改進(jìn)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器下永磁同步電動機(jī)滑模控制

楊羽萌, 朱其新,2

(1.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;2.蘇州市共融機(jī)器人技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 蘇州 215009)

0 引 言

PMSM因體積小,功率密度大以及轉(zhuǎn)矩控制性能優(yōu)越等優(yōu)點(diǎn),常用于高性能的伺服和調(diào)速系統(tǒng),如航空航天、電動汽車、工業(yè)設(shè)施等諸多領(lǐng)域[1]。在PMSM控制系統(tǒng)中,經(jīng)典的比例積分控制技術(shù)因其實(shí)現(xiàn)簡單而仍然受到歡迎[2]。然而,在實(shí)際的PMSM系統(tǒng)中,存在大量的干擾和不確定性,這些干擾和不確定性可能來自內(nèi)部或外部,例如未建模的動力學(xué)、參數(shù)變化、摩擦力和負(fù)載干擾[3]。若僅使用簡單的PI控制器,這些擾動以及不確定就很難被迅速抑制[4]。

因此,為了提高具有不同擾動和不確定性系統(tǒng)的控制性能,國內(nèi)外學(xué)者采用了許多非線性控制方法,如SMC[5-6]、自適應(yīng)控制[7]、模糊控制[8]、自抗擾控制[9-10]、智能控制[11-12]等。在這些現(xiàn)有的非線性控制算法中,SMC算法的特點(diǎn)是當(dāng)內(nèi)部的參數(shù)發(fā)生變化或者在外部有擾動的情況下,SMC依然有較好的魯棒性,在參數(shù)或模型不確定時也保證系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。因此,SMC被成功地應(yīng)用于工業(yè)自動化、醫(yī)療設(shè)備、汽車控制等眾多領(lǐng)域[13-14]。文獻(xiàn)[15]在傳統(tǒng)SMC的基礎(chǔ)上,利用開關(guān)函數(shù)的斜率誤差產(chǎn)生顯著性效應(yīng)來確定轉(zhuǎn)子的位置和速度,提出了一種可以在不注入高頻信號的情況下精確地觀測轉(zhuǎn)子低速(包括靜止?fàn)顟B(tài))的角度新的無傳感器方案。文獻(xiàn)[16]在三相PMSM控制系統(tǒng)中的驅(qū)動開路故障中,采用三相四開關(guān)容錯拓?fù)潋?qū)動,保證故障發(fā)生后繼續(xù)運(yùn)行。為了提高故障后系統(tǒng)的魯棒性和動態(tài)性能,提出了一種非奇異終端SMC方案。

SMC是一種用于抗擾動的控制方法,它的主要目標(biāo)是將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)到一個特定的滑模面上,然后在這個滑模面上保持系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定。這個滑模面通常是一個確定的超平面,系統(tǒng)狀態(tài)在這個超平面上具有一定的性質(zhì),例如系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的漂移速度為零。文獻(xiàn)[17]將自適應(yīng)控制與分?jǐn)?shù)階SMC相結(jié)合,抑制了整數(shù)階SMC的抖振現(xiàn)象,且能實(shí)時調(diào)整切換增益,提高了系統(tǒng)的控制精度同時提高了進(jìn)給系統(tǒng)的跟蹤性能和抗擾能力。文獻(xiàn)[18]將反演控制和SMC相結(jié)合設(shè)計(jì)了魯棒反演滑模位置伺服控制器,來解決PMSM伺服系統(tǒng)PI控制對轉(zhuǎn)矩干擾和大幅位置波動魯棒性差等問題。文獻(xiàn)[19] 設(shè)計(jì)了一種新型分?jǐn)?shù)階滑模轉(zhuǎn)速控制器.通過研究分?jǐn)?shù)階控制相關(guān)理論,與一般的指數(shù)趨近率函數(shù)相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種新型分?jǐn)?shù)階趨近率,并將傳統(tǒng)的符號函數(shù)取代為反正切三角函數(shù)。增強(qiáng)電機(jī)抗干擾能力和系統(tǒng)穩(wěn)定性,且魯棒性更好。

