模糊散布熵及其應用

胡保華，朱宗俊，金飛翔，魯翠萍，修 磊，王 勇

1.合肥學院 先進制造工程學院，合肥 230601

2.安徽省智能車輛控制與集成設計技術工程研究中心，合肥 230601

3.安徽中醫藥大學第一附屬醫院 針灸康復科，合肥 230031

4.合肥工業大學 機械工程學院，合肥 230009

熵是度量數據不規則性或不確定性的非線性動力學指標[1]。大多數熵方法是基于香農熵（Shannon entropy）、條件熵（conditional entropy），兩者分別表示時間序列中信息量和信息產生率[2-3]。

基于信息論方法，結合香農熵和條件熵，樣本熵（sample entropy，SamPen）[4]、模糊熵（fuzzy entropy，FuzEn）[5]、散布熵（dispersion entropy，DispEn）[6]等非線性動力方法得到了發展。SampEn在條件熵的基礎上量化了時間序列的不規則程度，已廣泛應用于生理和非生理信號分析應用領域[7-9]。SampEn[4]表示m個樣本點的兩相似序列在下一個樣本處保持相似的條件概率的負自然對數，與近似熵相比在計算概率時消除模板自匹配，因此在信號處理方面表現出更好的性能[10]。但是樣本熵仍存在一些問題，如熵值不連續，對相似容差變化以及對數據長度較為敏感等[11]，有研究證實樣本熵對毛刺噪聲信號較敏感[12]。

為了解決SampEn值未定義的問題，Xie等人[5]提出了模糊熵算法。FuzEn的計算采用模糊隸屬度函數，有效地避免SampEn算法中使用Heaviside函數來確定匹配的存在而產生的硬閾值。隸屬函數類型包括有三角形函數、梯形函數及指數函數等[13-14]。然而對于短時信號來說，FuzEn仍然可能導致不可靠的熵值。為解決SampEn和FuzEn的局限性，Rostaghi等人[6]結合Shannon熵和色散模式提出了散布熵。

與現有方法相比，DispEn具有以下優點：（1）與樣本熵SampEn相比，DispEn處理短時信號不會有結果未定義的現象出現；（2）DispEn對噪聲較不敏感；（3）DispEn比SampEn快很多[15-17]。由于這些優點，DispEn已被廣泛應用于各種科學領域，包括生物醫學工程和神經科學[18-20]，機械和工業工程[21-22]等。

DispEn計算步驟中初始時間序列經過不同數學變換后最終被映射（量化）到一系列整數，命名為類[6]。這個映射步驟（量化步驟）使用了取整函數，該方法類似于樣本熵中的Heaviside函數，可能會導致數據中的一些有用信息被丟棄，使得DispEn與SampEn類似，對參數選擇和信號長度很敏感。此外，由于噪聲引起的時間序列振幅的微小變化也會改變量化序列，從而改變熵值。

為解決這些局限性，本文提出了一種新的模糊散布熵（fuzzy dispersion entropy，FuzzyDispEn）。該度量首先基于嵌入矩陣與散布模式的歐式距離確定閾值，在閾值范圍內使用模糊隸屬函數取代DispEn中使用的取整函數來確定嵌入向量與散布模式的模糊隸屬度，根據模糊隸屬度確定每個散布模式出現的概率。使用模糊函數可以使信號信息在映射到色散模式時損失更小。

1 理論分析

1.1 標準散布熵

對于給定長度N的時間序列x={x1,x2,…,xN}，散布熵計算步驟如下：

（1）首先，利用正態分布函數：

將xj(j=1,2,…,N)映射到yj(j=1,2,…,N),yj∈(0,1)。其中μ和σ2分別表示期望和方差。

（2）進一步，通過線性變換：

將y再次映射到[1,2,…,c]的范圍內。其中，R為取整函數，c為類別個數。經過步驟（1）和（2），時間序列x的每一個元素都被映射到[1,2,…,c]中。

（3）利用下式計算嵌入相量，其中m為嵌入維度，d為時延：

（5）計算每種散布模式的概率：

（6）最后，根據香農熵定義，散布熵（DispEn）被定義為：

如果所有可能的散布模式具有相同的概率值，DispEn將達到最大值，其值為lncm，如噪聲信號。相反，當只有一個不等于0的時，表明時間序列是完全確定或規則的，DispEn為最小值，如周期信號[6]。在本研究中，使用標準化的DispEn/lncm作為散布熵DispEn熵值。

