含孔洞多裂隙復合巖層裂紋擴展和分形特性模擬研究

汪學清 ，趙云猛 ，馮 瑩 ，汪壯壯 ，李永超 ，陳 博 ，董 澤 ，吳帥軍

（1.中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083；2.深海礦產資源開發利用技術國家重點實驗室，湖南 長沙 410012）

在隧道、地鐵、采礦等工程的洞室開挖過程中，穩定性問題一直備受關注。自然界中由2 種或2 種以上不同巖層所構成，且每層巖石的力學性質和地質狀態均有較大差別的被稱為復合巖層。在復合巖層中洞室開挖成為實際工程中常見的工程問題之一。在受外部荷載的作用及應力重分布下，復合地層中裂紋的起裂、擴展和貫通過程會影響洞室圍巖的受力，進而導致巖體的垮塌。因此，研究含孔洞復合巖層的破壞過程對開挖工程的安全性和穩定性有著重要的意義。

考慮到原位測試的復雜性和其他不確定因素，大多數試驗是在現場取樣或根據相似理論[1-2]制作類巖石材料并在實驗室內完成，所以單軸壓縮試驗[3]、三軸壓縮試驗[4-5]、巴西劈裂試驗[6-7]等是研究復合巖層的常用方法。殷鵬飛[8]通過單軸壓縮試驗研究了不同的層理傾角的復合類巖層試件的破壞模式和力學特性，并結合聲發射分析試樣的破壞過程，詳細解釋了不同層理傾角的復合巖層裂紋起裂、擴展過程；邵光欽[9]利用類巖石研究了含預制裂隙的復合巖層在單軸壓縮下的破壞模式，發現層理傾角較大時會發生脆性斷裂，但是預制裂隙與界面貫通會影響試驗結果的準確性；程建龍等[10]利用三軸試驗研究了復合巖層的強度特性和破壞模式，并發現部分裂紋數量與裂紋方向符合正態分布統計規律；王輝等[11]利用巴西劈裂試驗研究了頁巖在不同層理傾角下的破壞模式和裂紋長度，證明了試件強度與裂紋長度有一定的關系，發現聲發射得到聲發射計數出現單峰陡增時，試件為拉伸破壞，出現多段增長時，試件為剪切和拉伸破壞；當巖層內含有洞室時，TANG 等[12]改變孔洞的大小、位置和分布，發現影響孔洞大小會影響裂紋起裂應力，分布會影響裂紋擴展速度和方向；張科等[13]在含孔巖石內加入預制裂隙，改變裂隙傾角將巖石破壞分為穿切裂隙剪切破壞和沿裂隙剪切破壞模式。

很多學者對含孔和裂隙的單一巖體擴展進行分析，但對復合巖層研究較少。因此，提出了一種新的含孔洞和裂隙復合巖層的模型，利用數值模擬對復合巖層的力學特性和分形特征進行研究。

1 RFPA2D 數值模型及參數

采用RFPA2D建立了含孔和裂隙的復合巖層模型，假定服從摩爾-庫倫準則，包含2 種軟硬巖A、B，軟硬巖A、B 的細觀力學參數見表1[14]。模型尺寸為130 mm×160 mm，圓孔直徑32 mm，劃分了260×320=83 200 個等面積細觀單元。預制裂隙的細觀力學參數為：彈性模量1 000 MPa，抗壓強度3 MPa。

表1 軟硬巖A、B 的細觀力學參數Table 1 Meso-mechanical parameters of hard and soft rocks A and B

本文數值模擬與文獻[14]中的復合巖層破壞模式對比如圖1，試驗的力-加載步數曲線如圖2。

圖1 本文數值模擬與文獻[14]中的復合巖層破壞模式對比Fig.1 Comparison between numerical simulation in this paper and literature [13] failure modes of composite strata

