基于全反射原理的透明液體濃度測量方法研究

肖恩贊 李兆麒 徐佳利 鐘曉嬌 趙海超 王永康 秦海森

摘? 要：現(xiàn)如今有多種方法測量透明液體濃度，比重法、折射法（最小偏向角法）、超聲光柵法等，以上的方法均需建立濃度與密度、折射率、聲速及光損量之間的關系測量，從而得出測量濃度的一種表征。該文提出利用全反射原理中，即光從光密介質射向光疏介質時，當入射角超過某一角度θc（臨界角）時，折射光完全消失，只剩下反射光線的現(xiàn)象叫做全反射，以NaCl溶液為例，通過測量不同濃度的溶液所引起的全反射現(xiàn)象，進而引起入射光源的高度變化，通過實驗探究得出“濃度-高度”呈線性的負相關，并利用此關系實現(xiàn)對透明液體濃度的測量。研究實驗表明，擬合出相關系數(shù)R2=0.995 7，擬合效果好，測量精度達99%。

關鍵詞：透明溶液；濃度；全反射；測量；臨界角

中圖分類號：O435.1? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）05-0069-04

Abstract： Nowadays， there are various methods for measuring the concentration of transparent liquids， such as the specific gravity method， refractive index method （minimum deviation angle method）， ultrasonic grating method， etc. All of the above methods need to be used to establish the relationship among concentration and density， refractive index， sound velocity， and light loss， thus obtaining a characterization of the measured concentration. This paper proposes using the principle of total reflection， when the light is emitted from the light dense medium to the light sparse medium， and the incident angle exceeds a certain angle θc （critical angle）， the refracted light disappears completely， there only remains reflected light which is called total reflection. Taking NaCl solution as an example， by measuring the total reflection phenomenon caused by different concentrations of NaCl solution， the height change of the incident light source is caused. Through experimental exploration， it is found that the "concentration-height" shows a linear negative correlation， and this relationship is used to measure the concentration of transparent liquids. Research experiments have shown that the fitted correlation coefficient R2=0.995 7 has a good fitting effect and a measurement accuracy of 99%.

Keywords： transparent solution; concentration; total reflection; measurement; critical angle

透明液體濃度在食品、藥物、農(nóng)業(yè)和環(huán)境等領域中發(fā)揮重要作用，其與相應產(chǎn)品的品質、生產(chǎn)效率息息相關，且液體濃度也會影響著液體的一些物理性質，測量透明液體的濃度具有重要意義[1-3]。目前，有關液體濃度測量方法有折射法[4]、超聲光柵法[5]、光柵衍射法[6]、光纖傳感器法[7]和旋光儀法[8]，上述方法都有各自的特點，其中折射法實現(xiàn)的測量產(chǎn)生誤差較大；超聲光柵法雖進一步縮小了精度，但存在著一定的局限性；光柵衍射法和光纖傳感器法對儀器、成本的要求較高；旋光儀法受旋光性物質的影響，只有在其含量盡可能少時，其靈敏度才滿足要求。上述方法主要建立濃度與折射率、密度、聲速等間接關系進行測量。

因此，本文介紹了一種基于全反射原理的測量透明液體濃度的方法：將透明液體盛入透明水槽，用紅點激光源對透明水槽側面固定端發(fā)射光線，入射光線從較高折射率的介質到較低折射率的介質時，若入射角大于某一臨界角（光線遠離法線）時，折射光線將會消失，所有入射光線將被反射而不進入低折射率的介質。測量光源的高度，無需找出間接關系，直接擬合出濃度與高度的函數(shù)關系，該方法有效降低了操作難度及對成本的要求，同時自制的實驗器具融入高校實驗教學中，進一步拓寬了全反射原理的場景應用。

1? 實驗原理

基于全反射原理，設計一種測量透明溶液濃度的裝置。該裝置利用了洛倫茲-朗伯定律和全反射現(xiàn)象之間的關系進行測量。具體來說，當光線從密集介質射向稀薄介質時，如果入射角大于臨界角，則光線會被完全反射回去。這個臨界角在2種介質的折射率不同時是一個固定值。在實驗中，將液體樣品放置在透明幾何儀器中，并調整入射角度，直到光線射出時發(fā)生全反射。此時測量出全反射的臨界角度，并記錄下來。已知該液體的折射率為n，入射光線從空氣中以一定角度θ1射入液體，當入射角大于或等于臨界角時，光線將被完全反射并沿著液體表面?zhèn)鞑ァ４藭r入射光源的高度h與入射角度θ1之間存在線性關系

h=k×θ1+b ， ? ? ?（1）

式中：k和b分別表示線性回歸方程的斜率和截距。液體的折射率n與其濃度C有一定的關系，假設該關系為

n=f（C） 。（2）

根據(jù)折射率定義，n與光在液體中的傳播速度ν和光在真空中的傳播速度c之比有關系

因此，液體的折射率n與光在液體中的傳播速度v之間存在反比例關系。由此推出，液體的濃度C與光在液體中的傳播速度ν之間也應該存在反比例關系

C=g（ν） 。 （4）

將上式代入f（C）中，得到

n=f（g（ν）） 。 （5）

由于ν與θ1之間存在一定的關系，因此可將上式改寫為

n=f（g（θ1）） 。 （6）

綜上所述，液體的濃度C、折射率n和入射光源高度h之間應該存在線性關系。也就是說，當通過改變?nèi)肷涔庠吹母叨炔⒂^察其對應的濃度時，會得到一條線性回歸直線，滿足上述關系式。根據(jù)上面的線性公式可得

