基坑工程局部凍結止水的穩態溫度場解析研究

洪澤群, 付碩任, 石榮劍, 張 勇, 陸 路, 孫 猛, 仇培云

(1. 中國礦業大學力學與土木工程學院, 江蘇 徐州 221116;2. 廣州地鐵建設管理有限公司, 廣東 廣州 510330)

0 引言

隨著城市化進程的不斷深入,基坑工程廣泛存在于城市地下工程中。然而,基坑開挖易引起內外水土壓力失衡,尤其在地下水位較高、承壓水頭較大的軟土地層中,地連墻、排樁等圍護結構一旦因施工質量不到位或變形過大而產生裂縫,就會出現基坑局部滲漏水問題[1-2],甚至演變為透水事故[3]。針對這一問題,Tan等[1]基于上海某基坑滲漏事故案例,提出在滲漏區內外側分別施作高壓旋噴樁和攪拌樁的方法加固地連墻,阻斷滲漏通道;趙云非等[3]根據滲水嚴重程度提出了先引后堵、高壓旋噴和袖閥管注漿的方法;任振東等[4]提出清除地連墻夾層、補澆高強混凝土的處理方法。除了以上工法,人工凍結法由于凍土帷幕封水效果顯著、承載力較好[5-7],同時兼具安全環保、適用性強以及支護結構靈活等優勢[8],也是處理基坑滲水事故和加固地層的重要工法之一[9]。在凍結法用于基坑工程局部封水時,不同于其他止水結構,凍土帷幕的許多關鍵性能指標如力學強度、承載力、厚度和平均溫度均由凍土帷幕溫度決定[10-11]。因此,研究凍結溫度場分布具有重要的工程價值。

土體凍結過程涉及非穩態導熱理論,但凍結后期熱傳導速率很低,因此,可以采用穩態溫度場等效瞬態溫度場[12]。Bronfenbrener等[13]利用上述方法求解半無限均質凍土體內管道周圍土體融化時,發現相變界面移動的速度隨時間減慢并且在一定時間后趨于停滯,從而印證了穩態方法的工程適用性?；诜€態熱傳導理論,前蘇聯學者Трупак[14]和Бахолдин[15]、美國學者Sanger等[16]以及日本學者戶部暢等[17]先后推導了排管凍結溫度場計算公式。國內學者胡向東等[18-20]參考水力學多井干擾的速度勢疊加理論,提出勢函數疊加計算法,得到了廣義排管和環形圈管凍結溫度場解析解。

然而,以上研究成果均以凍土在無限大區域內自由發展為前提,未考慮存在邊界限制的情況。針對基坑滲漏水問題,在采用凍結法進行局部封水時,輸送冷媒的凍結管往往布設于地連墻等圍護結構附近,凍土的形成和發展必然會受到既有結構的影響。若采用無限大模型求解此時的溫度場分布,將會產生很大的誤差。另外,凍結過程中常將保溫板鋪設于地連墻內表面,以抑制熱流的傳導,提升凍結管冷量的利用率,而此時的地連墻可視為絕熱邊界[21],目前也罕見相關研究報道。基于此,本文針對基坑陽角處布置3根凍結管的數學模型,采用鏡像法和熱勢疊加理論,嘗試推導其穩態溫度場解析解,以期為凍結設計與施工提供參考。

1 熱傳導的勢疊加理論

1.1 穩態導熱控制方程

根據傅立葉定律,在dt時間內,通過面積為dS的熱量表示為dQ,與時間dt、面積dS和溫度函數T(x,y,z,t)沿曲面法線方向的方向導數呈正比,可表示為:

(1)

式中:Q為熱量;k=k(x,y,z)為土壤的導熱系數;T=T(x,y,z,t)為溫度函數;n為曲面的法線方向;S為面積;t為時間。

根據熱力學第一定律,有:

(2)

利用高斯公式簡化上述方程并考慮二維穩態情況,可得:

(3)

1.2 勢疊加理論

“勢”表示一個量,這個量的梯度形成一個場[18],穩態導熱控制方程描述了穩態情況下溫度場的分布?，F引入一個函數Φ(x,y),將其定義為熱勢[18],表達式為Φ=kT。將該表達式代入式(3),得:

