旋變二次諧波測角誤差自校正

王英廣， 張激揚， 張 強， 魯 明， 田利梅

（北京控制工程研究所，北京 100094）

1 引 言

控制力矩陀螺（ Control Moment Gyroscope，CMG）作為大型航天器進行快速姿態調整的常用慣性執行機構，由高速轉子和低速框架組成［1-2］。伺服電機驅動低速框架改變高速轉子角動量的方向輸出力矩。框架轉速精度和穩定度直接影響控制力矩陀螺輸出力矩精度和穩定度［3-4］。

因為旋轉變壓器（簡稱“旋變”）具有良好的空間環境適應性，控制力矩陀螺使用旋變檢測框架角位置。旋變測角精度直接影響控制力矩陀螺的力矩控制精度和反饋給姿控分系統的角動量指向精度，進而影響姿控系統控制精度［5-6］。

高精度旋變一般使用跟蹤式旋變-數字信號轉換器（Resolver-to-Digital Converter，RDC）解算角位置信息［7］。旋變解調是在假定旋變輸出正余弦信號包絡是等幅、正交的基礎上進行的。但受加工、裝配誤差和磁場不均勻等因素影響，旋變輸出正余弦信號包絡存在幅值不一致、非理想正交的情況。同時，RDC 對旋變輸出正余弦信號進行處理時，存在非等幅放大及相位偏移的問題。以上原因均會導致RDC 解調角速度中產生二次諧波誤差，這是旋變測角誤差的主要來源［8］。為提高旋變測角精度，需要對旋變二次諧波誤差進行校正補償。

ALEMI R M 等優化旋變結構及電磁設計，降低磁場諧波失真，提高測角精度，但其諧波誤差降低幅度有限［9］。

肖越華使用精密轉臺標定旋變，得出誤差曲線，對其進行頻譜分析，獲取主要頻率成分的參數并進行補償［10］。孫偉使用高精度分度頭標定旋變，得到誤差曲線，設計查找表，對低精度旋變進行補償［11］。李婧等使用經緯儀標定旋變誤差，并進行軟硬件補償［12］。如上方法均使用高精度角度傳感器標定旋變，且標定在旋變安裝到伺服系統之前進行，安裝到伺服系統后的誤差特性會隨旋變定轉子的相對位置等因素變化。

Wu Z 使用二階梯度估計器對旋變輸出正余弦信號進行等幅、正交校正，以降低旋變測角誤差，使用軟件實現RDC 解調功能［13］。BUNTE A使用增益調節器、相位調節器校正旋變輸出信號，同時對偏置誤差進行校正［14］。如上方法均對旋變輸出信號進行校正，獲得等幅、正交的正余弦信號。而未考慮RDC 解調過程中的非等幅放大及相位偏移情況。

Qin H［15］，Guo M［16］，WANG R［17］，JANG P［18］使用高精度AD 轉換器直接采集旋變勵磁正余弦信號并進行高速、復雜的運算獲取完成RDC 解調，獲取高精度的角位置。而這對AD 轉換器精度及處理器運算速度要求極高，難以應用于航天器中。

針對旋變測角誤差的主要成分——二次諧波誤差，本文提出了一種基于特征頻率參考的二次諧波誤差自補償方法。首先，對旋變測角誤差機理進行分析，得出旋變正余弦輸出信號的非等幅、非正交特性產生互不相關的二次諧波誤差。而后分析可知對旋變輸出信號進行幅值調整和相位差調整可產生互不相關的二次諧波誤差校正量。然后，在旋變和RDC 之間加入由運算放大器構成的幅值校正器和相角校正器。最后，根據誤差信號在控制系統中特征頻率不變的特性，對框架伺服電機進行勻速控制，以角速度頻譜中的二次諧波頻率的幅值為參考基準，調整幅值校正器和相角校正器，產生二次諧波校正量，對旋變二次諧波誤差進行自校正。

2 旋變測角原理

旋變測角系統由旋變本體和旋變解調器組成。跟蹤型數字信號轉換器RDC 因具有編碼精度高、抗干擾能力強、穩定性好等優點，被廣泛應用于旋變解調中。圖1 為解調原理圖，將頻率為ω的信號sin(ωt)施加到旋變本體輸入端，旋變輸出與轉子角位置θ相關的正余弦包絡信號Acos(ωt)sinθ和Acos(ωt)cosθ。兩信號分別與RDC 解調角位置φ的正余弦值求積得到Acos(ωt)sinθcosφ和Acos(ωt)cosθsinφ。然后求差得到Acos(ωt)sin(θ-φ)，相敏檢測后得到Acos(ωt)sin(θ-φ)cos(ωt)，對其進行積分可得A′(θ-φ)，再進行跟蹤速率調整，經過壓控振蕩器（Voltage Controlled Oscillator，VCO）和閉環跟蹤控制后，可使θ-φ=0，實現解調角位置φ跟蹤旋變角位置θ。