1.2 模糊散布熵

從上述散布熵的定義可以看出，取整函數會將原始級數的每個成員賦給一個類。這樣的處理方法與樣本熵的定義比較類似，在定義相似容差r以后，樣本熵規定任何大于r的距離都被舍去，僅僅保留小于相似容差r的距離個數，因此散布熵和樣本熵都可以看作是基于單位階躍函數構造的。但是，在現實物理世界中，很難明確地將一個輸入歸類為某一個輸出，不同類之間的邊界是模糊的，如果以單位階躍函數構造樣本熵，實際時間序列的微小波動也可能造成輸出熵值的劇烈波動，傳統的定義散布熵的取整函數在處理時間序列時會呈現出不足。舉例來說，若原始級數a=[1.5,1.5]，根據取整函數，a將被映射為[2，2]。如信號受到微弱干擾，a=[1.499，1.499]，則a將被映射為[1，1]，因此原始信號微小波動也可能造成輸出熵值的劇烈波動，從而造成散布熵對于參數選擇和噪聲值特別敏感。

因此，本文基于模糊熵，使用模糊隸屬度函數代替取整函數，定義每個相量對每個類的隸屬度。根據模糊映射關系，一個給定的相量可以同時分配到多個類，從而避免上述問題。根據香農熵定義，隸屬度函數應滿足以下條件，首先不同類的隸屬度之和等于1，其次要使一個隨機信號具有最大的熵值，理論上每個模式的概率應該相等[5]。因此，所使用的模糊隸屬函數對隨機序列具有相等的相對基數，使得類可以獲取相等的概率[23]。

鑒于上述規則，本文基于歐式距離采用如下規則的模糊函數。設定閾值r,yj不采用取整函數映射到[1,2,…,c]的范圍內，而是利用歐式距離設定模糊隸屬度。對于步驟2，相比于散布熵通過取整函數將y再次映射到[1,2,…,c]的范圍內，本研究不直接取整，而是采用如下步驟所示模糊映射函數：

（1）通過線性變換：將yj映射到c×yj+0.5。

（3）計算每種散布模式πv0v1…vm-1的概率，與散布熵取整后找尋數值均相等的散布模式不同，本研究首先定義嵌入相量，embd(i)=z(i:i+(m-1)×d),i=1:N-(m-1)×d；定義后計算嵌入相量與散布模式的歐式距離，選擇歐式距離小于設置閾值r的散布模式，根據歐氏距離的大小分配相對應的散布模式出現的概率。

若對嵌入相量z(l:l+(m-1)×d)，有k個散布模式歐式距離小于r，距離矩陣為dis(k)，則每個散布模式的概率如下式所示：

（4）最后，基于香農熵定義，模糊散布熵（FuzzyDispEn）被定義為：

同樣，在模糊散布熵的計算中，使用標準化的FuzzyDispEn/ln（cm）作為模糊散布熵熵值。

為進一步說明模糊散布熵的計算，取時間序列x={3.6，2.5，1.9，3.1，4.2，-2.3，3.1，4.6，8.3，6.8}，嵌入維度m=2，時延d=1，類別c=3，則共有cm=32=9種散布模式，與文獻[13]一致。首先利用正態分布函數將時間序列映射到y={0.503，0.352，0.278，0.433，0.586，0.020，0.433，0.640，0.951，0.871}。如果是散布熵計算的話，對y進一步處理后通過線性變換得到z3={2，2，1，2，2，1，2，2，3，3}，對應[1，2]有2/9的出現概率，[2，1]有2/9的出現概率，[2，2]有3/9的出現概率，[2，3]有1/9的出現概率，[3，3]有1/9的出現概率，則相對應的散布熵為DispEn=-((2/9)×ln(2/9)+(2/9)×ln(2/9)+(3/9)×ln(3/9)+(1/9)×ln(1/9)+(1/9)×ln(1/9))=1.735 1，標準化后熵值為0.693 1。