圖2 試驗的力-加載步數曲線Fig.2 Force-loading step curves of the test

由圖1（a），加載初期裂紋從孔洞最高和最低點開始，然后沿著最大主應力方向（豎直方向）發展，隨著加載步數的增加，軟巖層內出現遠場裂紋并主要在副對角線上擴展，遠場裂紋逐漸穿過硬巖層產生拉裂紋導致模型試件發生破壞；圖1（a）的試驗結果與圖1（b）的試驗結果相比，破壞模式有較小差別。

由圖2，2 次試驗的力-加載步數曲線變化趨勢一致，峰值力相差2.3%，這是由于基元彈性模量均質度不同，文獻[14]中并未提及基元彈性模量均質度取值（表1），本文通過試錯法得到材料A、B 基元彈性模量均質度取值均為3。

德國現行的垃圾處理技術政策，已經從單一的無害化向“減量化、資源化、無害化”轉變：①進一步完善分類收集系統，確保將生活垃圾在源頭有效分類，從而保證垃圾回收利用的效果；②開發先進的機械生物處理技術，對混合生活垃圾進行合理分選，以提高垃圾資源利用的效果；③對焚燒技術進一步優化，以適應各種垃圾的性質、降低污染物排放、提高能源利用效率的目標；④充分發揮創新精神，將科技運用到各種細節中，如垃圾收運車采用混合動力或綠色動力等。同時，德國部分垃圾處理設施是以園區的形式建設的，集垃圾處理、環保公園、動物飼養、休閑娛樂等設施于一體，園區邊界與居民區之間沒有防護距離，取得公眾的高度信任。

為簡化分析，數值模型未考慮開挖過程、巖石支護和加固的影響，數值模型如圖3。

圖3 數值模型Fig.3 Numerical model

為了模擬完整的應力-應變曲線，以0.01 mm/步的位移速度控制加載大小。在位移控制下豎向加載直至模型失穩，每一步基元都會在過度的張力下屈服于摩爾-庫侖準則而發生損壞，然后在每個基元破裂后，RFPA2D軟件會瞬間調整整個模型試件的應力和變形分布，使其重新達到平衡狀態。由于應力的重新分布，模型試件承受的載荷增加可能會引起進一步的斷裂。重復該過程，直到基元中不再發生失穩，然后施加更多的外部荷載，在加載過程中能量被存儲在基元中，這種能量在基元失效時以聲發射的形式釋放出來。

2 數值模擬結果

RFPA2D模擬了復合巖層完整的破壞過程，從裂紋的開裂到擴展再到貫通，為了便于描述不同裂紋的發育過程，將裂紋分為拉伸裂紋（T）、剪切裂紋（S）、遠場裂紋（R）。在RFPA2D聲發射中定義拉伸裂紋為紅色，剪切裂紋為藍色，遠場裂紋的定義是根據裂紋在除預制裂隙和圓孔的位置開裂。

2.1 裂隙傾角（α）對含孔復合巖層的影響

數值試驗過程中，復合巖層傾角（β）不變，裂隙傾角0°、30°、45°、60°、90°變化，不同裂隙傾角下裂紋擴展過程和聲發射圖如圖4，圖4 中裂隙編號與圖3 中同位置裂隙編號相同。

圖4 不同裂隙傾角下裂紋擴展過程和聲發射圖Fig.4 Crack propagation process and AE diagrams at different inclination angles

加載初期，初始裂紋均會從圓孔上下兩應力集中區開裂，隨著不斷地加載，裂紋沿著最大主應力方向（豎直方向）擴展到圓孔上下兩預制裂隙處，然后預制裂隙兩端開始萌生剪切裂紋，由于裂隙傾角不同導致裂紋開裂的方式和時間也不同。根據開裂后裂紋的整體分布，破壞模式被分為2 類：Y 型破壞模式和X 型破壞模式。