圖1 跟蹤式RDC 解調原理圖Fig.1 Demodulation principle Diagram of Tracking RDC

3 旋變誤差分析

跟蹤式解調是在假定旋變輸出正余弦信號包絡是等幅、正交的基礎上進行的。但受加工、裝配誤差和磁場畸變等因素影響，旋變輸出正余弦信號存在幅值不一致、非理想正交的情況。同時，RDC 對旋變輸出正余弦信號進行處理時亦存在非等幅放大及相位偏移的問題。這均會產生旋變幅值誤差和正交誤差等二次諧波誤差。

3.1 旋變幅值誤差

幅值誤差是由旋變正余弦輸出信號幅值不同和RDC 對正余弦信號放大系數不同引起的誤差。

假定以旋變輸出正弦信號的幅值A1為基準，旋變輸出余弦信號幅值為A1(1+δ1)。以RDC 對正弦信號的放大倍數值A2為基準，RDC余弦輸入信號放大倍數為A2(1+δ2)。旋變正弦信號綜合放大倍數為A1×A2=A，余弦信號綜合放大倍數為A1(1+δ1)×A2(1+δ2)=A(1+δ)。則有RDC 跟蹤誤差e為：

其中：δ為幅值誤差，φ為RDC 解調角位置，θ為旋變實際角位置，K=Acos(ωt)×cos(ωt)，因δ遠小于1，式（1）化簡為：

RDC 閉環控制后，跟蹤誤差e趨于零，解調角位置φ變為：

因此，由幅值誤差δ導致的RDC 角度解算誤差為：

又因δ遠小于1，式（4）簡化為：

對應的角速度誤差為：

由式（6）可見，由幅值誤差導致的角速度誤差也是周期性誤差，誤差頻率為角速度的2 倍，誤差大小為角速度與幅值誤差的乘積。

3.2 旋變正交誤差

正交誤差是指由旋變正余弦輸出信號不正交和RDC 采樣相位差造成的旋變測量誤差。

假定以旋變輸出正弦信號為基準，旋變輸出余弦信號的相位偏移為Δ1θ。以RDC 對正弦信號的采樣相角基準，RDC 對余弦輸入信號的相位偏移為Δ2θ。旋變余弦信號相位偏移為Δ1θ+Δ2θ=Δθ，也稱為旋變正交誤差，則由正交誤差引起的RDC 跟蹤誤差為：

其中：?θ為正交誤差，φ為RDC 解調角位置，θ為旋變實際角位置，K=Acos(ωt)×cos(ωt)，因Δθ遠小于1，則式（7）化簡為：

RDC 閉環控制后，公式（8）趨于零，則解調角位置φ為：

因此，由旋變正交誤差Δθ導致的RDC 角位置解算誤差為：

對應角速度誤差為：

由上式可見，正交誤差引起的角速度誤差也是周期性誤差，誤差頻率為角速度的2 倍，誤差大小為角速度與相角誤差的乘積。

幅值誤差、正交誤差等反應在速度頻譜上表現為旋變轉頻的二倍頻，統稱為二次諧波誤差，其為旋變測角誤差的主要成分，占比達到85%以上［10］。

4 二次諧波誤差校正方法

旋變二次諧波角速度誤差可用下式表示

其中：Acs為誤差幅值，α為初始相角?為角速度。

由第3 節旋變誤差分析可知，旋變幅值誤差δ?cos (2θ)和正交誤差?θ?sin(2θ)是互不相關的二次諧波角速度誤差。反過來講，對旋變輸出正余弦信號的幅值之比進行調節，假設調節量為Acos，則可產生二次諧波角速度誤差的余弦校正量為：