(4)

在凍結平面控制區域內,將每根凍結管管心視為一處熱源,其產生的熱流密度為qc。由于qc的存在,平面控制區域內任何一處熱源都會引起潛在溫度的降低或升高。若控制平面內存在許多上述熱源點,則這些點熱勢的降低或升高符合疊加規律。因此,當多根凍結管布置在同一控制平面內時,該平面內任意點的熱勢等于由每根凍結管管心熱源引起的該點的熱勢能疊加。

2 溫度場解析研究

2.1 凍結模型建立

在實際工程中,基坑陽角處易發生滲漏水及缺乏支護的問題,因此,選取此處布置3根凍結管進行局部凍結止水,周邊地連墻轉角進行壁面保溫,其凍結模型如圖1所示。以基坑陽角為原點建立平面直角坐標系,3根凍結管分別記為P1、P2和P3。凍結管P1布設于距離x軸和y軸分別為l和d處,凍結管P2布設于距離x軸和y軸分別為d和l處,凍結管P3布設于凍結管P1和P2坐標連線的中點,也位于y=x直線上。圖1中:r0為凍結管半徑(3根凍結管半徑相等);ξ為凍結管P1的中心沿y軸至凍土邊界的距離;凍結管P1、P2和P3管壁表面的溫度分別記為Tf1、Tf2和Tf3;凍土邊界上測點溫度記為T0。

2.2 模型鏡像處理

作為絕熱邊界,地連墻阻隔了兩側熱量的交換[22],因此,3管凍結的溫度場分布僅局限于第1象限內。由于邊界條件的限制,直接求解該模型顯然存在困難。本文采用鏡像法,以絕熱邊界為鏡面,將第1象限內3根凍結管經y軸鏡像到第2象限,再將鏡像后的6根凍結管經x軸鏡像到第3象限和第4象限,鏡像后的鏡像管與初始凍結管大小相等、形狀相同,且管壁溫度一致。

經過2次鏡像后的模型變為求解無限大平面內12管凍結溫度場分布的問題(如圖2所示),同時維持了x軸與y軸為絕熱邊界的性質。采用二維穩態導熱控制方程以及勢疊加理論可求解12管凍結模型的解析解,初始模型所要求解的溫度場分布等效于12管凍結模型在第1象限內的溫度場分布。

圖2 鏡像后的凍結模型

2.3 求解鏡像模型

由于數學模型來自于實際問題,具有唯一解,凍土邊界的形成必定滿足熱傳導物理現象,即凍土邊界具有確定性,選取單一邊界控制點即可確定凍土邊界的形狀[23]。在凍土邊界上取1個特征點F0(l,d+ξ)。根據勢疊加理論,模型溫度場中任意點M(x,y)的熱勢由3根凍結管和9根鏡像管產生的熱勢疊加而成,可表示為:

(5)

式中:Φ為任意點M的熱勢;C1、C2、C3和C為與熱流密度有關的待定系數;r1、r2、r3和r4分別為任意點M到凍結管P1和其鏡像管J1、J2和J3的距離;r5、r6、r7和r8分別為任意點M到凍結管P2和其鏡像管J4、J5和J6的距離;r9、r10、r11和r12分別為任意點M到凍結管P3和其鏡像管J7、J8和J9的距離,可表示為:

其中,任意點M的坐標(x,y)滿足位于第1象限的正負號條件:x>0,y>0。

取凍土邊界特征點F0(l,d+ξ)代入式(5),可得到該點的熱勢:

Φ0=C1lnA1+C2lnB1+C3lnR1+C。

(6)

式中:

Φf1=C1lnA2′+C2lnB2′+C3lnS1′+C。

(7)

Φf2=C1lnA2″+C2lnB2″+C3lnS1″+C。

(8)

Φf3=C1lnA2?+C2lnB2?+C3lnS1?+C。

(9)

式(7)—(9)中:

Φf1=C1lnA2+C2lnB2+C3lnS1+C。

(10)

