大機動過載下不平衡轉子的彎扭耦合振動分析

朱洋,沈承,王斌

(1. 南京航空航天大學 航空學院,江蘇 南京 210016;2. 蘇州頂裕節能設備有限公司,江蘇 蘇州 215213)

0 引言

隨著技術的不斷進步,軍用無人機(UAV)在監視偵察、特定目標跟蹤、戰損評估等作戰任務中發揮著越來越重要的作用[1]。為了大幅度提高機動性能,未來無人機的機動過載將遠超傳統戰斗機。因此,有必要研究大機動過載條件下轉子系統的動力學行為。

許多學者對轉子系統的動態特性進行了大量的研究。COHEN等[2]考慮了由不平衡力引起的彎曲扭轉耦合振動,并研究了轉子系統的穩定性。ANANTHAN等[3]分析了渦軸發動機轉子系統在俯沖、跳躍、滾動、反向滾動和上拉等機動動作下的振動響應。LIN等[4-5]研究了Jeffcott 轉子在機動飛行條件下,考慮初始彎曲、不對稱剛度和摩擦碰撞故障因素時的振動行為。ZHENG等[6]對大機動條件下4自由度單轉子進行了理論分析和試驗驗證,但是未對高轉速下轉子的彎曲方向和扭轉方向的耦合振動做出進一步分析。到目前為止,對大機動過載下轉子系統的彎曲扭轉耦合特性的分析仍然鮮有報道。

考慮支承處軸承的非線性力影響[7],本文利用拉格朗日方程、梁單元、圓盤單元理論和有限元法推導了不平衡轉子系統在任意機動條件下的運動微分方程,并采用Newmark-β數值積分法結合Newton-Raphson迭代法進行求解。通過三維瀑布圖和分岔圖對轉子運動的頻譜特征以及周期性進行分析。

1 有限元建模

為了精確捕捉高頻特征,區別于簡單的歐拉梁模型,本文采用考慮剪切變形和轉動慣量的Timoshenko梁單元、圓盤單元對不平衡轉子系統進行建模。轉子系統通過節點離散化,簡化為一系列梁單元和帶質量偏心的圓盤單元。

為描述空間機動飛行條件下轉子系統的運動,參考文獻[6],建立坐標系如圖1所示,其中OXYZ為地面固定坐標系,oxyz為轉子靜坐標系,o′ξζη為圓盤轉動坐標系。

圖1 轉子坐標系

利用拉格朗日方程可得到任意機動飛行條件下5自由度圓盤的運動微分方程:

(Kd+Kdu+Kdb)qd=Fdu+Fdb+Qd

(1)

式中:qd是圓盤廣義自由度上的位移;Md、Cd、Gd、Kd和Qd分別為不考慮機動飛行條件下圓盤的慣性矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣,剛度矩陣和外激勵;Fdu為不平衡激勵。Mdu、Cdu、Kdu為彎曲自由度和扭轉自由度的耦合關系項。表達式如下:

(2)

(3)

(4)

由機動飛行產生的附加阻尼Cdb、附加剛度Kdb、附加激勵力Fdb表達式如下:

(5)

(6)

(7)

式中:m、e分別表示圓盤質量和偏心量;XB、YB、ZB分別表示飛機沿X、Y、Z軸的平飛速度;WBX、WBY、WBZ分別表示飛機繞X、Y、Z的角速度;z為圓盤到坐標系oxyz原點的距離;IP、Id分別表示圓盤極轉動慣量和直徑轉動慣量。

同理,利用Lagrange方程推導10自由度梁單元的運動微分方程:

(8)

式中:qe表示梁單元廣義自由度的位移;me、Ce、Ge、Ke分別表示梁單元的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣;Ceb、Keb和Feb分別為機動飛行產生的附加阻尼矩陣、附加剛度矩陣和附加激勵力。

進一步,將各軸段和圓盤的運動方程組合即可得到整個轉子系統的運動微分方程:

Fu+Fb+Q

(9)

式中:q代表轉子系統廣義自由度的位移;m、C、G和K分別是轉子系統的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣;Q和Fu分別是轉子系統的外激勵和不平衡激勵;mu、Cu和Ku分別是轉子系統的彎曲-扭轉耦合關系項;Cb、Kb和Fb分別是轉子系統機動飛行產生的附加阻尼矩陣、附加剛度矩陣和附加激勵力。