對旋變輸出正余弦信號的相位偏移進行調節，假設調節量為Asin，可產生二次諧波角速度誤差的正弦校正量：

因余弦校正量和正弦校正量互不相關，可分別進行校正，即：

由式（15）解算，當Acos和Asin滿足如下條件時：

可實現對二次諧波角速度誤差的校正。

4.1 幅值誤差校正

在旋變余弦輸出信號與RDC 間加入幅值調節器，如圖2 所示，調節系數設為Ac，則RDC 跟蹤誤差由公式（1）變為：

圖2 旋變幅值誤差校正原理圖Fig.2 Principle block diagram of correcting amplitude error

可得，RDC 解調角位置φ=θ，解調角位置φ跟蹤旋變角位置θ，由幅值誤差δ引起的RDC 角度解算誤差變為零。

4.2 正交誤差校正

使用幅值調節器可以方便地調節旋變輸出信號的幅值，實現幅值誤差的校正。而在不影響幅值的前提下，難以通過單一輸出信號的處理來調節旋變兩個輸出信號的相位差。

為此，提出一種交叉調節方法，如圖3 所示，將旋變輸出正弦信號乘以正交校正系數Aθ與旋變輸出余弦信號相加后，引入到RDC 余弦輸入端，正交誤差引起的RDC 跟蹤誤差由公式（7）變為：

因?θ遠小于1，式（19）可化簡為：

圖3 旋變正交誤差校正原理圖Fig.3 Principle block diagram of correcting quadrature error

由旋變正交誤差Δθ導致的RDC 角位置解算誤差為：

當正交校正系數為Aθ等于旋變正交誤差Δθ時，可實現正交誤差校正。

4.3 誤差校正參考

上文講述了二次諧波誤差的校正方法。而觀測誤差是校正誤差的前提。在此提出一種測角諧波誤差自校正方法，無需第三方高精度測角傳感器標定。首先，控制框架電機勻速旋轉，則旋變二次諧波誤差頻率固定，為轉頻的2 倍。根據定常線性系統的頻率保持性，旋變二次諧波誤差頻率反應在轉速頻譜上也為轉頻的2 倍，且此頻率的幅值可表征旋變二次諧波誤差大小。

圖4 所示為基于旋變測角的伺服控制系統，Rp為二次諧波測角誤差，Rv為等效二次諧波角速度誤差，νout為根據RDC 測角進行微分得到的角速度，C（s）為Rv到νout的傳遞函數，則νout中Rv引起的誤差成分為：

圖4 基于旋變測角的伺服控制系統框圖Fig.4 Block diagram of servo control system using resolver

設定伺服系統指令角速度為ω，帶入公式（12），則有旋變二次諧波角速度誤差為：

傳遞函數C（s）在2ω處的頻率特性可表示為：

將公式（23）和公式（24）帶入公式（22）得：

由公式（25）可見，根據定常線性系統的頻率保持性，系統在簡諧信號Rv的激勵下，所產生的穩態輸出νout_Rv也是簡諧信號。對νout其進行FFT 變換，在頻譜結果中νout_Rv表現為頻率為ω/π幅值為A(2ω)Acs的特征頻率。此特征頻率可表征二次諧波測角誤差Rp的大小。在公式（25）中只要獲知特征頻率值，然后以頻譜結果中此特征頻率的幅值為參考，分別調整幅值調節系數Ac和相角調節系數Aθ，降低直至消除旋變二次諧波誤差的正弦分量和余弦分量，進而消除旋變二次諧波誤差。

5 仿 真

按照圖4 控制系統框圖，根據第2 節旋變解調原理建立旋變及RDC 的仿真模型。旋變為粗精機雙通道型，精機極對數為32。設定旋變精機幅值誤差為0.02，正交誤差也為0.02。伺服控制器使用速度-電流雙閉環控制方法，依據RDC 輸出微分得到的檢測轉速與指令轉速之差運算得出控制量，控制伺服電機驅動CMG 框架跟蹤指令轉速23 （°）/s 穩速旋轉。

未校正的CMG 框架轉速仿真曲線圖如圖5所示，因為旋變精機幅值誤差及正交誤差的存在，CMG框架實際轉速存在頻率為4.09 Hz的波動，波動幅值為0.63 （°）/s。CMG 框架旋變測量轉速也存在頻率為4.09 Hz的波動，波動幅值為0.15 （°）/s。

圖5 未校正時CMG 框架轉速仿真曲線Fig.5 Simulation of CMG gimble speed without calibration

因CMG 框架伺服系統以旋變測量轉速作為速度反饋，旋變測量誤差經伺服控制器后形成錯誤的控制量，進而導致CMG 框架的實際轉速中產生與旋變測量誤差頻率一致的速率波動，而此速率波動與旋變自身測量誤差部分抵消，造成框架實際轉速速率波動大于旋變測速速率波動。

5.1 幅值誤差校正仿真

在仿真模型中增加如3.1 節的幅值誤差校正環節，將幅值誤差校正系數Aθ設置為1/1.02，CMG 框架轉速仿真結果如圖6 所示，實際轉速速率波動幅值為0.45 （°）/s，旋變測量轉速速率波動幅值為0.11 （°）/s。速率波動量均比未校正時下降29%左右。

