A4紙的學問

趙維坤

今天，我們來研究A4紙中蘊藏的數學知識。A4紙的形狀是長方形，其核心問題是長與寬之間的數量關系。長與寬的和是半周長，長與寬的積是面積，而長與寬的比值是我們今天要研究的對象。

用目測的方法估算A4紙長與寬的比值是最常用的方法，但可能誤差較大。既然“看”不行，那就“量”和“算”，利用刻度尺，度量A4紙的長與寬，并計算長與寬的比值，結果精確到0.001。

通過計算，我們發現得到的比值在1.414附近，從而引發猜想：A4紙長與寬的比可能是[2]。[2]雖是無理數，卻是一個準確值，要驗證這一猜想，顯然度量的方法已不再適合，因此，我們需要另辟蹊徑。

我們可以通過折紙的方式進行驗證，將A4紙按圖１方式折疊，易知△ABE為等腰直角三角形。設AB=1，則有BE=[2]。再折疊，如圖2所示，發現折痕BE與BC恰好重合，從而說明A4紙的長是[2]。

利用研究A4紙的經驗，我們發現，A3紙與A4紙具有相同的規律：長與寬的比都是[2]，即形狀相同，大小不同。實際上，將A3紙沿著長邊的中垂線對折，折疊后的圖形就是A4紙。

其實，保持A3、A4紙相同的長寬比，我們可以等比例地放縮打印的文檔或圖片，這樣的設計可以為工作和生活提供很大的便利。但為何設計的是[2]這個比值，而不是其他比值呢？

這樣，我們就需要研究其他的A型紙。

A3紙長與寬的比值是[2]，對折之后所得A4紙長與寬的比值也是[2]。根據這一規律，可以制作出A5紙。我們發現，A4紙與A5紙依舊有著兩倍關系。如此，我們可以繼續制作出A6紙。

反過來，兩張A6紙拼成了一張A5紙，兩張A5紙又拼成了一張A4紙，以此類推，還可以拼出A3、A2、A1紙，最終拼出A0紙。

事實上，工廠生產紙張便是通過不斷切割A型紙較長對邊中線，逐步得到各類A型紙。這樣的設計可以最大限度地節約資源，避免邊角料的浪費。

通過查閱A型紙國際標準尺寸表（如表1），這張初始的A0紙的長與寬為何設置成這樣的數值呢？通過計算兩者的乘積：1189×841=999949mm?，改用m?做單位后，發現原來A0紙的面積大約是1m?。

生活中常見的紙除了A型紙，還有B型紙和K型紙，它們的長與寬的比值還是[2]嗎？如果不是，又具有什么樣的關系呢？同學們可以自己嘗試著探索。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）