靈活運用轉化思想，求解立體圖形中的最短距離問題

立體圖形中的最短距離問題是圖論中的一類經典算法問題.這類問題通常要求尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑.解答這類問題，往往要運用轉化思想，將立體圖形展開成平面圖形，將問題轉化為平面幾何問題，那么兩點間的最短距離就是連接兩點的直線段的長度，就可以直接利用平面幾何知識來求解.

一、圓柱中的最短距離問題

對于圓柱中的最短距離問題，需將曲面、側面展開到同一個平面內，運用轉化思想，將問題轉化為平面內兩點間的距離問題來求解.將所求的線段置于圓、三角形、平行四邊形中，即可利用勾股定理、正余弦定理、圓的性質、三角形的性質、平行四邊形的性質等來解題.

例1.如圖1，圓柱的底面半徑為[2π]cm，高為9cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為________cm.

解：將圓柱展開得到一個長方形，如圖2.將長方形平均分成3個小長方形，由圖可知，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B運動的最短路徑是：AC→CD→DB.

因為圓柱底面的半徑為[2π]cm，

所以長方形的長即圓柱體的底面周長：[2π×2π=4cm]；

又圓柱高為9cm，所以三個小長方形的寬是3cm；

由勾股定理求得：AC=CD=DB=5cm；

所以AC+CD+DB=15cm.

我們很難直接根據圖形找到圓柱上A點到B點的最短路徑.于是將圓柱展開，運用轉化思想，把問題轉化為平面幾何問題，便可結合圖形快速找到A點到B點的最短路徑，最后利用勾股定理即可求得問題的答案.

二、長方體中的最短距離問題

求長方體中的最短距離，通常需靈活運用轉化思想.先將長方體的各個面沿著棱剪開，并將其平鋪到同一個平面內，這樣便能將問題轉化為平面內兩點間的距離問題.然后利用三角形、平行四邊形的性質和相關定理來解題.

例2.如圖3，長方體紙盒子的長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm.一只老鼠從長方體紙盒子的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是" " " .

解：分三種情形.

第一種情況：將長方體的正面和上底面展開放在一個平面內，得到如圖4所示的長方形，則這個長方形的長和寬分別是9cm和4cm，則老鼠爬行的最短路徑的長是[92+42=97]cm.

第二種情況：將長方體的左側面和上底面展開放在一個平面內，得到如圖5所示的長方形，則這個長方形的長和寬分別是7cm和6cm，則老鼠爬行的最短路徑的長是[72+62=85]cm.

第三種情況：將長方體的正面和右側面展開放在一個平面內，得到如圖6所示的長方形，則這個長方形的長和寬分別是10cm和3cm，則老鼠爬行的最短路徑的長是[32+102=109]cm.

經比較可知，第二種情況中的路徑最短.所以老鼠爬行的最短路徑的長為[72+62=85]cm.

將長方體展開有三種情形，于是分三種情形分別討論展開后長方形的長、寬，再利用勾股定理來求線段的長.

總之，解答立體圖形中最短距離問題，關鍵是運用轉化思想，將立體圖形展開為平面圖形，以利用平面幾何知識來解題.在解題時，同學們需根據圖形的特征和解題的需求來展開圖形，以將問題簡化.