圖6 幅值誤差校正后CMG 框架轉速仿真曲線Fig.6 Simulation of CMG gimble speed after correcting amplitude error

5.2 正交誤差校正仿真

在仿真模型中增加如3.2 節的正交誤差校正環節，將正交誤差校正系數Aθ設置為0.02，CMG 框架轉速仿真結果如圖7 所示，實際轉速波動幅值為0.004 3 （°）/s，旋變測量轉速波動幅值為0.001 1 （°）/s。速率波動量均比未校正時下降99%以上。

圖7 正交誤差校正后CMG 框架轉速仿真曲線Fig.7 Simulation of CMG gimble speed after correcting quadrature error

6 實 驗

在某CMG 產品上進行旋變二次諧波誤差校正試驗，其旋變選用粗精機雙通道型，精機極對數為32。伺服控制器使用速度-電流雙閉環方法，依據RDC 輸出經過微分器得到的檢測轉速與指令轉速之差運算得出控制量，控制伺服電機驅動CMG 框架跟蹤指令轉速23 （°）/s 穩速旋轉。

低速框架的旋變測量角速度頻譜結果如圖8所示，最高峰值頻率為4.09 Hz，即為旋變測角的二次諧波誤差，其幅值為0.116 5 （°）/s。除二次諧波外，四次、八次諧波和電機磁槽諧波幅值也較明顯。

圖8 未校正時CMG 框架旋變測量轉速頻譜圖Fig.8 Spectrum curve of measured speed of CMG gimble without calibration

6.1 幅值校正

如圖9 所示，使用比例放大器搭建幅值誤差校正器，放置于旋變精機正弦輸出和RDC 之間。伺服電機驅動CMG 框架以23 （°）/s 轉速旋轉。對旋變測量轉速進行頻譜分析。調整同向放大器放大系數，使頻譜結果中4.09 Hz 頻率的幅值下降到不能再小為止。此時的旋變測速曲線頻譜如圖10 所示，進行幅值校正后，旋變測得的二次諧波誤差幅值降為0.102 （°）/s。

圖9 旋變誤差校正結構框圖Fig.9 diagram of resolver error corrector

圖10 幅值誤差校正后CMG 框架旋變測量轉速頻譜圖Fig.10 Spectrum curve of measured speed of CMG gimble after correcting amplitude error

6.2 正交校正

在幅值校正的基礎上進行正交校正試驗。如圖10 所示，使用運算放大器搭建加法器，將精機余弦輸出疊加到精機正弦輸出上，構成交叉調節相角校正器。伺服電機驅動CMG 框架以23（°）/s 轉速旋轉。對旋變測量轉速值進行頻譜分析。調整加法器中精機余弦輸出的電阻阻值，即調整正交校正系數，使頻譜結果中4.09 Hz 頻率的幅值下降到不能再小為止。

此時的旋變測速曲線頻譜如圖11 所示，進行正交校正后，旋變測得的二次諧波誤差幅值降為0.0250 6（°）/s，比未進行任何校正時降低78.5%。同時旋變四次諧波幅值比校正前也有明顯下降。存在殘余二次諧波誤差的原因是手動調節電位器阻值精度所限。

圖11 正交誤差校正后CMG 框架旋變測量轉速頻譜圖Fig.11 Spectrum curve of CMG gimble’s measured speed after correcting quadrature error

二次諧波誤差校正前后的旋變測速曲線如圖12 所示，校正前的速率穩定度為0.335 （°）/s，校正后的速率穩定度為0.199 （°）/s，波動量降低40.5%。殘余波動主要由伺服電機電磁擾動、外部擾動力矩、旋變測速噪聲等引起。

圖12 二次諧波誤差校正前后的旋變測速曲線對比Fig.12 Comparison of measured speed before and after correcting Second harmonic error

7 結 論

為補償旋變正交誤差和幅值誤差，本文提出了基于特征頻率參考的旋變二次諧波誤差自校正方法。在旋變和RDC 之間加入幅值校正和正交校正環節。控制CMG 框架定轉速旋轉，對RDC 輸出進行微分得到的轉速進行頻譜分析。參考頻譜中二次諧波幅值調整幅值校正器和相角校正器，對旋變的測角誤差進行自校正。本方法在CMG 產品上進行了試驗，試驗結果表明，旋變二次諧波測角誤差幅值降低了78.5%，伺服系統速率波動量降低了40.5%。大幅提升了旋變測角精度和伺服系統的轉速度穩定度。