函數(shù)值是中考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)。文章結(jié)合五則典例，從五個(gè)方面對(duì)求銳角三角函數(shù)值的策略進(jìn)行分析探討，旨在豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］銳角；三角函數(shù)值；策略

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）29-0007-03

銳角三角函數(shù)值反映的是直角三角形中邊與邊的比，只有把銳角放在直角三角形中，才能讓銳角三角函數(shù)值發(fā)揮作用。如何讓不在直角三角形中的銳角放置在直角三角形中呢？常用方法包括垂線法、平移法、面積法、構(gòu)造法等，通過(guò)這些方法可以實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)換，從而求得銳角三角函數(shù)值。

一、作垂線構(gòu)造直角三角形

如果求銳角三角函數(shù)值的銳角不在直角三角形中，則常用的方法就是作垂線構(gòu)造直角三角形，讓這個(gè)銳角放置在直角三角形中，從而利用邊與邊的比求得銳角三角函數(shù)值。

點(diǎn)評(píng)：本題在求兩個(gè)銳角的三角函數(shù)值時(shí)都分別作了垂線，構(gòu)造了兩個(gè)銳角所在的直角三角形，只需根據(jù)正切與正弦的定義求出邊長(zhǎng)。

二、作平行線平移角到直角三角形中

在網(wǎng)格中如果兩條斜線在小正方形內(nèi)相交成一個(gè)銳角，如何求這個(gè)銳角的三角函數(shù)值呢？常用的方法是作其中一條斜線的平行線，將這個(gè)銳角平移到一個(gè)直角三角形中，通過(guò)求直角三角形中銳角的三角函數(shù)值，得所求銳角的三角函數(shù)值。

［例2］如圖5所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D、N和E、C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求[tan∠CPN]的值。

思考：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形。觀察發(fā)現(xiàn)：[∠CPN]不在直角三角形中，并且頂點(diǎn)不在格點(diǎn)處，則可以利用網(wǎng)格畫平行線的方法解決此類問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M、N，可得MN∥EC，則[∠DNM=∠CPN]，連接DM，那么[∠CPN]就變換到格點(diǎn)處，并且恰好在[Rt△DMN]中，可以方便求出[tan∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

問(wèn)題解決：（1）如圖6所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則[cos∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ?；（2）如圖7所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，則[sin∠CPA]的值為? 。

思維拓展：如圖8所示，若干個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，網(wǎng)格頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知菱形的較小內(nèi)角為60°，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)處，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，求[cos∠CPA]的值。

解：如圖9所示，∵[CE]∥[MN]，∴[∠MND=∠CPN]，∴[tan∠MND=tan∠CPN]，

問(wèn)題解決：（1）如圖10所示，取格點(diǎn)[Q]，連接[QM]和[CQ]。∵[CQ]∥[AN]，∴[∠CPN=∠QCM]，∵[△QCM]是等腰直角三角形，∴[∠CPN=

思維拓展：如圖12所示，取格點(diǎn)E，連接EA、EB，設(shè)小菱形的邊長(zhǎng)為1，由題意可知：EA∥CD，∴[∠APC=∠BAE]，∵[∠AEO=60°]，[∠BEO=30°]，

點(diǎn)評(píng)：本題由易到難，由正方形網(wǎng)格到菱形網(wǎng)格，說(shuō)明了作平行線平移角在網(wǎng)格中的應(yīng)用。平移后的角的頂點(diǎn)必須是格點(diǎn)，所作平行線必須是連接格點(diǎn)形成的，網(wǎng)格可以延伸，可以作垂線輔助解答。

三、利用面積法求銳角三角函數(shù)值

在網(wǎng)格圖中，通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)時(shí)，高線的長(zhǎng)不能直接求得，此時(shí)應(yīng)采用面積法求高線長(zhǎng)，即用兩種不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，建立方程求高線的長(zhǎng)，從而求得銳角三角函數(shù)值。

［例3］如圖13和圖14所示，在[6×6]正方形方格紙中，每個(gè)小的正方形邊長(zhǎng)為單位1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)處。（1）如圖13所示，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是。（2）如圖14所示，AC與BD相交于點(diǎn)O，[tan∠BOC=] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

點(diǎn)評(píng)：在網(wǎng)格圖中，端點(diǎn)不是格點(diǎn)的線段不易求得長(zhǎng)度，影響求銳角三角函數(shù)值。本題提供了兩種求這樣線段的方法，一是相似三角形，二是面積法。

四、利用構(gòu)造法求銳角三角函數(shù)值

所謂構(gòu)造法就是構(gòu)造圖形，使用特殊角的三角函數(shù)值求非特殊角的三角函數(shù)值。

［例4］學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在嘗試計(jì)算tan15°時(shí)，采用以下方法：如圖16所示，在[Rt△ACB]中，[∠C=90°]，[∠ABC=30°]，延

解：如圖17所示，在等腰[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得[BD=AB]，則[∠BAD=∠D]。∵[∠ABC=45°=∠BAD+

五、利用三角函數(shù)公式求三角函數(shù)值

三角函數(shù)公式是指將兩角和或差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角的三角函數(shù)值的和或差，這本是高中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在初中階段應(yīng)用時(shí)，常以閱讀材料的形式命題，通過(guò)定義新運(yùn)算，要求學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)公式求銳角三角函數(shù)值。

閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉?wèn)題。（1）求sin75°；（2）如圖18所示，邊長(zhǎng)為2的正[△ABC]沿直線滾動(dòng)，設(shè)當(dāng)[△ABC]滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置在[C′]，當(dāng)[△ABC]滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置在[A′]。①求[tan∠CAC′]的值；②試確定[∠CAC′+∠CAA′]的度數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)公式，可以利用特殊角的三角函數(shù)值求得非特殊角的三角函數(shù)值。本題求非特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，也使用了作垂線的方法，說(shuō)明作垂線求三角函數(shù)值仍是最基本的方法。

求銳角三角函數(shù)值的策略還包括對(duì)稱法、全等轉(zhuǎn)換法等，每一種策略都有其使用的條件，要根據(jù)不同的情境選擇不同的策略。