例談我國古代數學成就在高職數學教學中的運用

王顏 吳多康 李月峰 孟麗

摘 要：在數學教學中融入我國古代數學成就，是激發學生的民族自豪感和培養愛國主義情懷的重要途徑，同時能夠增強課堂教學的趣味性，提高學生對數學的學習興趣。文章以十二平均律、《紀元歷》中的太陽坐標換算、劉徽對圓面積公式的證明為例，探討如何在高職數學教學中融入和運用中國古代數學成就。

關鍵詞：高職數學；中國古代數學；十二平均律；割圓術；反函數

Abstract：Integrating the achievements of ancient Chinese mathematics into math education is an important way to stimulate students' national pride and cultivate patriotism.It can also enhance the interest of teaching and increase students' enthusiasm for learning mathematics.This article takes the twelvetone equal temperament，the calculation of the sun's coordinates in Jiyuan Calendar，and Liu Hui's proof of the formula for the area of a circle as examples to explore how to integrate and apply ancient Chinese mathematics achievements into vocational math education.

Keywords：vocational mathematics；ancient Chinese mathematics；twelvetone equal temperament；cyclotomic method；inverse function

我國古代數學源遠流長，誕生了許多杰出的學者和舉世矚目的成果。通過在數學教學中融入我國古代數學成就激發學生的民族自豪感是進行愛國主義教育、發揮數學課程德育功能的常用方法。［1］數學史的融入可以使數學人性化，提高課堂教學的趣味性，激發學生對數學的興趣，培養學生的探索精神。［2］教學普遍使用的具體案例主要有分數運算法則、圓周率的計算、勾股定理的證明和應用、負數的引入、秦九韶算法等。

由于高職學生的數學基礎相對比較薄弱，因此高職數學的教學內容在作為主體的微積分之前，通常要補習部分中學的數學知識。本文將朱載堉創制十二平均律、姚舜輔在《紀元歷》中對太陽坐標的換算這兩項在以往的數學教學中應用相對較少的古代數學成就，分別應用于等比數列及指數冪、反函數等中學數學知識的復習教學中。在微積分部分的教學中，通過劉徽以割圓術證明圓面積公式的過程輔助對極限概念的學習。

一、十二平均律與等比數列及指數冪

古代音樂率制主流是西方的五度相生律和我國的三分損益率，其得到音階中各個音頻率的方法基本相同：選定第一個音的頻率，然后通過給一個音乘1∶2、2∶3、3∶4等簡單和諧的比例關系得到另一個音的頻率。同時兩者也存在類似的缺陷：計算出的最后一個音與第一個音頻率之比不是嚴格的2∶1，計算到最后一律時不能循環復生，產生了困擾人類兩千余年的“旋宮轉調”難題。

直到我國明朝數學家、音律學家朱載堉創制“新法密率”——即十二平均律，才使這一問題得到解決。［3］十二平均律將一個八度音程以等比的形式平均分成12分，構成一個首項為1，公比為21/12，共13項的等比數列。這樣所得最后一個音與第一個音頻率之比是嚴格的2∶1，完美地實現了旋宮轉調。分別用十二平均律與五度相生律所得音階中的各個音，若第一個音頻率相同，則其他音的頻率相差很小，亦即十二平均律的各個音間也近似滿足簡單和諧的比例關系。因此直到現在十二平均律被世界各國廣泛采用。

在課堂教學中，學生可以在十二平均律各個音之間相互求取，或計算任意間隔的兩個音的頻率之比，特別是驗證十二平均律的最后一個音與第一個音頻率之比是2∶1。這些過程涉及等比數列通項公式、有理指數冪的運算法則等高中數學知識。根據具體學情還可以選擇性地介紹五度相生律或三分損益率的計算方法，并將所得的各個音與十二平均律的計算結果進行比較，驗證十二平均律的各個音之間的頻率之比也近似滿足簡單和諧的比例關系這一數學上的奇妙巧合。

我國古代數學中對開平方和開立方有成熟的方法。朱載堉在進行具體計算時，巧妙地對2連續開兩次平方，再開一次立方得到公比21/12的高精度近似值，對這一過程的理解可以幫助學生掌握冪的乘方運算法則，以及根式與分數指數冪的相互轉化。

十二平均律曾經在2018年進入北京高考試卷，這道選擇題的考查內容和難度都十分適合作為高職數學課的課堂練習，題目如下：

“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻。十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122。若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：

A.32f?? B.322f?? C.1225f?? D.1227f

十二平均律是數學與音樂的奇妙融合，將其運用于課堂教學之中，可以讓學生深切領悟數學之美。

二、《紀元歷》中的反函數

反函數是高中數學的重要內容，在微積分里也有廣泛的涉及。宋朝天文歷算學家姚舜輔在編制《紀元歷》這一古代歷法的過程中，定義了一例精確的反函數。這是中國數學史上最早明確出現的反函數例證。［4］

古代歷法計算中通常要用到太陽黃道和赤道坐標的互換，一般是以太陽赤道度數為自變量x，計算因變量黃道度數y。比如在《紀元歷》中，兩至點前后的函數關系為：

y=x-x（101-x）1000（1）

顯然這是一個二次函數，在實數集上是沒有反函數的。但冬至到春分這一時間范圍內，0≤x≤45.65545，由該二次函數圖像（圖1，也可通過計算頂點橫坐標或導數正負）可知，以此范圍為（1）式定義域所得函數為單調函數，故可求其反函數。