Φf2=C1lnB2+C2lnA2+C3lnS1+C。

(11)

(12)

式(10)—(12)中:

B2=2(d+l)(d-l)[(d+l)2+(d-l)2];

在現場工程與室內試驗中,凍結區域內鄰近凍結管的管壁溫度幾乎一致[24-25],故可將模型中凍結管管壁表面溫度假定為一致,統一記為Tf,即Tf1=Tf2=Tf3=Tf,那么3根凍結管的熱勢也相等,統一記為Φf,即Φf1=Φf2=Φf3=Φf。在此基礎上,設3根凍結管熱流密度之間的關系為qc1=αqc2=βqc3,即C1=αC2=βC3,α、β為熱流密度系數。

考慮到Φf1=Φf2=Φf3=Φf與C1=αC2=βC3的關系,聯立式(10)、式(11)與式(12),可得到:

任意點M(x,y)的熱勢可表示為:

(13)

將Φ=kT,Φ0=kT0,Φf=kTf代入式(13),得:

(14)

式(14)即為12管凍結穩態溫度場解析式。通過該解析式即可求解凍結壁在穩態條件下的二維溫度場分布,基坑陽角處3管凍結模型的溫度場解析解即為上述溫度函數在第1象限內的表達式。

需要注意的是,在實際工程中凍土邊界的位置并不能預先獲得,因此,凍土厚度ξ是作為未知條件存在的,反映在式(14)中的參數A1、B1和R1為未知。也正因如此,實際工程中當通過現場監測手段獲得坐標(x1,y1)處測溫孔溫度為T1時,即可結合式(14)通過式(15)反解出凍土厚度ξ。

T1=T(x1,y1,ξ)。

(15)

獲得凍土厚度ξ后,整個凍結壁內的溫度場分布即可由式(14)唯一確定,基于此溫度分布即可計算凍結壁平均溫度指標。

3 解析解的數值驗證

針對基坑工程局部凍結止水而產生的凍結壁非對稱發展的問題,提出熱勢疊加結合鏡像對稱的求解方法,推導直角絕熱邊界3管凍結穩態溫度場解析表達式。在推導表達式的過程中,提出了一些假定,如采用凍結管表面溫度替代凍結管中心溫度等,這些假定會使得推導的解析表達式與實際工程中的溫度場分布存在一定誤差。對于穩態熱傳導問題,通過建立精確的計算模型,數值解可以準確地表達溫度場分布,因此,本文得到的解析解可通過數值計算檢驗。

3.1 數值模型建立

采用有限元軟件COMSOL Multiphysics對凍結模型進行數值計算,通過對比數值解與解析解,驗證解析表達式的準確性及適用性。數值模型為半徑為50 m、圓心角為90°的扇形,圓弧的熱邊界條件設為熱絕緣,兩半徑的熱邊界條件設為傳熱系數為0的絕熱邊界。經試算,該尺寸能夠滿足計算結果對模型邊界條件影響的要求。

凍結模型的網格劃分如圖3所示。為提升計算精度,在凍結管附近將網格極細化處理。凍結參數的選取依據常用工程參數: 凍結管內徑取為0.108 m,凍結管管壁溫度取為-30 ℃,土體初始溫度取為20 ℃,凍結壁輪廓線上溫度取為0 ℃。凍結管中心至兩邊界的距離l和d分別取為0.4 m和1.2 m。土的熱物理性質如表1所示。在凍結達到穩定狀態,即溫度場幾乎不隨時間的變化而改變時,對此時的溫度場進行分析,如圖4所示。

圖3 凍結模型的網格劃分

表1 土的熱物理性質

3.2 準確性驗證

將數值模擬選取的參數依次代入式(14)中,求得該模型的穩態溫度場理論解。為檢驗解析表達式的準確性,對比分析凍結模型軸面、主面及界面3類特征面上的數值解與解析解的溫度曲線。其中: 軸面表示過3根凍結管中心的截面;主面表示過凍結管中心且與軸面正交的截面;將過凍結管P1、P3的中心且正交于軸面的截面分別稱為主面1和主面2;將過凍結管P1與P3連線的中線的截面稱為界面。軸面、主面和界面示意圖如圖5所示。

