一類行列式的計算方法

黃成興 王志敏

摘?要：線性代數作為高等學校理工類、經管類等各專業的一門公共基礎必修課，是一門非常重要的大學數學課程，在培養高素質人才中越來越顯示出其獨特的、不可替代的重要作用。行列式是線性代數中非常重要的內容，它是線性代數中的最基本問題，廣泛應用于許多實際問題的解決，行列式的計算為解決問題提供了工具。而抽象行列式的計算卻較為困難，如何利用行列式的定理和性質巧妙地計算行列式顯得尤為重要，文章將針對一類抽象行列式進行分析，結合行列式的定理和性質給出相應的計算方法，為廣大師生學習此類行列式的計算提供方法指導，從而提高解題效率。

關鍵詞：行列式；計算方法；線性代數

行列式的計算是線性代數中非常重要的內容，利用行列式的定義、性質和展開定理可以對行列式進行化簡，從而求出它的值。含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類行列式比較抽象，形如xA+yA-1，需要用行列式相關定理和性質進行轉換后再求解行列式的值，文章提出兩種解題策略，第一種將xA+yA-1轉化為zA-1，在利用伴隨矩陣性質求解；第二種將xA+yA-1轉化為zA，在利用可逆矩陣的性質求解。

一、A與A-1互化的相關定理

（一）定理1

設矩陣A為n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則有AA=AA=AE。

證明：只證明AA=AE，AA=AE類似。

AA=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…annA11A21…An1

A12A22…An2

…………

A1nA2n…Ann

=∑nk=1a1kA1k∑nk=1a1kA2k…∑nk=1a1kAnk

∑nk=1a2kA1k∑nk=1a2kA2k…∑nk=1a2kAnk

…………

∑nk=1ankA1k∑nk=1ankA2k…∑nk=1ankAnk

=A0…0

0A…0

…………

00…A

=AE

（二）定理2

矩陣A可逆的充要條件是A≠0，且當A可逆時，有A-1=1AA，即A=AA-1［1］。

證明：充分性

∵A≠0?∴AA=AA=AE

∴A（1AA）=（1AA）A=E

∴A可逆，∴A-1=1AA

∴A=AA-1

必要性

設矩陣A可逆，則存在矩陣B，使得AB=BA=E。

兩端取行列式，即AB=E，∴AB=1?∴A≠0

二、行列式的相關性質

（一）性質1

若A可逆，實數λ≠0，則λA可逆，且（λA）-1=1λA-1。

證明：∵AA-1=A-1A=E，?∴λA·1λA-1=1λA-1·λA=E

∴（λA）-1=1λA-1

（二）性質2

設矩陣A為n階方陣，λ為實數，則λA=λnA［2］。

證明：

λA=λa11λa12…λa1n

λa21λa22…λa2n

…………

λan1λan2…λann=λa11a12…a1n

λa21λa22…λa2n

…………

λan1λan2…λann

=λ2a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

λan1λan2…λann=…

=λna11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann=λnA

（三）性質3

若矩陣A可逆，則A-1=1A。

證明：∵矩陣A可逆，∴A≠0

∴AA-1=E，∴AA-1=AA-1=E=1

∴A-1=1A

（四）性質4

設矩陣A為n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則A=An-1。

證明：∵AA=AA=AE，兩端取行列式，

∴AA=AE，

∴AA=An

，∴A=An-1

（五）性質5

設矩陣A為n階方陣，A為A的伴隨矩陣，則（kA）=kn-1A。

證明：∵AA=AA=AE

∴（kA）·（kA）=kAE=knAE

∴（kA）=kAE=knAE·（kA）-1

=knAE·k-1·A-1=kn-1AE·A-1

=kn-1AA-1·E=kn-1A·E=kn-1A

三、例題解析

（一）例1

設A為3階矩陣，且A=12，求（3A）-1-2A的值［3］。

方法一：運用定理2將A轉化為A-1，即將xA+yA-1轉化為zA-1，在利用行列式性質λA=λnA和A-1=1A進行求解。

解析：第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉化為逆矩陣A-1。

∵2A=2AA-1，A=12，∴2A=2AA-1=A-1

第二步：利用性質1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（3A）-1=13A-1，∴（3A）-1-2A=13A-1-A-1=-23A-1