C=k×h+b ， （7）

式中：C表示液體濃度，h表示入射光源的高度，k和b是常數(shù)。則需要推導出k和b的具體值。這個問題中，需要考慮2個變量：液體濃度和入射光源高度。因此，需要收集一組實驗數(shù)據(jù)來進行求解，可以通過在不同高度下測量液體的濃度得到這些數(shù)據(jù)。

假設已經(jīng)收集了n組數(shù)據(jù)，分別為（h1，c2），（h2，c2），...，（hn，cn）。根據(jù)線性回歸模型，可以使用最小二乘法來計算k和b的值，使得模型預測值與實際值之間的誤差最小。具體來說，可以使用以下公式來計算k和b

式中：Σ代表對數(shù)據(jù)進行求和運算。通過測量獲得足夠數(shù)量的實驗數(shù)據(jù)，可以計算出k和b的值，最終得到一個具有一定準確性的液體濃度與入射光源高度之間的線性關系式。

2? 實驗方案

2.1? 實驗儀器

實驗使用到的主要儀器有點狀激光源（+5 V電源）、透明水槽（20 cm×10 cm×10 cm）、燒杯、電子秤（0.3～3 kg）、NaCl晶體、水槽架、鐵架臺和雙向轉換器等。

利用全反射原理的方法實現(xiàn)透明液體濃度測量，其裝置如圖1所示。

實驗裝置實物圖如圖2所示。

2.2? 實驗方法

如圖3所示為實驗原理示意簡圖。

NaCl的溶解度是35.9 g（室溫25 ℃），即濃度在0%～26.416 4%，具體實驗測量濃度范圍在1%～20%。首先搭建實驗裝置，利用精度為0.1 mg的電子天平稱量NaCl和水，將燒杯置于電子秤上，配置1 000 g（1 L）水。在稱量紙上配置20 g NaCl。將20 g NaCl倒入配置好1 000 g水的燒杯。用玻璃棒攪拌均勻后靜置1 min，待溶液穩(wěn)定后倒入至透明水槽至已經(jīng)標定好的1 L刻度線，打開紅點激光源，使光線進入水槽右面圓孔固定處，此時透明水槽出現(xiàn)了折射光線和反射光線。通過調節(jié)雙向轉化器的旋轉鈕，使激光源射出的光線對準透明水槽的側面圓孔，若白屏上出現(xiàn)光點或者無光點，則調節(jié)雙向轉化器的旋轉鈕來調節(jié)高度和角度，直至白屏剛好無光點的出現(xiàn)，記錄此時雙向轉化器在鐵架臺的高度位置為H1，重復測量5次刻度并記錄。依次按照上述實驗步驟配置梯度差為10 g的NaCl和1 000 g水，并重復上述實驗步驟，記錄入射光源的高度位置。

通過多次測量不同濃度的定標溶液，致使水槽剛好不產(chǎn)生折射光線時入射光源的高度，取高度的平均值，并對兩者進行相關性數(shù)據(jù)擬合，可得到透明溶液濃度與入射光源高度的定標方程，并繪制出定標曲線。接著對不同待測溶液測量其剛好不產(chǎn)生折射光線的光源高度，將測量值代入定標方程中計算得出透明溶液的濃度。

3? 定標結果及實驗分析

3.1? NaCl溶液的定標

實驗數(shù)據(jù)處理見表1。

將表1的數(shù)據(jù)用orign擬合，得到溶液濃度與光源高度的擬合曲線如圖4所示。

由圖中的實驗測量結果可得：隨著NaCl溶液濃度的增加，入射光源的高度隨之減小，溶液濃度與光源高度呈線性的負相關。根據(jù)圖像可知，數(shù)據(jù)點與擬合得到的曲線偏離程度很小，R2=0.995 7，因為R≈R2，且R∈（-1，1），得出線性曲線擬合的效果好。利用orign擬合出的線性關系如下

y=-0.031 8x+1.440 3 。 （10）

3.2? 實驗驗證

隨機稱不同質量的NaCl和1 000 g水，配置3組已知濃度的NaCl溶液。測量不同濃度溶液的光源高度，并將測得的高度值代入定標公式（10）計算濃度大小。通過計算測量值與實際測得值的相對誤差，從而驗證該實驗方案的可行性，實驗驗證結果見表2。

通過表2中的數(shù)據(jù)可看出：濃度C的相對誤差小于1%，實驗定標、測量結果與濃度標準值基本符合，說明采用該實驗方案可行且可信度高。

3.3? 誤差分析

溫度的影響。實驗數(shù)據(jù)前后的測量在不同時間下進行，不同的溫度NaCl的溶解度不同，20 ℃ NaCl的溶解度為35.6 g，會對實驗數(shù)據(jù)的測量結果造成偏差。

透明水槽厚壁的影響。因透明水槽的壁有0.2 cm厚度，對光線有一定的折射影響，造成結果都偏差。

溶液液面高度的影響。在進行每組實驗時，配置的溶液超過1 L再倒入透明水槽至1 L的液面刻度線，僅用肉眼觀察是否達到1 L的液面刻度線，造成了液面高度不夠或者過高，從而影響實驗測量結果的偏差。

4? 結論

本文以NaCl溶液為例，采用全反射原理，當入射角超過某一角度θc（臨界角）時，折射光完全消失，只剩下反射光線的這一全反射現(xiàn)象，進而提出一種基于全反射原理的透明液體濃度測量方法。實驗結果發(fā)現(xiàn)：隨著透明溶液濃度的增加，入射光源的高度會隨之減小，即濃度與高度呈線性負相關。擬合出相關系數(shù)R2=0.995 7，擬合效果好。并分別對實際濃度為5.84%和10.55%的NaCl溶液進行隨機測量，測量結果分別為5.86%和10.63%；證實了該實驗方案的科學性和可行性。該方法進一步拓寬了全反射原理的利用，有較大的應用前景。

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