圖4 溫度場分布(單位: ℃)

圖5 軸面、主面和界面示意圖

為排除選取的特征面存在數值上的偶然性,再取縱橫向的6個截面:y=0.2 m,x=0.4 m,y=0.6 m,x=0.8 m,y=1.0 m和x=1.2 m,分別記為L1、L2、L3、L4、L5和L6,如圖6所示。將各特征面及截面上數值解與解析解表達式對應的溫度曲線進行比較,如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可以看出,特征面及縱橫截面上的數值解與解析解的溫度曲線能夠很好地重合。將同一坐標點處溫度函數的解析解與數值解之差的絕對值定義為溫度誤差,上述截面溫度誤差均在0.3 ℃以內,在工程計算誤差允許的范圍。由此看來,在溫度場分布近似達到穩定狀態時,推導的解析表達式能夠很好地反映溫度場的分布規律,解析解具有較高的精度。

圖6 截面L1—L6示意圖

(a) 軸面溫度曲線

(b) 主面溫度曲線

(c) 界面溫度曲線

(a) L1、L2溫度曲線

(b) L3、L4溫度曲線

(c) L5、L6溫度曲線

結合圖5和圖7可以看出: 在軸面與兩絕熱邊界圍成的直角三角形區域S1內(如圖9所示),主面的溫度曲線隨x的增大緩慢上升,在軸面附近時達到曲線峰值,峰值溫度為-30 ℃(主面1、主面2的曲線峰值分別在x=0.4 m和x=0.8 m左右),越過軸面后隨著x的增大,溫度曲線急劇下降;界面的溫度維持在-28.4 ℃左右,當界面溫度曲線越過軸面后呈現急劇下降的趨勢,溫度從-28.4 ℃急劇升高。以上現象說明絕熱邊界限制了冷量的耗散,有利于直角三角形區域S1內土體的降溫。相比于軸面左側S1內凍土的溫度,軸面右側對稱位置S2的凍土溫度明顯更高,更容易產生凍結薄弱區域。因此,在基坑陽角附近布置凍結管時,應考慮絕熱邊界對降溫的積極效果,優化凍結管與絕熱邊界的位置關系,對凍結薄弱區域內的凍土加強凍結。

圖9 S1和S2計算區域位置示意圖

觀察圖8(b)和圖8(c)中L3和L5的溫度曲線可以看到,L3在x=0.8 m附近、L5在x=0.2 m附近對應的溫度曲線有下凹的現象;而圖8(a)中L1的溫度曲線在x=1.2 m附近的下凹現象并不明顯,這是由于L1截面附近僅存在1根凍結管和絕熱邊界,而L3與L5截面附近同時存在2根凍結管。由此可以看出,雖然絕熱邊界的存在會對附近凍土降溫產生積極的影響,但其影響效果遜色于直接在L1截面附近增加1根凍結管。

3.3 適用性驗證

土的凍結過程涉及凍結鋒面的移動等非穩態問題,Bronfenbrener等[13]印證了準穩態方法的工程適用性,但印證的模型基于邊界不受限制的條件。本文提出的模型考慮了2個絕熱邊界的影響,建立在穩態假設的基礎之上,于第3.2節驗證了在近似穩態情況下解析表達式的準確性。本節通過凍結第10天、第50天和第100天,分別考察同一坐標點的解析解與數值解的溫度誤差值(如圖10—12所示),對解析表達式的適用性進行驗證。

由圖10—12可知: 在凍結第10天,4個特征面上解析解與數值解的溫度曲線在凍結管附近重合度較高,溫度誤差值在0.3 ℃以內。特征面上的點距凍結管越遠,解析解與數值解的溫度曲線重合度越低,溫度誤差值越大。軸面的最大溫度誤差值為2.3 ℃,出現在x=0.6 m和x=1.0 m處;主面1的最大溫度誤差值為9.6 ℃,出現在x=0 m處;主面2的最大溫度誤差值為17.1 ℃,出現在x=0 m處;界面的最大溫度誤差值為15.0 ℃,出現在x=0 m處。原因為凍結第10天時,凍結壁厚度較薄,凍結鋒面尚未發展到絕熱邊界附近,絕熱邊界處的土體仍未轉變為凍土。上述現象間接反映了解析表達式對凍結初期的適用性較差。