雖然SMC本身就是一種魯棒性較好的控制方法,但當(dāng)有外部擾動和系統(tǒng)不確定性時,仍然可能對系統(tǒng)性能造成影響。通過在SMC中引入ESO,可以更準(zhǔn)確地估計(jì)和抵消外部擾動、模型誤差和其他未知動態(tài)特性,從而進(jìn)一步提高系統(tǒng)的魯棒性。此外,SMC在滑動面上產(chǎn)生高頻振蕩,可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的精度降低。ESO可以減少這些振蕩的影響,使得控制器更加平滑,從而提高系統(tǒng)的控制精度。

因此,本文提出了一種基于新型趨近律的SMC,提高收斂速度。同時,利用ESO估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)并抵消外部擾動,且針對傳統(tǒng)fal函數(shù)易引起系統(tǒng)抖振和誤差較大時引起系統(tǒng)增益大的問題,提出了一種新的fal函數(shù),最后在Matlab/Simulink中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

假設(shè)電機(jī)為線性磁路,則忽略電機(jī)的渦流損耗、磁滯損耗、鐵芯飽和。轉(zhuǎn)子磁場和定子感應(yīng)電動勢為理想的三相正弦波,PMSM在d-q轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程[20]：

(1)

式中：Ud、Uq分別為d、q軸電壓;Rs為定子繞阻值;Ld、Lq為d、q軸上的電感量;id、iq分別為d、q軸電流;ωe為電角速度;ψf為永磁體轉(zhuǎn)子磁鏈。

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=3piq[id(Ld-Lq)+ψf]/2

(2)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩;p為電機(jī)極對數(shù)。

使用id=0控制,則有

Te=3pidψf/2

(3)

機(jī)械運(yùn)動方程為

(4)

式中：TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;B為阻尼系數(shù);ωm為電機(jī)角速度。

再選取PMSM的狀態(tài)量：

(5)

式中：ωref為給定轉(zhuǎn)速;ωn為實(shí)際轉(zhuǎn)速。

2 控制器設(shè)計(jì)

對于PMSM控制器的設(shè)計(jì),使用一階微分跟蹤器進(jìn)行跟蹤給定信號。SMC系統(tǒng)狀態(tài)的滑模面,通過控制系統(tǒng)狀態(tài)在滑動面上滑動,以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性、軌跡跟蹤、抑制抖振等控制目標(biāo)。同時再利用改進(jìn)的ESO估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)并抵消外部擾動。

2.1 滑模控制器的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的趨近律一般選擇等速趨近律、指數(shù)趨近律以及冪次趨近律。其在SMC中雖然具有一定的優(yōu)勢,但也存在一些缺點(diǎn)和局限性。以下是傳統(tǒng)趨近律的一些主要缺點(diǎn)。

1) 抖振問題。傳統(tǒng)趨近律在滑模面附近產(chǎn)生高頻振蕩,這會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。這種抖振可能會對系統(tǒng)的性能和壽命產(chǎn)生負(fù)面影響,并且在某些應(yīng)用中是不可接受的。

2) 控制信號過大。由于趨近律采用了飽和函數(shù),控制信號在滑模面附近可能會產(chǎn)生較大的幅值,這可能導(dǎo)致執(zhí)行器飽和或者過度響應(yīng),影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。

3) 高頻振蕩。在實(shí)際應(yīng)用中,由于傳統(tǒng)趨近律的高頻特性,控制器可能對噪聲和傳感器誤差敏感,這可能導(dǎo)致不穩(wěn)定或者不精確的控制效果。

因此,為了進(jìn)一步削弱抖振,本文提出了一種新型趨近律：

(6)

新型趨近律中,使用tanh函數(shù)代替符號函數(shù), tanh函數(shù)相比于符號函數(shù)更為平滑,沒有突變,從而tanh函數(shù)能有效地削弱抖振。

圖 1 滑模運(yùn)動示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sliding mode motion

(7)

由此可見,該趨近律滿足滑模可達(dá)性條件,系統(tǒng)穩(wěn)定。

由式(8)可求得控制律iq：

(8)

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)的設(shè)計(jì)