若是模糊散布熵計算，對y進一步處理后通過線性變換得到z3={2.056 2，1.571 7，1.331 5，1.831 8，2.324 5，0.500，1.831 8，2.497 3，3.500，3.241 0}，對于嵌入向量[2.056 2，1.571 7]，其與散布模式的距離分別為{1.442 4，0.330 0，1.217 7，1.298 9，0.186 6，1.074 2，3.155 5，2.043 1，2.930 8}，根據上述算法，設置閾值r為1，[2，1]出現的概率為0.451 7，[2，2]出現的概率為0.548 3，以此類推，最后得到相對應的散布熵為FuzzyDispEn=-((0.055 7)×ln0.055 7+(0.168 6)×ln0.168 6+(0.034 8)×ln0.034 8+(0.195 3)×ln0.195 3+0.232 1×ln0.232 1+(0.003 9)×ln0.003 9+(0.143 2)×ln0.143 2+(0.166 4)×ln0.166 4)=1.834 2，標準化后熵值為0.834 8。

2 實驗設計與驗證

2.1 實驗設計

2.1.1 高斯白噪聲

采用高斯白噪聲作為仿真信號，測試模糊散布熵與散布熵對數據長度和參數設置的敏感性。構造序列長度N=4 096的高斯白噪聲（white Gauss noise，WGN）序列，計算參數選擇為嵌入維數m=3、類數c=4的DispEn和FuzzyDispEn，設置不同滑動窗長和幀移距離后計算每一幀信號熵值，以此為基礎測試DispEn和FuzzyDispEn的數據長度敏感性。對每個長度為N=（512，1 024，2 048，4 096）的50個獨立的高斯白噪聲，分別計算嵌入維數m=3～5、類數c=2～9的DispEn和FuzzyDispEn，參數m與c的增長步長均為1，以此驗證算法數據長度和參數敏感性。

2.1.2 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是最簡單的一維混沌映射，經典Logistic函數如下所示：

其中，參數μ∈(0,4]，x∈(0,1]。研究表明，當μ∈[3.569 945 627,4]時，序列xn處于混沌狀態[24]。

本文利用如圖1所示的Logistic混沌測試模糊散布熵與散布熵對噪聲的敏感性。取μ為3.6～3.9，增長步長為0.1，對于每一個μ對應的Logistic混沌序列，分別添加信噪比為10 dB～50 dB的高斯隨機白噪聲，噪聲增長步長為1 dB。

圖1 Logistic混沌映射圖Fig.1 Logistic map

基于不同信噪比噪聲下混合信號的熵值相對于50 dB信噪比混合信號熵值的變化率（change rate，CR）來度量模糊散布熵與散布熵的抗噪性能，變化率CR的定義可以寫成：

其中，E為當前熵值，E0為起始熵值，對應為信噪比為50 dB時的熵值。變化率CR越大，算法對噪聲魯棒性越差，抗噪性越差；反之，變化率CR越小，算法對噪聲魯棒性越好，抗噪性越好。

2.1.3 Henon混沌映射

Henon混沌映射是一個基于排序的二維非線性系統，其方程公式如公式（12）所示：

當a=1.4,b=0.3時，函數進入混沌狀態，生成的混沌序列具有很強的隨機性[25]。

本文利用如圖2所示的Henon混沌測試模糊散布熵與散布熵的噪聲敏感性。

圖2 Henon混沌映射圖Fig.2 Henon map

與Logistics混沌系統一樣，對Henon混沌序列，分別添加信噪比為10 dB～50 dB的高斯白噪聲，步長為1 dB。同樣基于不同信噪比噪聲下混合信號的熵值相對于50 dB信噪比混合信號熵值的變化率CR來度量模糊散布熵與散布熵的抗噪性能。變化率CR越大，算法對噪聲魯棒性越差，抗噪性越差；反之變化率CR越小，算法對噪聲魯棒性越好，抗噪性越好。

2.1.4 Chirp信號

前文提到，散布熵可以同時檢測信號幅值和頻率的變化。為進一步研究FuzzyDispEn對頻率變化的依賴性，本文使用如圖3所示的對數調頻信號驗證FuzzyDispEn與DispEn跟隨頻率變化的特性[26]。

圖3 對數調頻信號Fig.3 Chirp signal

調頻信號采樣頻率為1 000 Hz，長度均為10 s。線性調頻信號的頻率在10 s內以對數方式從5 Hz掃到100 Hz。沿信號移動重疊度為99%的1 024數據點大小的滑動窗口，相應參數設置分別為(m=4,c=4)，Fuzzy-DispEn計算中r設置為2.5。

