基于Zernike多項式的光機耦合數值仿真研究

陳灝 張志剛 孫瑤 吳駿 李岳峰 王振 王野 劉樂璠

摘? 要：光學系統的研制包括光學、結構、熱學等不同學科的內容，且各學科之間相互影響，因此這是一個多學科協同研發的過程。在初期設計階段，綜合考慮光機熱之間的耦合關系顯得尤為重要。該文對光機熱集成分析過程中的光機耦合分析方法進行數值仿真研究，重點介紹Zernike多項式擬合方法，并以雙鏡片目鏡為例，通過自研軟件Somap，獲得變形后的光學系統鏡面面形數據，將獲得的光學宏文件加載至光學設計軟件中，分析變形后的光學系統的成像質量，光學系統在外載荷作用下，成像質量顯著下降。

關鍵詞：Zernike多項式；光機耦合；光機熱集成分析；熱變形；數值仿真

中圖分類號：TN248? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）05-0024-04

Abstract： The development of optical systems involves different disciplines such as optics， structure， and thermodynamics， and these disciplines interact with each other. Therefore， this is a multidisciplinary collaborative research and development process. In the initial design stage， it is particularly important to comprehensively consider the coupling relationship among optics， mechanics， and heat. This paper makes a numerical simulation study on the optical-mechanical coupling analysis method in the process of opto-mechanical-thermal integration analysis， focusing on the Zernike polynomial fitting method， and taking the double-lens eyepiece as an example， through the self-developed software Somap， the mirror shape data of the deformed optical system is obtained， and the optical macro file is loaded into the optical design software to analyze the imaging quality of the deformed optical system under external load. The imaging quality decreased significantly.

Keywords： Zernike polynomial; opto-mechanical coupling; opto-mechanical-thermal integration analysis; thermal deformation; numerical simulation

隨著計算機科學和仿真技術的不斷發展，以及有限元分析軟件和光學設計軟件的進一步完善，光機熱集成分析技術也得到了迅猛發展[1-2]。利用光機熱集成分析技術，可以實現復雜工況環境下的模擬，通過仿真的方式，在設計階段就全面考慮光機熱對系統的影響，大大減少了試驗成本。光機熱集成分析是涉及光學、熱學、機械結構等不同學科的具有交叉性、綜合性的分析技術，是一個閉環反饋的過程，光機耦合則是光機熱集成分析技術中不可或缺的一個中間環節。當光機系統在內外載荷的作用下，系統結構產生形變，光學鏡面形狀也隨之發生變化。通常情況下，采用有限元分析軟件對光機系統進行結構分析和熱分析，再將結構分析和熱分析的結果反饋至光學設計軟件，查看結構變形和熱變形對光機系統成像質量的影響，分析光學調制傳遞函數和點列圖的變化，指導光機系統的進一步優化。

目前，常用的光機耦合方法包括多項式擬合法[3-4]和干涉圖插值法[5]。多項式擬合法是實現光機熱集成分析時重要的數據傳遞工具，該方法計算方便且相對成熟。其中，Zernike多項式由于其在單位圓內的正交性及與光學像差的對應關系，非常適合用于擬合圓形鏡面面形數據，因此其在工程項目、光機系統設計、干涉檢查方面被廣泛應用。

本文重點介紹了實現光機耦合過程的Zernike多項式擬合方法，并以雙鏡片目鏡為案例模型進行了仿真計算，分析了目鏡系統光學像質的變化情況，為光機熱集成分析過程提供參考依據。

1? Zernike多項式

Zernike多項式的擬合方法很多，如最小二乘法、Gram-Schimdt正交法、Householder變換等。最小二乘法通用簡潔，Gram-Schimdt正交法和Householder變換穩定性較好，如果擬合數據量不大，三者的擬合結果基本相近。具體的擬合求解步驟如下所示。

對采樣點進行歸一化處理。歸一化后，采樣點坐標為

式中：（x0，y0）為采樣點中心坐標，ρi為極坐標半徑。

將Zernike多項式函數U，作為基底函數，將式（1）中歸一化的采樣點坐標帶入Zernike多項式，得到作為基底函數的多項式函數矩陣U。

利用Gram-Schimidt標準正交法將Zernike多項式函數矩陣U單位正交化，得到單位正交矩陣V。

求Zernike多項式擬合系數Q。

鏡面節點的形變矩陣Φ由Zernike多項式表示為

UQ=Φ 。 （2）

進行坐標轉換，可得

ΦV=B ，

VB=Z ， （3）

Q=V+Z ，

式中：B、Z為中間變換矩陣，由上式可求得Zernike多項式系數Q。

2? 仿真分析

2.1? 案例模型

此案例是一個雙鏡片目鏡模型，約束面如圖1（a）所示，約束為全約束。此模型含有雙鏡片，有4個鏡面需要進行處理，如圖1（b）所示。

鏡架材料選擇6061鋁合金，鏡片材料采用鍺玻璃，材料屬性見表1。

本案例模型處于70 ℃的溫度環境中，默認溫度25 ℃。利用有限元分析軟件將溫度載荷引起的變化以位移場的形式輸出，獲得有限元模型文件和有限元結果文件。采用自研軟件Somap進行面型擬合計算，其最大形變量為0.112 6 mm。

