基于垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)模型對(duì)波浪能最大輸出功率的設(shè)計(jì)

李勇達(dá)，汪恒愷，李鵬輝，陳昊

基于垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)模型對(duì)波浪能最大輸出功率的設(shè)計(jì)

李勇達(dá)，汪恒愷，李鵬輝，陳昊

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235099）

研究波浪能裝置最大輸出功率的設(shè)計(jì)，以運(yùn)動(dòng)平衡方程和能量輸出系統(tǒng)研究為基礎(chǔ)理論背景，建立浮子和振子的垂蕩、縱搖運(yùn)動(dòng)模型和最優(yōu)阻尼系數(shù)模型，確定給定時(shí)間下的浮子與振子的垂蕩位移及速度和縱搖位移及角速度，并借助模擬退火算法和網(wǎng)格搜索算法分別確定兩種情況下給定參數(shù)值的最大輸出功率及最優(yōu)阻尼系數(shù)．

波浪能；最大輸出功率；垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)模型；模擬退火算法；網(wǎng)格搜索算法

隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，人類面臨能源需求和環(huán)境污染的雙重挑戰(zhàn)，發(fā)展可再生能源產(chǎn)業(yè)已成為世界各國的共識(shí)．波浪能具有可再生、清潔等特點(diǎn)，且相較于風(fēng)能和太陽能，波浪能具有更大的能量密度[1]．自20世紀(jì)70年代開始，英國、挪威、日本、葡萄牙和中國等國家開始重視波浪能的研究，已發(fā)明了各種各樣的波浪能轉(zhuǎn)換裝置，波浪能裝置的能量轉(zhuǎn)換效率是波浪能規(guī)模化利用的關(guān)鍵問題之一．

本文所研究的波浪能裝置見圖1～2（來源于2022年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目[2]）．圖1裝置由浮子、振子、中軸以及能量輸出系統(tǒng)（PTO，包括彈簧和阻尼器）構(gòu)成，振子、中軸及能量輸出系統(tǒng)被密封在浮子內(nèi)部，浮子由質(zhì)量均勻分布的圓柱殼體和圓錐殼體組成，兩殼體連接部分有一個(gè)隔層，作為安裝中軸的支撐面．振子是置于中軸上的圓柱體，通過能量輸出系統(tǒng)與中軸底座連接．在波浪的作用下，浮子運(yùn)動(dòng)并帶動(dòng)振子運(yùn)動(dòng)，通過兩者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)阻尼器做功，并將所做的功作為能量輸出．

圖2裝置在圖1裝置的基礎(chǔ)上，擴(kuò)充了能量輸出系統(tǒng)，除了直線阻尼器，在轉(zhuǎn)軸上安裝旋轉(zhuǎn)阻尼器和扭轉(zhuǎn)彈簧，直線阻尼器和旋轉(zhuǎn)阻尼器共同做功輸出能量．同時(shí)，振子隨中軸轉(zhuǎn)動(dòng)，沿中軸進(jìn)行滑動(dòng)．扭轉(zhuǎn)彈簧的扭矩與浮子和振子的相對(duì)角位移成正比．旋轉(zhuǎn)阻尼器的扭矩與浮子和振子的相對(duì)角速度成正比，比例系數(shù)為旋轉(zhuǎn)阻尼器的旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)．

圖1 波浪能裝置

圖2 改造后的波浪能裝置

本文根據(jù)圖1～2計(jì)算浮子和振子在波浪激勵(lì)力作用下前40個(gè)波浪周期內(nèi)時(shí)間間隔為0.2 s的最大輸出功率及相應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使得能量輸出系統(tǒng)的平均輸出功率最大．

1 基于浮力擺式波浪能運(yùn)動(dòng)平衡方程的垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)模型

1.1 浮子的運(yùn)動(dòng)方程

在垂蕩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，浮子與振子相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)阻尼器做功，最終將波浪能轉(zhuǎn)化成可用能量[3]．本文假設(shè)海水是無粘及無旋的，且海面上除浮子裝置外無其他漂浮物，忽略中軸、底座、隔層及能量輸出系統(tǒng)的質(zhì)量和各種摩擦，假設(shè)初始時(shí)刻浮子和振子平衡于靜水中且忽略海風(fēng)等因素對(duì)裝置的直接影響．