2.1.5 真實腦電信號

腦電信號具有非線性、非平穩性的特點，非線性動力學混沌理論被廣泛運用于腦電的分析研究中。因此，本研究選擇腦電數據驗證新算法的分析能力。

研究使用來自波恩大學醫院癲癇科的真實腦電數據測試新算法性能表現，關于該數據庫的更多細節可參閱文獻[27]。

該數據庫共包含有5組數據，記為A～E，每組數據包含100個單通道EEG數據段，段長為23.6 s。所有信號均用同一128通道放大系統記錄。經過12位模數轉換后，以173.61 Hz的采樣速率寫入數據。帶通濾波器設置為0.53～40 Hz[27]。這些數據片段是從連續的多通道腦電圖記錄中選擇的，并且每一段腦電數據都進行了視覺偽影檢查，去除了如由于肌肉活動或者眼球運動造成的含偽跡的腦電信號。

數據A和數據B為5位健康并且處于清醒狀態的志愿者分別在睜眼與閉眼狀態下的腦電數據。數據C和數據D來源于癲癇患者癲癇發作間期的腦電活動數據。數據E來源于患者處于癲癇發作活動狀態時的腦電活動數據。正常人與癲癇患者發作期腦電數據如圖4所示。本研究選取數據A為對照組，數據E為實驗組，分別基于DispEn和FuzzyDispEn測試正常受試者與癲癇患者癲癇發作期腦電信號之間的復雜度差異。

圖4 正常腦電信號與癲癇發作期腦電Fig.4 Normal EEG and epileptic EEG

2.1.6 真實滾動軸承振動信號

考慮到工業環境的復雜多變，滾動軸承工作環境往往同樣復雜多變，因此與腦電信號類似，滾動軸承振動信號通常也具有非平穩、非線性的特性。為了進一步驗證新算法的性能，本研究在腦電信號的基礎上，選擇真實滾動軸承振動信號做進一步分析。

本研究使用如圖5所示的美國凱斯西儲大學的滾動軸承故障數據進行新算法性能測試。美國凱斯西儲大學滾動軸承故障數據庫中滾動軸承的型號為SKF6205，選擇實驗采樣頻率為12 kHz，轉速為1 797 r/min[28]。通過滾動軸承的不同類型故障對算法的有效性進行驗證。

圖5 正常軸承信號與異常軸承信號Fig.5 Normal bearing signal and abnormal bearing signal

本研究使用多尺度熵區分如表1所示的不同標簽對應數據。

表1 不同程度故障數據Table 1 Data of different degrees of failure

2.2 實驗結果

2.2.1 數據長度敏感性

構造序列長度為N=4 096的高斯白噪聲，計算參數選擇為嵌入維數m=3、類數c=4的DispEn和Fuzzy-DispEn，其中FuzzyDispEn參數r設置選擇為1。為驗證信號長度對于熵值結果的影響，設置滑動窗長l為64至4 096，滑動窗增長步長為16，計算高斯白噪聲在不同信號長度下的DispEn和FuzzyDispEn，算法流程如圖6所示。

圖6 滑動窗口法流程圖Fig.6 Flow diagram of sliding window method

結果如圖7所示，對于所有的數據長度，在嵌入維數m=3、類數c=4的參數選擇情況下，模糊散布熵FuzzyDispEn的值與散布熵DispEn的值相比都更接近白噪聲的最大熵值1。總體來看數據長度越大，熵的穩定性越好，模糊散布熵FuzzyDispEn的數據長度依賴性優于散布熵DispEn。因此，FuzzyDispEn在處理短時信號中的表現會更準確。這種特性使得模糊散布熵同樣適用于特種條件下的生物醫學信號處理。一方面，短時信號處理可以提高處理速度；另一方面，在某些應用中，如腦卒中痙攣患者的快速牽引實驗[29]，所獲得肌電信號本身就很短，舉例來說，若受試者活動范圍為90°，牽引速度為360（°）/s，采樣頻率假設為1 000 Hz，則數據長度僅為250數據點，這時如果采用大滑動窗來處理信號就滿足不了處理需求。綜上，模糊散布熵在生物醫學處理等方面的潛在應用要優于散布熵。

