橫向沙丘表面與上方矩形截面柱復合電磁散射的FDTD 研究

楊能勛，任新成，王玉清，朱小敏，董子宇

（延安大學 物理與電子信息學院，陜西 延安 716000）

0 引言

大地與海洋環境的背景與目標復合電磁散射理論在地、海目標探測及民用遙感等領域有廣泛的運用[1-5]，如地表、海面環境上方靜止或運動目標的監測，半埋土壤中的目標或漂浮在海面上目標的識別，海面下方或者埋藏地表以下的目標的探測，導彈的制導與攔截等。因此，國內外學者對粗糙面與目標的復合電磁散射以不同的方法做了不同程度的研究。

在以往對于粗糙面與目標的復合電磁散射的研究，大多體現在海面與艦船等目標的復合電磁散射[6-7]，而地面環境與目標的復合散射則相對較少，并且這其中大多數都是以研究土壤、草地、雪地、煤層、道路等環境或者隨機粗糙面與上方或下方目標的復合電磁散射特性為主[8-11]，例如文獻[12]采用有限元-邊界積分方法研究了介質粗糙面上方涂覆目標的復合電磁散射特性；文獻[13]結合VRT 和SBR-PO 方法計算含草地粗糙面與上方導彈目標的復合散射；文獻[14]將時域有限元法（TDFEM）擴展到研究粗糙表面以上多個目標的二維瞬態電磁散射。而對于沙漠或者沙丘等風沙環境的研究則相對較少[15-16]，但是由于目前沙漠化進程加快，沙漠環境并不少見，而沙漠中最為常見的自然地貌又是沙丘，橫向沙丘又是沙丘中最為常見的一種，因此有必要對橫向沙丘進行一系列的研究，并且對橫向沙丘表面與其上方目標的復合電磁散射的研究可為沙漠或者沙丘等風沙環境中目標的探測與識別提供一定的理論基礎。

本文采用高斯型和指數型分布來模擬橫向沙丘表面的高度起伏，運用蒙特卡羅方法模擬沙丘，選取Herkelrath 提出的通用式計算沙土的介電常數[5]，采用FDTD 數值計算方法計算橫向沙丘表面與上方目標的復合電磁散射。

1 散射模型的建立

圖1 為沙漠橫向沙丘表面與其上方矩形截面目標的復合電磁散射示意圖。沙土表面上方的區域為自由空間，沙土表面下方區域為無限延伸的各向同性均勻土壤介質。圖2 為橫向沙丘表面與上方矩形截面目標復合電磁散射計算的FDTD 模型示意圖。圖2 中的AB為連接邊界，AB邊界以下為總場區，上方為散射場區，在散射場區設置厚度為10 個網格大小的輸出邊界CD和UPML 吸收邊界（在FDTD 計算區域外部）。

圖1 沙漠橫向沙丘表面與其上方目標復合電磁散射示意圖

圖2 沙漠橫向沙丘表面與其上方目標復合電磁散射的FDTD 計算模型

為描述土壤介電常數與含水量的關系，學者們已經提出了多種關系模型，而目前運用較多的有Wang 半經驗模型、Dobson 半經驗模型、Topp 經驗模型等。本文運用文獻[17]根據土壤含水量在一定范圍內時，給出的含水量與介電常數的平方根呈線性相關關系的通用式，再結合國內其他學者的相關深入研究得出的相關數據[18]，最后計算得到沙土的介電常數。

2 FDTD 方法

根據FDTD 數值計算方法理論，電磁場的二維問題TM 波差分方程可表示為：

式中：m為方程左邊場分量FDTD 網格節點位置；Δx、Δy為網格的x、y方向的寬度；CA(m)、CB(m)、CP(m)、CQ(m)為系數，可通過計算得到。

吸收邊界采用各向異性介質完全匹配層（UPML）來實現。以TM 波為例，此介質Maxwell 旋度方程可表示為：

式中：sx和sy為x、y方向上的單軸參數，，κx和σx可以表示為：

式中：一般m取4 為最佳；κmax取值范圍[19]為5～11。

FDTD 數值計算達到穩定后，記錄輸出邊界上近場計算的數據結果，根據等效原理，利用時諧場外推法可以得到遠區散射場的值。通過計算可得到歸一化雷達散射截面（NRCS）為：