2 計算模型

轉子模型如圖2所示。轉子系統由2個支撐和3個帶有偏心質量的圓盤組成。轉子系統的相關參數如表1所示。

表1 盤的幾何參數

圖2 計算模型

本文中水平轉彎直徑為3m。以平飛和水平轉彎為例,分析了大機動過載條件下轉子系統動力學特性的影響,機動飛行參數如表2所示,其中g代表重力加速度,所有未提及的飛行參數均設置為0。

表2 機動飛行參數

3 不平衡響應分析

3.1 臨界轉速

轉子系統的臨界轉速采用特征方程法計算,2個支撐的剛度為7.99×109N/m。第1階彎曲臨界轉速ωb1、第2階彎曲臨界轉速ωb2以及1階扭轉臨界轉速ωt的結果如表3所示。為了驗證模型的有效性,在ANSYS中建立了有限元模型預測臨界轉速。可以看到本文計算結果與ANSYS計算結果非常接近,誤差小于1%,驗證了本文方法的正確性。

表3 臨界轉速結果

3.2 頻譜分析

為研究機動過載對轉子動力學特性的影響,以平飛和水平轉彎工況為例進行研究。考慮支承處軸承的非線性力,采用Newmark-β數值積分法和Newton-Raphson迭代法求解轉子系統的穩態響應。

圓盤2在水平飛行和水平轉彎工況下的彎曲振動響應的三維瀑布譜圖如圖3和圖4所示。零頻成分表征轉子靜位移。機動轉彎條件下,在水平方向上,轉子系統受到機動飛行產生的恒定離心力,靜態偏移不隨轉速變化。而在垂直方向上產生與轉速相關的附加陀螺力矩,這導致靜態偏移隨轉速變化。

圖3 圓盤2水平方向三維瀑布圖

圖4 圓盤2豎直方向三維瀑布圖

水平飛行條件下,彎曲振動響應的頻率分量主要包括轉子轉速ω,2個振動峰值分別對應1階彎曲臨界轉速ωb1和2階彎曲臨界轉速ωb2。此外,當轉子的轉速ω分別超過ωb1和ωb2時,可以觀察到頻率為ωb1和ωb2的次諧振動分量。

與水平飛行相比,水平轉彎工況下頻率分量發生了顯著變化。彎曲振動中的次諧振動分量ωb1和ωb2通過機動飛行被放大,并且由于機動飛行產生的水平和垂直方向之間轉子的不對稱剛度和阻尼,新的次諧頻率分量ωs1和ωs2被誘發。

水平飛行和水平轉彎工況下扭轉振動響應的瀑布圖如圖5所示。轉子的扭轉振動響應定義為轉子上圓盤1和圓盤3之間的相對扭轉角。在水平飛行條件下,扭轉的主要頻率分量主要包括零頻成分和ωt成分。在水平轉彎條件下,彎曲振動中的次諧振動幅值被放大,由于彎扭耦合作用,所有次諧振動都被傳遞到扭轉自由度上。扭轉自由度上的頻率成分有彎曲臨界轉速成分ωb1,ωb2,扭轉臨界轉速ωt以及次諧振動頻率ωs1、ωs2。1階扭轉臨界轉速ωt處的響應被充分激發。

圖5 轉子扭轉方向三維瀑布圖

3.3 周期性分析

圖6顯示了圓盤2在水平飛行和水平轉彎工況下彎曲振動響應的分岔圖。與平飛相比,當轉子速度ω超過1階彎曲臨界轉速ωb1時,水平轉彎條件下轉子運動的周期性明顯變差。

圖6 圓盤2水平方向分叉圖

4 結語

本文考慮彎扭耦合效應,利用有限元方法建立了任意機動飛行條件下不平衡轉子系統的動力學理論模型。通過數值模擬,得到如下結論。

1)當轉子轉速大于彎曲臨界速度時,大機動過載產生的不對稱附加剛度和阻尼會引起新的次諧振動分量,同時增大了原有次諧振動幅值。

2)大機動過載增強了彎曲方向和扭轉方向的耦合效應。彎扭耦合作用使得次諧振動分量傳遞到扭轉方向。

3)在大機動過載條件下,當轉子轉速超過1階彎曲臨界轉速時,不平衡轉子系統的周期性會明顯變差。