基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

樊海青，馬彥鳳

（1.廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510500；2.廣東省測(cè)繪工程有限公司，廣東 廣州 510700）

灰色系統(tǒng)通過(guò)建模、預(yù)測(cè)和分析等過(guò)程，能從已有少量信息中提取有價(jià)值的信息，為多個(gè)領(lǐng)域的組織決策和控制提供依據(jù)。灰色模型是在貧信息的情況下進(jìn)行建模，對(duì)少量的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，生成新的數(shù)據(jù)序列，并通過(guò)建立與求解白化微分方程得到預(yù)測(cè)模型，因此被廣泛應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)工程中[1-5]。利用灰色GM(1,1)模型建立變形監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)模型的方法較普遍，但也會(huì)出現(xiàn)模型的擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值偏離較大的情況，因此相關(guān)學(xué)者采用灰色Verhulst模型、灰色二階GM(2,1)模型、灰色GM(1,N)模型[6-8]等改進(jìn)灰色模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其中灰色二階GM(2,1)模型能反映序列的趨勢(shì)性變化，對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)提取更加有效。傳統(tǒng)灰色模型在建立白化微分方程時(shí)，發(fā)展系數(shù)和灰色作用量為固定值，但在相關(guān)文獻(xiàn)中提出，在同一時(shí)間序列中發(fā)展系數(shù)是固定量，而灰色作用量會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化，即具有時(shí)變性質(zhì)。本文以礦區(qū)地表沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例建立灰色模型，根據(jù)灰色作用量時(shí)變性質(zhì)和灰色二階GM(2,1)模型的優(yōu)勢(shì)，建立了傳統(tǒng)灰色模型和基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型；并對(duì)比了不同灰色模型沉降觀測(cè)的預(yù)測(cè)結(jié)果和精度，以驗(yàn)證基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型在沉降觀測(cè)和模型預(yù)測(cè)過(guò)程中的可靠性與優(yōu)越性。

1 基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型

1.1 灰色模型

基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型是由傳統(tǒng)灰色模型改進(jìn)而來(lái)，本文主要介紹灰色GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。

1.1.1 灰色GM(1,1)模型

假設(shè)存在一組原始觀測(cè)數(shù)據(jù)序列，即[3-4]

將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加，生成一次累加序列，即

由于一次累加序列存在指數(shù)型增長(zhǎng)的趨勢(shì)，滿足式（3）灰微分模型：

根據(jù)最小二乘法求解灰微分方程的待求參數(shù)估值，即

將a1、b1以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（3），即可求解傳統(tǒng)GM(1,1)模型的表達(dá)式：

還原數(shù)列得到原始觀測(cè)序列的預(yù)測(cè)值，即

1.1.2 灰色GM(2,1)模型

不同于灰色GM(1,1)模型，灰色GM(2,1)模型除了對(duì)原始觀測(cè)值進(jìn)行了一次累加生成序列，還進(jìn)行了一次累減生成序列。將式（1）中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累減，生成一次累減序列[9]，即

式中，a(1)x(1)(t)=x(0)(t)-x(0)(t-1)，t=2，3，…，n。

此時(shí)灰色GM(2,1)模型滿足的灰微分模型為：

以最小二乘法求解式（8）的待求參數(shù)估值為：

1.2 基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型建立

張振超[10]等為優(yōu)化灰色GM(1,1)模型擬合與預(yù)測(cè)精度，通過(guò)時(shí)變參數(shù)優(yōu)化灰作用量，建立了一種基于時(shí)變參數(shù)的GM(1,1)模型，采用線性時(shí)間函數(shù)代替固定不變的灰作用量。因此，本文在傳統(tǒng)GM(1,1)模型和GM(2,1)模型的基礎(chǔ)上分別建立了基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型[10-12]。

若以時(shí)間的線性函數(shù)b3+b4t代替灰色作用量固定值，傳統(tǒng)GM(1,1)模型的灰微分方程表達(dá)式為：

以最小二乘法求解式（10）的待求參數(shù)估值為：

將a1、b3、b4以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（10），即可求解基于時(shí)變參數(shù)的GM(1,1)模型表達(dá)式，即

同理，GM(2,1)模型的灰微分方程表達(dá)式為：

以最小二乘法求解式（13）的待求參數(shù)估值為：

采用式（6）還原數(shù)列，得到原始觀測(cè)序列的預(yù)測(cè)值。

1.3 基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型檢驗(yàn)