2.2? Zernike擬合流程及結果

通過Somap進行Zernike擬合的具體流程如下。

1）添加有限元網格文件、有限元結果文件、光學模型文件。

2）選擇多項式擬合求解器，設置輸出文件名稱、光學軟件類型等參數。

3）設置局部坐標系來源，此案例使用光學模型進行局部坐標系推導，初始坐標系名稱為 EMT_CYS_SYSCOR，位于第一個鏡面上。

4）設置分析鏡面，依次設置每個面的基本信息。

5）設置面型參數，其中第一個鏡面為非球面鏡，面型類型選擇 Asphere，曲率半徑為 69.375 mm，二次曲面常數k=0，其余3個鏡面為 Conic 類型，如圖2所示。

擬合參數設置，采用去除剛體位移中的旋轉和平移項及曲率半徑的軸向修正結果。擬合多項式選擇標準Zernike多項式，由于擬合文件需要用在光學設計軟件中，因此Norm Type選擇Amplitude。歸一化半徑采用與鏡面尺寸一致的形式，由Somap自行進行計算。Max R Wave Number與Max Theta Wave Number分別對應與Zernike多項式中的擬合項數n和m，取n為4，m為2。

6）擬合求解，生成光學宏文件、擬合結果文件及擬合云圖文件。

擬合結果如圖3所示，從左至右、從上至下分別代表鏡面1、鏡面2、鏡面3、鏡面4。可以看出，鏡面1的擬合結果最大正向形變量為9.82 e-05 mm，最大負向形變量為1.15e-04 mm，鏡面中心負向形變量大。鏡面2的擬合結果最大正向形變量為1.68e-04 mm，最大負向形變量為2.42e-04 mm，鏡面中部環形區域有最大正向形變。鏡面3的擬合結果最大正向形變量為2.58e-04 mm，最大負向形變量為4.94e-04 mm，鏡面3擬合結果形狀與鏡面2類似。鏡面4的擬合結果最大正向形變量為1.11e-04 mm，最大負向形變量為9.13e-05 mm。

圖4給出了在m=2、n=4的擬合參數情況下4個鏡面的擬合殘差。

可以看出，擬合效果并不理想，尤其是前3個鏡面，為進一步提升擬合效果，增大擬合項數n和m的值，取n=8、m=6，擬合殘差如圖5所示，可以看出，4個鏡面的擬合殘差整體變小，擬合效果變好。

2.3? 光學評價

利用Somap軟件進行光機耦合處理，多項式擬合求解生成帶有Zernike系數的光學宏文件。擬合求解所生成的光學宏文件可直接加載至光學設計軟件中。在光學設計軟件中，查看形變后光學系統的像質情況。原始光學系統在（0.00，0.00）視場點的RMS值為0.006 126 mm，在外載荷作用下，光學面形發生變化，光學系統的成像質量顯著下降。通過Zernike擬合面形的光學系統在（0.00，0.00）視場點的RMS值變為1.016 158 mm，相對原始光學系統，RMS明顯變大。

3? 結束語

以光機熱集成分析技術為基礎，本文重點介紹了Zernike多項式擬合技術，Zernike多項式可作為光機熱集成分析的數據接口，由于同像差多項式形式一致，常用于擬合波面并對波前特性作分析，適合于擬合圓對稱的鏡面形狀。本文以雙鏡片目鏡模型為例，通過自研軟件Somap進行Zernike擬合計算，將離散的變形數據擬合為面形，并將處理后的光學宏文件加載至光學設計軟件中，發現光學系統在外載荷作用下，成像質量顯著下降，為光學系統的設計和優化提供理論參考。

參考文獻：

[1] 宮曉峰，劉健，陳建發，等.光機熱集成仿真在光學系統無熱化設計中的應用研究[J].電光與控制，2022，30（2）：106-110.

[2] 趙紫云.面向復雜環境的激光器系統光機熱耦合分析技術研究[D].長春：中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，2022.

[3] CORONATO P A， JUERGENS R C. Transferring FEA results to optics codes with Zernikes： a review oftechniques[J]. Proc SPIE， 2003， 5176： 128-136.

[4] 單寶忠，王淑巖，牛憨笨，等.Zernike多項式擬合方法及應用[J].光學精密工程，2002，10（3）：318-323.

[5] 劉勺斌，楊洪波.一種用于光機熱集成分析的新方法——干涉圖插值法[J].應用光學，2007，28（5）：553-558.