第三步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1

=-827A-1

第四步：利用性質3：A-1=1A化簡即可。

∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1

=-827A-1=-827·1A=-827×2

=-1627

方法二：運用定理2將A-1轉化為A，即將xA+yA-1轉化為zA，在利用行列式性質λA=λnA和A=An-1進行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉化為伴隨矩陣A。

∴（3A）-1=13A-1=13·1AA=23A

∴（3A）-1-2A=23A-2A=-43A

第二步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A

=-6427A

第三步：利用性質4：A=An-1化簡求解即可。

∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A

=-6427A=-6427A2

=-6427×（12）2=-1627

（二）例2

設A為3階矩陣，且A=3，求2A+（13A）-1的值。

方法一：運用定理2將A轉化為A-1，即將xA+yA-1轉化為zA-1，在利用行列式性質λA=λnA和A-1=1A進行求解。

解析：第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉化為逆矩陣A-1。

∵2A=2AA-1，A=3，∴2A=2AA-1=6A-1

第二步：利用性質1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（13A）-1=3A-1，∴2A+（13A）-1=6A-1+3A-1=9A-1

第三步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1=729A-1

第四步：利用性質3：A-1=1A化簡即可。

∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1

=729A-1

=7291A=729×13=243

方法二：運用定理2將A-1轉化為A，即將xA+yA-1轉化為zA，在利用行列式性質λA=λnA和A=An-1進行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉化為伴隨矩陣A。

∴（13A）-1=3A-1=31AA=A

∴2A+（13A）-1=2A+A=3A

第二步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A=27A

第三步：利用性質4：A=An-1化簡求解即可。

∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A

=27A

=27A2=27×32=243

四、變式訓練

若矩陣A為4階方陣，A=2，求（12A）-1-52A。

方法一：運用定理2將A轉化為A-1，即將xA+yA-1轉化為zA-1，在利用行列式性質λA=λnA和A-1=1A進行求解。

解析：

第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉化為逆矩陣A-1。

∵52A=52AA-1，A=2，

∴52A=52AA-1=5A-1

第二步：利用性質1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（12A）-1=2A-1

∴（12A）-1-52A=2A-1-5A-1=-3A-1

第三步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1=81A-1

第四步：利用性質3：A-1=1A化簡即可。

∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1

=81A-1=81×1A=812

方法二：運用定理2將A-1轉化為A，即將xA+yA-1轉化為zA，在利用行列式性質λA=λnA和A=An-1進行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉化為伴隨矩陣A。

∴（12A）-1=2A-1=21AA=A

∴（12A）-1-52A=A-52A=-32A

第二步：利用性質2：λA=λnA化簡。

∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A

=8116A

第三步：利用性質4：A=An-1化簡求解即可。

∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A

=8116A=8116A3=812

行列式的計算是線性代數中遇到的最基本問題，含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類抽象行列式的計算較為復雜，文章結合行列式的定理和性質，給出了這一類行列式的兩種計算方法，為學生解決此類問題獻力獻策。

參考文獻：

［1］同濟大學數學系.線性代數［M］.北京：人民郵電出版社，2016.

［2］濮燕敏，殷俊鋒.線性代數習題全解與學習指導［M］.北京：人民郵電出版社，2018.

［3］馬銳，羅兆富.線性代數［M］.北京：機械工業出版社，2021.

基金項目：2023年度云南省教育廳科學研究基金教師類項目“‘線性代數’課程思政策略實踐研究”（2023J1261）；滇西科技師范學院2022年度校級科研項目“新時代邊境地區國門高校師范生教學技能培養策略研究——以滇西科技師范學院為例”（DXXY202208）；滇西科技師范學院2022年度校級科研項目“滇西科技師范學院少數民族大學生思想教育方法及策略研究”（DXXY202207）

作者簡介：黃成興（1988—?），男，彝族，云南云縣人，碩士研究生，滇西科技師范學院數理學院講師，主要從事數學教育、課程與教學論研究。

*通訊作者：王志敏（1983—?），女，彝族，云南云縣人，碩士研究生，滇西科技師范學院生物技術與工程學院講師，主要從事化學教育、食品加工研究。