基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型以灰色模型為基礎(chǔ)，因此應(yīng)進(jìn)行灰色模型檢驗(yàn)，驗(yàn)證建立模型是否符合實(shí)際情況。檢驗(yàn)指標(biāo)以相對(duì)誤差、后驗(yàn)方差比和小誤差概率為主，判斷灰色模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)（表1）。

表1 灰色模型精度檢驗(yàn)

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文以礦區(qū)采空區(qū)某走向觀測(cè)線中93號(hào)、101號(hào)

沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)為例，分別觀測(cè)14期，采用電子水準(zhǔn)儀按照國(guó)家三、四等水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范要求對(duì)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的垂直位移進(jìn)行觀測(cè)（表2、3）。為比較不同灰色模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，本文設(shè)計(jì)了4 種灰色模型的算方案：①傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型；②傳統(tǒng)灰色GM(2,1)模型；③基于時(shí)變參數(shù)的GM(1,1)模型；④基于時(shí)變參數(shù)的GM(2,1)模型；將前10期作為擬合觀測(cè)序列，后4期作為觀測(cè)序列。

表2 93號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)沉降值

表3 101號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)沉降值

2.2 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

2.2.1 傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)傳統(tǒng)灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型建立的過(guò)程，編制灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言程序，輸入沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)原始數(shù)據(jù)并建立灰色模型，得到預(yù)測(cè)結(jié)果以及預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的殘差值，見(jiàn)表4、5。

表4 93號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果/mm

表5 101號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果/mm

2.2.2 基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果

由于灰色作用量具有時(shí)變性質(zhì)，本文建立基于時(shí)變參數(shù)的灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型。根據(jù)時(shí)變參數(shù)灰色模型的建立過(guò)程，以沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)為原始數(shù)據(jù)建立模型并計(jì)算，得到預(yù)測(cè)結(jié)果以及預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的殘差值（表6、7）。

表6 93號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)時(shí)變參數(shù)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果/mm

表7 101號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)時(shí)變參數(shù)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果/mm

2.2.3 不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

1）對(duì)于93 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，方案①、②的殘差絕對(duì)值最大值分別為100 mm、40 mm，均方根誤差分別為11.53 mm、5.92 mm；對(duì)于101號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，方案①、②的殘差絕對(duì)值最大值分別為73 mm、68 mm，均方根誤差分別為12.12 mm、10.09 mm。在傳統(tǒng)灰色模型中，方案②建立的灰色GM(2,1)模型求取的預(yù)測(cè)值均方根誤差最小，預(yù)測(cè)精度最高。

2）對(duì)于93 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，方案③、④的殘差絕對(duì)值最大值分別為32 mm、21 mm，均方根誤差分別為3.89 mm、3.18 mm；對(duì)于101 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，方案③、④的殘差絕對(duì)值最大值分別為72 mm、43 mm，均方根誤差分別為10.86 mm、9.64 mm。在基于時(shí)變參數(shù)的灰色模型中，方案④建立的時(shí)變參數(shù)GM(2,1)模型求取的預(yù)測(cè)值均方根誤差最小，模型預(yù)測(cè)精度最高。

3）根據(jù)表1 對(duì)基于時(shí)變參數(shù)的GM(2,1)模型進(jìn)行精度評(píng)價(jià)，兩個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的精度檢驗(yàn)等級(jí)均為Ⅱ級(jí)。

3 結(jié) 語(yǔ)

為提高灰色模型擬合與預(yù)測(cè)精度，本文將灰色作用量表示為隨時(shí)間的變化的線性函數(shù)，建立了以時(shí)變參數(shù)優(yōu)化灰色作用量的改進(jìn)灰色模型；并通過(guò)建立不同灰色模型，對(duì)比分析了預(yù)測(cè)效果。結(jié)果表明，基于時(shí)變參數(shù)的GM(2,1)模型具有更好的預(yù)測(cè)效果，彌補(bǔ)了灰色作用量固定不變導(dǎo)致的預(yù)測(cè)精度差的問(wèn)題。不足之處在于，在微分方程相關(guān)矩陣計(jì)算中，背景值基于前后緊鄰值等權(quán)的原則，未對(duì)背景值進(jìn)行優(yōu)化，有待于進(jìn)一步研究。