由歸一化雷達散射截面計算得出散射系數：

3 計算結果與分析

本節采用FDTD 方法計算沙漠橫向沙丘表面與其上方矩形截面目標的復合電磁散射特性。在進行計算時，入射波頻率f=2.4 GHz，橫向沙丘的個數選取為8個，橫向沙丘的高度取h=6λ，計算區域的長度L=320λ，網格劃分大小dx=0.05λ，相關長度為l=3λ，粗糙表面的高度起伏均方根δ=0.15λ，背風坡坡底到坡頂的水平距離為cd=9.6λ，迎風坡坡底到坡頂的水平距離為ab=20λ，目標為單個矩形截面，位于整個橫向沙丘模型中心的正上方，目標中心到粗糙表面的垂直距離oh=8λ，目標的長度為ab=3λ，目標的寬度為bc=2λ，入射角角度為θi=20°。

3.1 高度起伏均方根對散射系數的影響

圖3 表示了沙丘高度起伏均方根的變化對散射系數的影響，其中圖3a）為指數型分布粗糙面，圖3b）為高斯型分布粗糙面。由圖3 分析可得出，δ=0.05λ時的散射系數的曲線相較于δ=0.15λ和δ=0.3λ具有較大的起伏，在大部分范圍粗糙面高度起伏均方根越大，散射系數就越大，在小范圍內影響較為復雜。對比圖3a）和圖3b）發現，曲線在θs=68°小范圍內高斯型粗糙面比指數型粗糙面起伏程度更為明顯；在θs＜-50°范圍內圖3b）比圖3a）上升更快；并且當δ=0.15λ時，在θs＜-45°范圍內圖3a）比圖3b）起伏程度更為明顯，而在其他范圍內無明顯不同。

圖3 沙丘高度起伏均方根對散射系數的影響

3.2 入射角度對散射系數的影響

圖4 計算了入射波角度分別為θi=10°，θi=20°和θi=40°時的散射系數的角分布曲線。

圖4 入射波角度對散射系數的影響

對比圖4a）和圖4b）分析可知，無論是指數型粗糙面還是高斯型粗糙面的散射系數都在θs＜-30°范圍內隨入射角的增大而減小，并且都在與入射角相對應的散射角處取得最大值；對于入射角為θi=20°的情況，圖4b）中鏡像處的最大值比圖4a）中鏡像處的最大值要小一些；當θi=10°時，圖4b）中大散射角范圍內曲線的起伏程度比圖4a）中的更大；在θs＜-30°范圍內，圖4b）的散射系數要小于圖4a），入射角度越大，差值就越明顯，并且圖4a）中曲線起伏程度較圖4b）中更明顯（下同，不再贅述）。

3.3 目標長度對散射系數的影響

圖5 為目標長度對散射系數的影響，目標長度分別為ab=10λ，ab=20λ和ab=40λ。從圖5a）可以看出，在-50° ＜θs＜15°和θs＞75°范圍內，散射系數隨目標長度的增大而減小，但是在鏡像方向影響則較為復雜，無明顯規律，而其他范圍則基本無影響。對于圖5b），當-85° ＜θs＜-60°時和在θs=20°小范圍內時，散射系數隨目標長度的增大而增大，除了當-65° ＜θs＜-32°無明顯影響外，其他大部分區域都是散射系數隨目標長度的增大而減小。