1）當α=0°、60°、90°時，裂紋主要沿著對角線（α=0°、60°為副對角線；α=90°為主對角線）一側最大主應力方向擴展。初始裂紋到達上下兩預制裂隙后擴展速度變慢，對角線處預制裂隙兩端開始產生拉伸翼形裂紋，并沿模型試件的對角線上下擴展，1 個角處（圖4（a）3#、圖4（b）6#、圖4（c）8#）裂紋擴展速度較快，其余3 個角處擴展較慢。繼續加載，裂紋與圓孔貫通，裂隙另一端（圖4（a）3#右端、圖4（b）6#左端、圖4（c）8#下端）剪切裂紋擴展速度加快，最后到達模型試件邊緣也隨之發生失穩破壞，其整體破壞為Y 型破壞模式。

2）當α=30°、45°時，隨著不斷地加載，副對角線預制裂隙兩端發生應力集中的現象，拉伸翼形裂紋從裂隙（圖4（d）3#和6#、圖4（e）3#和6#）兩端開始擴展，圓孔一側的裂紋（#3#左端和#6#右端）沿著副對角線方向達圓孔邊緣。隨后另一端（3#右端和6#左端）產生的剪切裂紋沿著最大主應力方向擴展與邊界連通，孔洞發生垮塌，隨后模型試件整體貫通形成沿裂隙面滑移的宏觀剪切破壞，其整體破壞為X 型破壞模式。

2.2 裂紋擴展的力學和聲學解釋

繪制了裂隙傾角0°、30°、45°、60°、90°的應力-應變曲線和聲發射數-步數曲線，不同裂隙傾角的應力-應變曲線、聲發射數-步數和分形維數-步數曲線如圖5。

圖5 不同裂隙傾角的應力-應變曲線、聲發射數-步數和分形維數-步數曲線Fig.5 Stress-strain curves,AE numbers-step curves and fractal dimensions-step curves of different fracture inclination angles

不同裂隙傾角的應力-應變曲線大致可分為3個階段：彈性階段（I）、彈塑性階段（II）和脆性破壞階段（III）。在前期的彈性階段（I），單軸壓縮下裂隙會受到擠壓而發生變形，隨著上下界面的相對移動，裂隙空間逐漸被擠壓，由于裂隙空間較小且擠壓速度較快，巖石破壞釋放的能量也較少，因此記錄釋放能量多少的聲發射數也會較低；繼續加載，釋放聲發射數開始出現第1 個峰值，說明在復合巖層的局部位置發生破壞，在應力集中的位置開始萌生裂紋，并逐漸沿著最大主應力方向擴展，巖層進入塑性破壞階段（II）；本次模擬試驗除了外邊界，還存在圓形內部邊界，當裂紋擴展到一定程度會開始集中向邊界延伸，擴展到圓形內部邊界和外邊界時，模型試件發生瞬時破壞并釋放很高的能量，應力-應變曲線在峰值后會發生1～3 段驟降，而聲發射曲線會驟升達到1～3 個峰值且與應力-應變曲線對應，該階段破壞較快且巖層破壞程度大，可將此過程看做脆性破壞階段（III）。值得注意的是應力-應變曲線在峰值后又出現多個小峰值，這表明1 條預制裂隙與內邊界或外邊界貫通后的復合巖層還有一定的強度，其他裂隙又相繼開裂并擴展到邊界以致貫通整個模型試件。應力-應變曲線取得峰值后開始陡降時，聲發射曲線剛好開始驟升，這是由于模型試件破壞失穩會快速釋放能量使得聲發射數快速增加，在聲發射數-步數曲線中表現為多個峰值。

2.3 裂紋擴展的分形特性

RFPA2D運算可得到裂紋圖像，然后對圖片進行尺寸處理排除尺寸效應，并進行灰度處理和二值化。在Matlab 的編碼過程中，將圖像的顏色閾值調整到0.1，使得裂紋部分全部為黑色，其他部分全部為白色。裂紋擴展的灰度圖像和二值化圖像如圖6。