考慮浮子只做垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)，根據(jù)CFD方法[4]可將縱搖和垂蕩的浮子運(yùn)動(dòng)模型表示為

當(dāng)忽略非線性因素時(shí)，可以得到浮力擺的線性運(yùn)動(dòng)方程式[5]

1.2 浮子與振子系統(tǒng)的聯(lián)合運(yùn)動(dòng)方程

1.3 模擬退火算法

對(duì)于浮子、振子系統(tǒng)在最大平均功率下對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)問題，采用模擬退火算法，它基于蒙特卡洛迭代法，采取Metropolis接受準(zhǔn)則，是局部搜索算法的拓展，以一定的概率選擇領(lǐng)域中目標(biāo)值較大的狀態(tài)，從而達(dá)到全局優(yōu)化的目標(biāo)[6]．

Step3 對(duì)解進(jìn)行迭代求值，隨著迭代次數(shù)的增加，將會(huì)有越來越多的解不被接受．

Step4 結(jié)束迭代．當(dāng)新解被確定接受時(shí)，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生新解時(shí)的變換部分予以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)修正目標(biāo)函數(shù)值即可．若出現(xiàn)過多解不被接受則結(jié)束迭代．

1.4 平均功率最大的優(yōu)化問題

2 雙阻尼器下的多變量功率優(yōu)化模型

2.1 建立雙阻尼器下的縱搖與垂蕩模型

以平衡位置為初始位置，此時(shí)浮子與振子都在垂直位置，浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同上，對(duì)浮子的縱搖運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行受力分析（見圖3）．

圖3 浮子受力分析

振子的聯(lián)合運(yùn)動(dòng)方程為

2.2 PTO阻尼數(shù)學(xué)模型

2.3 雙阻尼器下的最優(yōu)功率

在所建模型基礎(chǔ)上求解最優(yōu)直線阻尼系數(shù)和旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，同時(shí)計(jì)算最大輸出功率及相應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)，能量主要來自直線阻尼器和旋轉(zhuǎn)阻尼器做功[8]，結(jié)合式（9）～（11），可得系統(tǒng)功率表達(dá)式為

3 數(shù)據(jù)的整合與處理

3.1 阻尼器下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與最優(yōu)功率

分析浮子的運(yùn)動(dòng)位移，將數(shù)據(jù)代入模型公式并進(jìn)行二次積分，求得10，20，40，60，100 s時(shí)（1）阻尼系數(shù)為常量；（2）阻尼系數(shù)與浮子和振子的相對(duì)速度的絕對(duì)值的冪成正比兩種情況下浮子和振子的垂蕩位移與速度（見表1）．

表1 兩種情況下浮子和振子的垂蕩位移與速度

3.2 雙阻尼器下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與最優(yōu)功率

利用PTO阻尼數(shù)學(xué)模型[9]結(jié)合雙阻尼器下的多變量功率優(yōu)化模型，代入相關(guān)參量，化簡(jiǎn)得到浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)方程為

浮子的縱搖運(yùn)動(dòng)方程為

振子的垂蕩運(yùn)動(dòng)方程為

振子的縱搖運(yùn)動(dòng)方程為

由式（15）～（18）可得到10，20，40，60，100 s時(shí)浮子與振子的垂蕩位移、垂蕩速度和縱搖角位移、縱搖角速度（見表2）．

表2 浮子和振子的垂蕩位移、速度及縱搖角位移、角速度

當(dāng)振子和浮子在雙阻尼器下運(yùn)動(dòng)時(shí)，難以得到解析解，因此采用網(wǎng)格搜索法進(jìn)行迭代搜索，進(jìn)而得到最優(yōu)數(shù)值解．