ESO是自抗擾控制的核心[23]。標(biāo)準(zhǔn)的自抗擾控制器由跟蹤微分器(TD)、ESO和非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)3部分構(gòu)成。

一階自抗擾控制的原理結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 一階自抗擾控制原理結(jié)構(gòu)Fig.2 Contural principle structure of first-order self-disturbance rejection

圖2中,v為輸入,y是輸出,Z1為輸入信號v的跟蹤信號,Z2、Z3為ESO的狀態(tài)變量,Z2為速度反饋信號的跟蹤信號,Z3為總擾動的觀測,b是用于外擾和內(nèi)擾的補(bǔ)償量,PLANT為被控對象

2.2.1 TD模型

設(shè)被控對象為

(9)

則可以將PMSM的機(jī)械運(yùn)動方程改寫為

(10)

一階TD模型為

(11)

在一階自抗擾控制中,一階跟蹤微分器的作用主要是用于提取輸入信號的微分信號以及安排過渡過程[24],但是對于一階控制系統(tǒng),對應(yīng)二階 ESO 的輸出為被控對象和擾動項(xiàng)的觀測值,并沒有被控對象的微分輸出,因此TD只起到濾波的作用。為簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),提高系統(tǒng)控制的實(shí)時性,故省略了 TD 模塊。同時使用SMC代替NLSEF。

2.2.2 ESO模型

二階ESO模型如下：

(12)

式中：β0、β1為ESO的增益。非線性函數(shù)fal的表達(dá)式為

(13)

式中：δ>0,為常數(shù)。

fal函數(shù)實(shí)質(zhì)是對“大誤差,小增益;小誤差,大增益”[25]的函數(shù)擬合,雖然非線性fal函數(shù)連續(xù),但是在分段點(diǎn)兩處,均存在不可導(dǎo)的情況,因此導(dǎo)致在實(shí)際情況中,若取值過小,在原點(diǎn)附近容易顫振。為了解決該問題,選擇在原點(diǎn)的平滑性相較于指數(shù)函數(shù)更優(yōu)的三角正弦函數(shù)sin來設(shè)計(jì)了一個新的連續(xù)光滑的非線性hal函數(shù)：

(14)

式中：λ為限制量。

為保證|ε|=δ處可導(dǎo)且連續(xù),只需滿足函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)相同即可,則有

(15)

其中,hal′為hal的導(dǎo)數(shù)。由此可得：

(16)

為驗(yàn)證hal函數(shù)和fal函數(shù)的性能,取δ=0.2,α=0.245,λ=0.05在Matlab中進(jìn)行驗(yàn)證,其函數(shù)特性曲線如圖3所示。

圖 3 fal及hal函數(shù)特性曲線Fig.3 Characteristic curves of fal and hal functions

從圖3可以看出,fal 函數(shù)在分段點(diǎn)處有明顯的轉(zhuǎn)折,而hal函數(shù)在原點(diǎn)周圍具有更好的連續(xù)性和平滑性。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)ESO的PMSM滑模控制的有效性,在MATLAB/simulink中進(jìn)行仿真,PMSM所使用到的參數(shù)[26]為定子電阻R=2.875 Ω;定子電感Ls=0.008 5 H,極對數(shù)p=4;轉(zhuǎn)動慣量J=0.001 kg·m2;永磁體磁鏈ψf=0.172 Wb;阻尼系數(shù)B=0。SMC的參數(shù)：k1=k3=10,k2=20,α=0.5,δ=0.2,σ=2.0;ESO 的參數(shù)：β0=400,β1=-1。

為驗(yàn)證基于新型趨近律滑模控制器的性能,將其與傳統(tǒng)基于指數(shù)趨近律的滑模控制器相比較。在PMSM空載啟動時,給定初始轉(zhuǎn)速1 000 r/min以確保在實(shí)際運(yùn)行中最大限度地提高能效。0.4 s時,再增加200 r/min的轉(zhuǎn)速,來驗(yàn)證2個控制的跟蹤性能。其轉(zhuǎn)速跟蹤曲線如圖4所示。