圖5 目標長度對散射系數的影響

3.4 目標寬度對散射系數的影響

圖6 為改變目標寬度時散射系數的角分布曲線，目標寬度分別為bc=2λ，bc=4λ和bc=6λ。對比圖6a）和圖6b）發現，無論是指數型粗糙面還是高斯型粗糙面，在鏡像處目標寬度越大，散射系數越大，而目標寬度的變化對散射系數的影響不大。但是在θs=65°小范圍內，圖6b）中的散射系數相比圖6a）明顯取得一個峰值且值更大；當θs＞20°時，圖6b）中的三條曲線的起伏程度也比圖6a）中的三條曲線更明顯。

圖6 目標寬度對散射系數的影響

3.5 目標高度對散射系數的影響

圖7 為目標高度的變化對散射系數的影響，其中目標高度的定義為目標中心到粗糙面的距離（模型中為目標到橫向沙丘最低處的距離，如圖1 所示）。對比圖7a）和圖7b）發現，同樣是在θs=65°范圍內，圖7b）中計算得到的峰值要比圖7a）的大，且起伏程度也更明顯；當θs＜-60°時，目標高度越低，散射系數越小，只不過圖7b）比圖7a）更為明顯。但不管是指數型粗糙面還是高斯型粗糙面，散射系數都在鏡像方向隨目標高度的增高而增大。

圖7 目標高度對散射系數的影響

3.6 橫向沙丘高度對散射系數的影響

圖8 計算了不同高度的橫向沙丘與上方矩形截面目標的復合電磁散射特性，橫向沙丘高度分別為h=5.2λ，h=6λ和h=6.8λ。由圖8a）和圖8b）比較分析發現，θs＜-35°時，橫向沙丘高度越高，散射系數就越大；在鏡像處，圖8a）中計算得到的散射系數要比圖8b）中的大；當45° ＜θs，θs＜-70°時，高斯型粗糙面得到的曲線要比指數型粗糙面的更為復雜；在其他范圍內圖8a）和圖8b）中的散射系數基本不隨橫向沙丘高度的變化而變化。

圖8 橫向沙丘高度對散射系數的影響

3.7 橫向沙丘迎風坡坡底到坡頂的水平距離對散射系數的影響

圖9 為橫向沙丘迎風坡坡底到坡頂的水平距離（以下簡稱：平距）的變化對散射系數的影響，分別取lws=20λ，lws=24λ和lws=28λ進行計算。

圖9 橫向沙丘迎風坡坡底到坡頂的平距對散射系數的影響

對比圖9a）和圖9b）發現，無論是指數型粗糙面還是高斯型粗糙面，散射系數都在鏡像處取得最大值，且圖9a）中的峰值比圖9b）中的更大。而圖9a）和圖9b）兩者的散射系數都在θs＜-30°范圍內隨橫向沙丘平距的增大而減小；當-30° ＜θs＜0°時，橫向沙丘的平距越小，散射系數就越小；在25° ＜θs＜45°范圍內，散射系數同樣隨橫向沙丘平距的增大而減小。

4 結論

本文運用FDTD 方法研究了橫向沙丘表面與上方矩形截面目標的散射系數隨橫向沙丘高度起伏均方根、入射波的角度、目標的長寬高尺度、橫向沙丘的高度和迎風坡坡底到坡頂的水平距離的變化規律。采用的FDTD 方法與其他計算方法相比更具應用性，可以計算各類形狀大小的目標或者粗糙面，并且相較于一些近似方法可以很好地將粗糙面與目標相結合進行分析計算，從而得到散射系數，節約大量的內存空間。本文在理論上是對單純粗糙面電磁散射研究的進一步推廣，由于加入了對目標的分析，因此本文也為生活或軍事上的一些實際情況提供了一定的理論基礎和研究價值，尤其是對沙漠地區中目標的探測。目前本文的討論僅限于一維橫向沙丘表面的情況，對于二維粗糙表面甚至是更復雜目標的情況還有待于今后進一步研究。

注：本文通訊作者為任新成。