圖7 數據長度敏感性對比結果Fig.7 Comparison results of data length sensitivity

2.2.2 參數敏感性

構造序列長度為分別為N=（512，1 024，2 048，4 096）的高斯白噪聲，在每種長度數據的基礎上，分別計算不同參數所對應的熵值從而驗證FuzzyDispEn與DispEn的參數敏感性。

為了防止隨機干擾，每組數據長度分別生成50組數據，最后計算平均值從而消除隨機干擾。基于生成的高斯白噪聲，計算嵌入維數m=3～5、類數c=2～9的DispEn和FuzzyDispEn，計算后取平均值。不同數據長度、不同參數的結果對比如圖8～圖10所示。從圖可以看出，對于所有的N、m、c值，FuzzyDispEn與DispEn的值相比都更接近白噪聲的最大熵值1。對比結果驗證了本研究提出的模糊散布熵FuzzyDispEn對參數選擇敏感性較低，具有較強的參數選擇魯棒性，為不同條件下生物醫學信號處理應用提供了一種潛在的方法。

圖8 當m=3時散布熵與模糊散布熵平均值Fig.8 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=3

圖9 當m=4時散布熵與模糊散布熵平均值Fig.9 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=4

圖10 當m=5時散布熵與模糊散布熵平均值Fig.10 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=5

2.2.3 噪聲敏感性

為驗證噪聲敏感性并減少噪聲隨機性對結果的干擾，對于不同μ對應的Logistic混沌信號，分別添加20次高斯白噪聲進行20次試驗。對于Henon混沌信號，同樣分別添加20次高斯白噪聲進行20次試驗。

圖11、圖12分別給出了Logistic混沌信號與Henon混沌信號下散布熵與模糊散布熵的平均變化率CR。從圖可以看出模糊散布熵對應的CR值小于散布熵，結果表明模糊散布熵方法相比散布熵方法具有較好的抗噪性。

圖11 不同R值的Logistic系統(R=3.6～3.9)不同信噪比下兩種熵對應的CR值Fig.11 CR of two entropy methods under different SNR for Logistic systems with differentR values：R=3.6～3.9

圖12 Henon系統不同信噪比下兩種熵對應的CR值Fig.12 CR of two entropy methods under different SNR for Henon systems

對比結果驗證了模糊散布熵對噪聲干擾具有較強的魯棒性，噪聲變化（信噪比10 dB～50 dB）對熵值的變化影響相對于散布熵較小，模糊散布熵為噪聲條件下生物醫學信號復雜度測量等處理應用提供了一種潛在的方法。

2.2.4 頻率跟隨結果

頻率跟隨結果如圖13所示。從圖可以看出，與DispEn相比，FuzzyDispEn可以更好地跟隨Chirp信號的頻率相關變化。此外，從圖13同樣可以清晰看出，與DispEn相比，FuzzyDispEn的結果更加穩定。

圖13 頻率跟隨結果對比圖Fig.13 Comparison diagram of frequency following results

2.2.5 腦電信號處理結果

對正常人腦電A組和癲癇發作期腦電E組的20個腦電信號基于模糊散布熵進行復雜度分析，其中FuzzyDispEn參數設置為(m=3,c=4,r=2)，DispEn參數設置為(m=3,c=4)，每組信號同樣采用圖5所示的滑動窗計算方式驗證所提出的方法在區分正常腦電和癲癇發作期腦電信號方面的有效性。結果如圖14和表2所示。

表2 癲癇期與正常人腦電信號對比Table 2 Comparison of seizure and normal EEG

從圖14和表2可看出，FuzzyDispEn與DispEn均可以有效區別正常腦電和癲癇發作期腦電(P<0.01)，但是如表2所示，FuzzyDispEn的變異系數更小，說明FuzzyDispEn波動較小，穩定性較好，在后續實時監測癲癇應用中會有更好的表現。其中表2中FDispEn表示FuzzyDispEn。

2.2.6 軸承信號處理結果

本研究在模糊散布熵的基礎上，進一步提出基于多尺度熵[30]的軸承故障診斷方法，測試模糊散布熵在多尺度上的正常信號與故障信號的區分能力。

多尺度散布熵的計算步驟如下：

（1）對長度為N的原始時間序列Xi={x1,x2,…,xN}，預先給定尺度τ=1,2,…,按照公式（13）對其進行粗粒化：

（2）對于每個尺度τ，計算其粗粒化序列的散布熵值，進而可得到所有尺度粗粒下序列的散布熵值（multi scale dispersion entropy，MDE）：