對（1）式變形得：

x=-449.5± 202050.25+1000y（2）

因為x≥0，所以對（2）式取正根，并用x表示自變量，y表示因變量，即得（1）式在0≤x≤45.65545時的反函數表達式為：

y=-449.5+ 202050.25+1000x（3）

這個函數便是姚舜輔所求得的冬至到春分由太陽黃道度數反算其赤道度數的公式，根據反函數與其直接函數的關系，其值域是（0，45.65545）。定義域可以作為課堂練習由學生求出。

春分到夏至間太陽黃道度數y與赤道度數x的函數關系為：

y=x+x（101-x）1000（4）

赤道度數范圍仍為0≤x≤45.65545。課堂教學中，講解（3）式推導過程后，可以讓學生求取該函數的反函數，包括定義域和值域，以此鞏固和檢驗對反函數的掌握程度。

我國古代編制歷法的過程本質上就是用數學方法計算和預測天體的位置，因此很多數學成就都來源于天文歷算的需求，比如著名的中國剩余定理就與計算“上元積年”有關。本例也是天文歷算推動數學理論發展的一個例證，期望學生能通過對此內容的學習和思考，喚起了解我國古代天文歷法的學習熱忱。

三、割圓術與圓面積公式的證明

極限思想是微積分的基本思想，理解極限的概念對學習微積分是至關重要的。魏晉時期數學家劉徽發明的割圓術是極限思想在幾何上的應用，在極限的教學中也被廣泛應用。在很多結合割圓術的極限教學案例中，對割圓術的運用側重于求圓周率和圓面積，而劉徽發明割圓術的目的——證明圓面積公式［5］反而沒有得到充分的體現。本節嘗試將劉徽應用割圓術證明圓面積公式的過程運用到極限概念的教學中，以期在幫助學生理解極限概念的同時，提高學生進行推理證明的意識和能力。

為證明《九章算術》中“半周半徑相乘得積步”的圓面積公式：

S=12Lr（5）

劉徽依次作圓的內接正6×2n（n=0，1，2，3，…）邊形，如圖2所示：

圖2 割圓術示意圖

假設圓面積為S，內接正6×2n邊形（即第n+1次“割圓”所得圖形）面積為Sn，因為圓內接正多邊形與圓周間的空隙總是存在的，所以Sn＜S恒成立。同時隨著n的增大，圓內接正6×2n邊形與圓周間的空隙越來越小，S-Sn的值越來越小，當n無限增大時，S-Sn無限接近于0，即：

lim（n→

SymboleB@S-Sn）=0（6）

所以：

limn→

SymboleB@Sn=S（7）

作正k邊形中心與各頂點的連線，可將其分為k個邊長為lk、高為邊心距h的全等三角形，正k邊形面積A等于這些三角形面積之和，因此可得正多邊形面積公式：

A=k·12lkh=12klk·h=12Lkh（8）

其中Lk為正k邊形的周長。

由此可知，正多邊形面積等于周長與邊心距乘積的一半。而當n無限增大時，圓內接正6×2n邊形與圓重合，此時其周長等于圓的周長L，邊心距等于圓半徑r，由式（8）可得：

limn→

SymboleB@Sn=12Lr

再結合式（7），即可得到圓面積公式（5）。

以上便是應用割圓術證明圓面積公式“半周半徑相乘得積步”的完整過程，這一過程體現了極限思想和清晰的邏輯推理。在課堂教學中根據具體學情不同，可以選擇由學生獨立完成、教師引導學生完成或師生共同完成這一數學證明。在此過程中學生在加深對極限概念的理解的同時邏輯推理能力也得到訓練。向學生介紹劉徽的這一成就可以使學生認識到我國古代數學家有相當深度的推理證明意識，因此中國古代數學過于重視實際應用而輕視理論的觀點是片面的。

結語

本文選取了我國古代數學的三項優秀成果，嘗試將其融入和運用到高職數學教學中。這些成果能夠與高職數學的學習內容有機結合，幫助學生理解、掌握所學知識和方法，其難度也與高職學生的學情比較相符。這些內容的融入能夠提高課堂教學的趣味性，使學生體會到數學的美感和應用的廣泛性，激發學生學習數學的興趣；也有利于增加對我國古代輝煌的數學成就以及相關的科技文化知識的了解，有利于培養學生的民族自豪感和愛國主義情懷。

參考文獻：

［1］黃群賓.如何在數學教學中突出愛國主義教育［J］.教育與職業，2004，459（30）：6667.

［2］李菊梅.《九章算術》的教育價值［D］.上海師范大學，2010.

［3］段耀勇，劉鵬，周瑞琪.中國傳統數學與“十二平均率”的產生［J］.贛南師范學院學報，2005（06）：2224.

［4］曲安京.中國古代的二次求根公式與反函數［J］.西北大學學報（自然科學版），1997（01）：13.

［5］郭書春.關于劉徽的割圓術［J］.高等數學研究，2007，117（01）：118120.

基金項目：蘇州高博軟件技術職業學院2022年校級教改課題（課程思政專項），課題編號：JG202204

作者簡介：王顏（1989— ），男，山東濰坊人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學。