(a) 第10天

(b) 第50天

(c) 第100天

(a) 第10天

(b) 第50天

(c) 第100天

(a) 第10天

(b) 第50天

(c) 第100天

在凍結第50天,無論溫度函數是否處于凍結管附近,4個特征面上解析解與數值解的溫度曲線重合度均較高,溫度誤差值在0.9 ℃以內。在凍結第100天,4個特征面上解析解與數值解的溫度曲線重合度很高,溫度誤差值在0.3 ℃以內?？梢?隨著凍結天數的逐漸增加,溫度誤差值逐漸減小,解析表達式對凍結溫度場的刻畫逐漸準確。

在圖12中取參考線x=0.2 m,圖12(a)中參考線在解析解和數值解溫度曲線上的交點縱坐標分別為-25.9 ℃和-14 ℃,圖12(b)中參考線在解析解和數值解溫度曲線上的交點縱坐標分別為-27.7 ℃和-27.0 ℃,圖12(c)中參考線在解析解和數值解溫度曲線上的交點縱坐標分別為-27.7 ℃和-27.5 ℃?？梢钥吹?隨著凍結天數的逐漸增加,凍土的降溫速率逐漸降低,凍結模型由非穩態逐漸趨近準穩態,溫度誤差值由第10天的11.9 ℃降低到第50天的0.7 ℃,再降低到第100天的0.2 ℃,即在凍結中后期(50 d之后),解析表達式的適用性得到很好的驗證。

4 結論與討論

本文基于局部凍結修復基坑中出現滲漏水的工況,指出凍結產生的凍土非對稱發展問題,建立邊界條件作用下的3管凍結模型,求解并通過數值模擬驗證解析表達式,得出以下結論。

1)通過對比選取的軸面、主面和界面3類特征面以及L1、L2、L3、L4、L5和L66個縱橫截面上的數值解與解析解的溫度曲線,發現數值解與解析解的溫度曲線能夠很好地重合。特征面及截面的溫度誤差值均在0.3 ℃以內,表明在溫度場分布近似達到穩定狀態時,解析表達式能夠很好地反映溫度場的分布規律。

2)隨著凍結天數的增加,溫度誤差值不斷減小,凍結模型由非穩態逐漸趨近準穩態,解析表達式對凍結溫度場的刻畫逐漸適用和精確。在凍結初期(第10天),3類特征面上的最大溫度誤差值為17.1 ℃;在凍結中期(第50天),3類特征面上解析解與數值解的溫度曲線重合度均較高,溫度誤差值在0.9 ℃以內;在凍結后期(第100天),3類特征面上解析解與數值解的溫度曲線重合度很高,溫度誤差值在0.3 ℃以內。

3)在修復基坑滲漏水問題時,內表面鋪設保溫板等保溫材料的地連墻可視為絕熱邊界,其存在限制了冷量的耗散,有利于與凍結管軸面之間的直角三角形區域S1內土體的降溫。

4)相比于凍結管軸面左側的凍土溫度,軸面右側對稱位置的凍土溫度明顯更高(最大溫差達17 ℃),更容易成為凍結薄弱區域。實際工程中,在基坑陽角附近布置凍結管時,應考慮絕熱邊界對降溫的積極效果,優化凍結管與絕熱邊界的位置關系,從而降低薄弱區域的凍土溫度。

本文僅考慮了地連墻轉角接縫處的滲漏水問題,而在實際工程中基坑其他接縫位置也存在滲漏水的可能,因此,溫度場解析表達式如何應用到各種邊界形狀需要進一步研究和討論。另外,當采用旋噴樁等與地連墻形成組合結構時,如何調整溫度場解析表達式以實現對組合結構的適用性,也需進一步探究。