計算其粗粒化序列的模糊散布熵值，而后可以得到所有尺度相粗粒下序列的散布熵值（multi scale fuzzy dispersion entropy，MFDE）：

粗粒化序列的長度為原序列長度N除以尺度τ，隨著尺度τ的增加，粗粒化序列的長度會越來越短，而序列越短，熵值的計算穩定性就會變差。

選取不同種類信號計算多尺度熵。選取數據段長度為4 096，計算每段數據下的多尺度熵，尺度從1至30，增長步長為1。具體結果如圖15、16所示。

圖15 不同狀態軸承信號的MDEFig.15 MDE of bearing signals in different states

圖16 不同狀態軸承信號的MFDEFig.16 MFDE of bearing signals in different states

從圖15、16可以看出，正常狀態軸承信號在各個尺度下模糊散布熵均較小，一定程度上符合正常工作狀態下軸承信號沖擊性小、平穩性高的振動特性；不同故障信號在各個尺度下模糊散布熵均較大，表明多尺度模糊散布熵理論上能夠更好地表征軸承振動信號狀態信息。后續將進一步優化算法，將模糊散布熵作為模式識別分類器的輸入，實現更為精確的軸承信號分類。

另一方面從圖15、16可以看出，多尺度模糊散布熵在區分正常軸承信號與故障軸承信號的能力強于多尺度散布熵。為進一步實現精細化軸承狀態識別，后續工作將集中在優化參數和算法改進，提出能夠更好區分軸承不同程度損傷的算法。

2.3 結果分析與討論

從上述分析可以得出，模糊散布熵在參數依賴性、數據長度依賴性、抗噪性以及穩定性上都表現出優于散布熵的更好的效果，為后續生物醫學工程、機械工程領域中信號復雜度度量提供了一種新的方法。

熵是用來衡量信號復雜性的重要特征參數。近年來，各種基于熵的測量方法被用來量化和理解不同類型信號的復雜性。Li等人[31]在散布熵的基礎上提出了細化復合多元多尺度散布熵，結果表明，精細復合多元多尺度散布熵在信號魯棒性方面具有一定的優勢。本研究基于散布熵和模糊隸屬函數提出了一種新的模糊散布熵，證明了模糊散布熵相比于標準散布熵的優勢，并且文章最后在模糊散布熵的基礎上提出了多尺度模糊散布熵，結果表明多尺度模糊散布熵在區分正常信號與故障信號的表現上優于多尺度散布熵，后續研究將引入細化復合特性，進一步驗證模糊散布熵的性能表現。Song等人[32]在散布熵的基礎上提出了層次散布熵，相比于散布熵可以提取更多的有效信息。模糊散布熵與層次散布熵相比，優勢仍然可以體現為參數選擇以及噪聲魯棒性上，因為層次散布熵仍是采用取整比較計算熵值，這種處理方式與標準散布熵類似，仍然會導致噪聲與參數敏感性高的問題，后續作者將進一步分析模糊散布熵與層次散布熵在信號復雜度度量上的表現對比。關于模糊熵，有研究者提出了多種基于改進模糊熵的軸承故障診斷方法[33-35]。散布熵相比樣本熵和模糊熵有對噪聲和數據長度敏感度較低的優點，當分析數據長度較小的時間序列時，散布熵不會出現沒有定義的熵值，并且熵值計算很好地兼顧了時間序列幅值的重要信息；可同時檢測幅值和頻率的變化，而且計算速度快，非常容易擴展到實時應用領域中。

Rostaghi在文獻[23]中第一次提出了模糊散布熵并且驗證了其相對于標準散布熵的優勢。進一步，Li等人[36]在文獻[23]的基礎上結合分數階微積分實現了分數階模糊散布熵值計算，并驗證了在信號復雜度上分析的優勢。相比于上述參考文獻，本研究最大的優勢是提出了閾值參數可調的模糊隸屬度函數：文章在熵值計算過程中，首先計算嵌入相量與散布模式的歐式距離，選擇歐式距離小于設置閾值r的散布模式，根據歐氏距離的大小分配相對應的散布模式出現的概率。在實際應用中，可以根據應用場景設置不同的閾值r，來滿足不同的使用需求。舉例來說，若應用場景為肌肉活動起始點檢測，則可以設置比較大的r值，從而抑制毛刺噪聲對熵值的影響，實現精確的肌肉活動起始點檢測；若應用場景為癲癇腦電尖波提取等突變信號檢測應用，則可以設置比較小的r值，從而減小算法對尖波等突變信號的抑制。