圖 4 轉(zhuǎn)速跟蹤曲線Fig.4 Speed tracking curve

從圖4可以看出,使用2種控制器下的系統(tǒng)均幾乎沒有超調(diào),但本文所用的控制器有更快的響應(yīng)時間,為0.017 s,相較傳統(tǒng)滑模控制器響應(yīng)時間0.059 s快0.042 s。0.4 s時加入200 r/min的轉(zhuǎn)速,使用新型滑模控制器的系統(tǒng)在0.407 s跟蹤上新加轉(zhuǎn)速且恢復(fù)穩(wěn)態(tài),相較于使用傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的系統(tǒng)在0.445 s跟蹤新加轉(zhuǎn)速且恢復(fù)穩(wěn)態(tài)的速度上快0.038 s,新的控制器有效地提高了系統(tǒng)的響應(yīng)時間和跟蹤能力。

為驗(yàn)證其抗擾動性能,在0.2 s時,給二者加入同樣20 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩,結(jié)果如圖5所示。

圖 5 加入負(fù)載轉(zhuǎn)矩Fig.5 The addition of load torque

從圖5可以看出,在0.2 s加入負(fù)載轉(zhuǎn)矩,用傳統(tǒng)的滑模控器控制的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了明顯的波動,在1 000 r/min中上下波動將近220 r/min,且趨于穩(wěn)定出現(xiàn)了明顯的超調(diào)。而用基于新型趨近律的滑模控制器的系統(tǒng),出現(xiàn)了30 r/min的波動。由此可見,新型滑模控制器有更好的抗擾動性。在轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)中,能有效抑制超調(diào),并且具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差,能夠柔化控制過程,起到穩(wěn)定控制的效果。

為了驗(yàn)證本文所提算法抗擾動能力的實(shí)際效果,使用圖6所示裝置搭建PMSM控制系統(tǒng)硬件試驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。其電機(jī)參數(shù)：額定功率750 W,額定速度3 000 r/min,額定轉(zhuǎn)矩2.39 N·m,電機(jī)極對數(shù)為5對,編碼器線數(shù)2 500 p/r,轉(zhuǎn)矩系數(shù)0.40 N·m/A,系統(tǒng)總慣量2.81×10-4kg·m2實(shí)驗(yàn)中,由于平臺對最大負(fù)載轉(zhuǎn)矩有所限制,在2.5 s時,加入2 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7、8所示。

圖 6 伺服電機(jī)機(jī)組圖Fig.6 Diagram of the servo motor set

圖 7 普通滑模加負(fù)載擾動Fig.7 Ordinary sliding mode plus load disturbance

從圖7、8可以看出,在實(shí)物實(shí)驗(yàn)中,傳統(tǒng)指數(shù)滑模控制器控制的系統(tǒng)出現(xiàn)了近200 r/min的波動,而使用新型趨近律的滑模控制僅出現(xiàn)了近20 r/min的波動,很大程度上提高了電機(jī)的抗擾動性能。

綜上所述,PMSM采用新的趨近律設(shè)計(jì)的速度環(huán)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的控制方式具有更好的動態(tài)特性。

4 結(jié) 語

為較好的提升系統(tǒng)控制性能,本文在PMSM矢量控制的基礎(chǔ)上,用基于新型趨近律的滑模控制器代替了傳統(tǒng)的PI控制器,在新型趨近律中引入了變速項(xiàng),使其趨近速度與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)。并使用ESO估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)并抵消外部擾動,改進(jìn)了ESO中傳統(tǒng)fal函數(shù),優(yōu)化了函數(shù)的平滑性和連續(xù)性。通過與傳統(tǒng)的滑模控制器做對比,使用所設(shè)計(jì)的新型滑模控制器的系統(tǒng),有更好的動態(tài)性能和控制精度。本文使用二階ESO,由于參數(shù)較少,二階ESO的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)相對簡單,而三階ESO的參數(shù)更多,設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)相對復(fù)雜,需要更多的計(jì)算資源,但能夠提供更高的估計(jì)精度。如何將三階ESO更好應(yīng)用于系統(tǒng),需要進(jìn)一步研究。