圖6 裂紋擴展的灰度圖像和二值化圖像Fig.6 Gray image and binarized image of crack propagation

盒維數法[15]是利用長度為δi的正方形網格覆蓋裂紋圖像，得到所需網格數分別為Ni。不斷地改變盒子的尺寸得到多組網格數，分形維數與網格數之間的關系為：

式中：Ni、Ni+1為長度為δi、δi+1的網格數；δi、δi+1為網格的長度；D為分形維數。

通過Matlab 擬合得到了不同裂隙傾角和復合巖層傾角對應的雙對數曲線，相關度R2均大于0.85，說明含孔多裂隙復合巖層在單軸壓縮下得到的裂紋具有分形特征。擬合出的lgN（δ）-lgδ雙對數曲線如圖7。

圖7 lgN（δ）-lgδ 雙對數曲線Fig.7 lgN（δ）-lgδ logarithmic curve

分形維數為擬合直線斜率的負值：

通過式（1）和式（2）計算得到不同裂隙傾角試件裂紋的分形維數-步數曲線，分形維數在整體上隨步數的增加而增加，但曲線也會存在多個峰值點，最終范圍在1.2～1.4 之間。對比聲發射數-步數曲線，發現分形維數曲線中的峰值點總會在聲發射曲線峰值點之前，這是由于分形維數會受到盒子尺寸的限制，當裂紋開口較大時，盒子數不會發生變化，分形維數達到峰值，但是裂紋會繼續開裂并導致巖層破壞以聲發射形式釋放能量，所以分形維數對巖層破壞有一定的表征作用。

圖4 中模型試件彈性階段中裂紋出現較少且D趨近于0；初期裂紋會從孔洞最高點和最低點起裂沿著最大主應力方向擴展近似形成1 條近似直線裂紋，α=0°、60°、90°時的初期裂紋分別對應在圖5（a）中7～14 步、圖5（b）中12～17 步、圖5（c）中10～16 步，而在這3 個階段中的D在1 附近；在巖層脆性破壞階段，裂紋會演變出次生裂紋，裂紋擴展路徑變得越來越復雜，而D也會相應地變大，該結果與彭瑞東等[16]的結論一致。

2.4 巖層傾角（β）對含孔復合巖層的影響

不同巖層傾角下復合巖層破壞模式和聲發射圖如圖8。

圖8 不同巖層傾角下復合巖層破壞模式和聲發射圖Fig.8 Failure model and AE diagrams of composite strata with different dip angles

α=0°不變，改變β=0°、30°、45°、60°、90°，根據裂紋的開裂形式和擴展位置將破壞模式分為2 類：穿切軟巖破壞模式（圖8（a）、圖8（b）、圖8（c））和沿軟巖破壞模式（圖8（d）、圖8（e））。

1）當β=0°、30°、45°時，加載初期拉伸裂紋從孔洞的最高和最低點開始沿著最大主應力方向分別向上或向下擴展直至孔洞上下兩預制裂隙處；然后對角線處的裂隙兩端開始萌生拉伸裂紋和遠場裂紋，拉伸裂紋穿過巖層擴展，而遠場裂紋沿著軟巖層A 擴展；隨著加載步數的增加，裂紋在軟硬巖層之間穿插，最終導致模型試件整體失穩。

2）當β=60°、90°時，拉伸裂紋從圓孔最高和最低點處開裂并沿著軟巖層不斷擴展，在拉伸裂紋接近模型邊界時，對角線處裂隙開始沿著軟巖層A 產生裂紋并沿著該巖層不斷擴展；與此同時，其他軟巖層內開始出現遠場裂紋；部分拉伸裂紋沿著軟巖層臨近邊界衍生出剪切裂紋，裂紋與邊界貫通，模型試件發生失穩破壞。