在較大范圍內(nèi)采用較大步距對(duì)能量輸出系統(tǒng)中在雙阻尼情況下最大功率進(jìn)行粗搜[10]，讓兩個(gè)參數(shù)在符合實(shí)際且上文所給出的范圍內(nèi)劃分網(wǎng)格形成網(wǎng)點(diǎn)，并且對(duì)劃分的網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行遍歷，求各網(wǎng)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值，對(duì)可行點(diǎn)比較目標(biāo)函數(shù)值的大小選其中最大的點(diǎn)，并在其附近加密網(wǎng)格重復(fù)上述過程直至網(wǎng)格間距小于控制誤差為止[11]．

具體步驟為：

Step2 估計(jì)設(shè)計(jì)變量的上限值和下限值；

Step4 在各網(wǎng)點(diǎn)上逐一求出其目標(biāo)函數(shù)值，檢驗(yàn)是否在可行域中，對(duì)可行點(diǎn)計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值，比較選出最大值；

4 結(jié)語

本文對(duì)于波浪能裝置垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)的最大輸出功率做了較為完整的研究，并且系統(tǒng)分析了阻尼系數(shù)在一定范圍內(nèi)對(duì)能量輸出系統(tǒng)帶來的影響．利用模擬退火算法、網(wǎng)格搜索法、聯(lián)合運(yùn)動(dòng)方程分析法等方法求得最大平均功率下對(duì)應(yīng)的直線與旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，計(jì)算便捷，結(jié)果可靠，并通過數(shù)值分析法減小誤差，提高了模型求解精度．給出了浮子與振子在不同時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程及角度參量，具有較高的模型整合度，便于模型推廣．

本文中建立了浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型（垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)），并提供了相應(yīng)的求解方法，為其他形式的波浪能裝置（如浮力擺式）、半淺式平臺(tái)及船舶迎浪的垂蕩、縱搖運(yùn)動(dòng)研究提供了模型基礎(chǔ)，對(duì)于實(shí)際的波浪能裝置中能量輸出系統(tǒng)的選擇也有一定的借鑒意義．

[1] 丁松，韓端鋒．垂蕩式波浪能裝置運(yùn)動(dòng)模型數(shù)值分析[J]．海洋工程，2016（4）：107-117．

[2] 中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)．2022年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題[EB/OL]．（2022-09-15）[2022-11-15]．http://ahdmcm.ahu.edu.cn/2022/1115/c20669a297066/page.htm．

[3] 張萬超．軸對(duì)稱垂蕩浮子式波能裝置水動(dòng)力及能量轉(zhuǎn)換解析研究[D]．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2017．

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[5] 趙曉春．浮力擺式波浪能發(fā)電裝置功率優(yōu)化研究[D]．天津：天津理工大學(xué)，2020．

[6] 屈承珺，紀(jì)昌明，張驗(yàn)科，等．基于模擬退火的改進(jìn)分布估計(jì)算法研究[J]．計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2020，37（增刊1）：138-139．

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Maximum output power designof wave energy based on heave and pitch motion models

LI Yongda，WANG Hengkai，LI Penghui，CHEN Hao

（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，Huaibei 235099，China）

The design of maximum output power of wave energy device is studied．Based on the theoretical background of motion balance equation and energy output system research，the heave and pitch motion model and the optimal damping coefficient model of float and vibrator are established．The heave displacement and velocity and pitch displacement and angular velocity of the float and vibrator at a given time are determined．The maximum output power and the optimal damping coefficient under the given parameter values are determined by simulated annealing algorithm and grid search algorithm respectively for two situation．

wave energy；maximum output power；heave and pitch motion model；simulated annealing algorithm；grid search algorithm

O29

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.02.005

1007-9831（2024）02-0020-07

2023-03-01

安徽省高等學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目（2020jyxm1670，2021jxtd257）

李勇達(dá)（2002-），男，安徽淮北人，在讀本科生．E-mail：3033504738@qq.com

陳昊（1982-），男，安徽濉溪人，副教授，博士，從事數(shù)學(xué)建模、動(dòng)力系統(tǒng)理論及應(yīng)用研究．E-mail：chh0308@126.com