綜上，相比散布熵、層次散布熵、模糊熵或多尺度熵等，本文方法具有一定優越性。需要說明的是，目前存在許多其他的關于熵值的先進改進算法，例如精細復合分層模糊熵[33]、基于歐氏距離的多尺度模糊熵[34]、自適應分層[35]等。因此，在將來的工作中，本文方法中的熵值計算過程將根據算法優勢，結合這些先進的算法模式，進一步完成更為精確的復雜度測量。

3 結束語

本文在散布熵的基礎上，基于歐氏距離和模糊隸屬度函數提出了模糊散布熵（FuzzyDispEn）。在Fuzzy-DispEn算法中，使用基于歐式距離的模糊函數代替DispEn中基于取整函數（階躍函數）的統一量化步驟來定義每個嵌入向量相對于散布模式的隸屬度。考慮散布熵定義，散布熵值對于參數m與c的敏感性特別高，信號中微小的數值變化，會引起熵值的巨大變化，且數據長度依賴性過大。上述問題主要是由于散布熵是基于取整函數（階躍函數）定義的，取整函數將每一個嵌入向量映射到唯一的散布模式。如前所述現實世界中不同類之間的邊界是模糊的，很難明確地將一個輸入歸類為某一個輸出。針對這一問題本文基于歐氏距離與模糊度隸屬函數提出了模糊散布熵。基于歐氏距離與模糊度隸屬函數，嵌入相量并不是簡單地根據取整函數映射到一個固定的散布模式，而是根據嵌入向量與散布模式的歐式距離將一個嵌入向量映射到一個或多個散布模式，避免了熵值的劇烈波動，因此模糊散布熵的參數依賴性表現更好，數據長度依賴性更好，抗噪性更好，而且穩定性更好。基于合成信號的分析表明FuzzyDispEn對信號長度、參數選擇和噪聲的敏感性表現均優于DispEn。

本研究選擇腦電數據和滾動軸承故障數據進行新算法性能測試。一方面，大腦是一個復雜的混沌動力系統，腦電信號具有復雜的非線性特性。另一方面，由于滾動軸承所處工況運行的復雜性，通常情況下采集的軸承信號是也是復雜不平穩的，同樣具有非線性特性，不同工況下的軸承振動信號表現的信號復雜程度是不盡相同的。分析結果顯示，與DispEn相比，FuzzyDispEn在檢測頻率變化過程的動態變化方面表現得更好。基于真實腦電數據集的結果表明，FuzzyDispEn在癲癇檢測方面性能表現同樣優于DispEn。

另一方面，模糊散布熵是基于歐氏距離和模糊隸屬函數建立的，因而，如果腦電或者表面肌電等信號中含有毛刺噪聲，那么在模糊散布熵算法下毛刺噪聲導致的熵值變化相對比散布熵會更加平緩平滑，因此相對于散布熵，模糊散布熵可以更好消除毛刺噪聲影響。但具體選擇何種處理方法應根據信號類型。模糊散布熵因為增加了運算步驟，因此算法耗時相比于標準散布熵更多，因此若在信號質量良好的實時應用場景中，標準散布熵就可以滿足處理要求。最后，算法中參數r是可調的，可以根據應用場景設置不同的閾值r從而滿足不同的信號處理需求。具體r值的確定可根據使用需求做具體分析。如前述肌肉起始點檢測和腦電尖波提取，需要分析不同的r值對實驗結果的影響，從而選取最優的r值。

本研究不足之處是對模糊散布熵的參數選擇討論較少，而且基于真實神經電生理信號等的研究較少。后續將基于新算法分析在帕金森腦電、腦卒中肌電等信號分析中的性能表現，并進一步研究不同參數設置對分析結果的影響。

此外，后續研究將進一步分析本文所提出的模糊散布熵與精細復合多元多尺度、分數階微積分等其他算法模式結合的優勢，在參數可調的基礎上，挖掘算法在復雜度測量上進一步提升的空間。同時將進一步優化算法，提高算法實時性。