3 α 和β 對峰值抗壓強度的影響

改變α和β得到多種不同的模型試件，然后根據應力-應變曲線得到峰值抗壓強度（σ），不同α和β模型試件的抗壓強度如圖9。

圖9 不同α 和β 模型試件的抗壓強度Fig.9 Compressive strength of specimens with different α and β models

α=0°、30°、45°、60°時的σ變化趨勢相同，均為先增大后減小再增大；β=15°時σ取得最大值，最小值在β=60°取得（α=0°時最小值在β=75°），該結論與文獻[17]的研究結果一致；α=90°時σ隨著β的變化先減小再增大，并在β=60°時取得最小值；β＜60°時，α=0°的σ比其他α對應的σ都大；所有模型試件的σ最大值在α=0°、β=15°時取得，最小值在α=30°、β=60°時取得；β=0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°時，σ隨著α改變漲幅分別為33.3%、52.3%、37.6%、31.9%、65.6%、44%、29.4%；α=0°、30°、45°、60°時，σ隨著β改變漲幅最大為186%、最小為91.8%。因此，巖層傾角對含孔洞復合巖層的抗壓強度影響更大。

4 分形維數量化分析

不同α、β模型試件裂紋的分形維數見表2。

表2 不同α、β 模型試件裂紋的分形維數Table 2 Fractal dimension of cracks in specimens with different α and β models

由表2 可知：分形維數值的變化范圍為1.10～1.85，符合彭瑞東等[16]的結論；當α=0°時分形維數的變化不是很明顯，增幅最大為13.4%；當α=30°、45°、60°、90°時，分形維數的增幅均超過35%，隨著β的變化分形維數先增大后減小再增大，其變化規律與抗壓強度相似。

當α=30°、45°、60°時，將不同的β模型試件對應的D和σ模擬試驗點繪制在圖中并擬合（圖略），發現擬合直線的相關度R2均大于85%，所以它們具有高度的線性關系。σ會隨著D的增加而增大，這是由于強度越高的巖層在受壓破壞時會釋放越多能量，其中一部分能量會以裂紋的形式釋放，且耗散能量與分形維數呈正比[18]，那么裂紋的數量增多且路徑越來復雜，就會導致D相應地增加。將模擬試驗點擬合與文獻[14]中物理試驗點擬合得到的公式進行對比，發現模擬試驗和物理試驗中σ與D均呈正比例關系，擬合直線的變化率差別為8.4%～9.57%，證明了模擬結果的有效性。

5 結語

通過RFPA2D數值試驗研究了在單軸壓縮下含孔多裂隙復合巖層的破壞模式和裂紋擴展機制，并運用分形理論量化了裂紋的分形特征。

1）巖層傾角為0°時，改變裂隙傾角可將含孔復合巖層破壞模式分為2 類：X 型破壞模式和Y型破壞模式。不同裂隙傾角的巖層模型對應的應力-應變曲線出現陡降時，聲發射數會相應地驟增，聲發射曲線可以很好地解釋巖石破壞過程中的能量變化。聲發射曲線峰值大多出現在分形維數曲線峰值之后，說明分形維數對復合巖層破壞有一定的表征作用。

2）裂隙傾角為0°時，改變巖層傾角對應含孔復合巖層的破壞模式可分為2 類：穿切軟巖破壞模式和沿軟巖破壞模式。由應力-應變曲線可知：β=0°～90°，抗壓強度的漲幅范圍為91.8%～186%；α=0°～90°，抗壓強度的漲幅范圍為29.4%～65.6%。因此巖層傾角對含孔洞復合巖層的破壞影響更大。

3）α=30°、45°、60°時，模型試件裂紋的分形維數與抗壓強度隨著巖層傾角的變化規律一致，將試驗點擬合發現D與σ存在較強的正相關關系（R2＞0.85），擬合得到的關系式分別為σ=18.81D-14.9（R2=0.932）、σ=15.58D-9.82（R2=0.884 8）、σ=15.77D-7.04（R2=0.851 8）。