基于四水聽器的充水彈性管聲速測量方法?

尋天雨 鄒新宇 郁高坤

(中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)部 青島 266100)

0 引言

水聲材料是水聲技術(shù)研究的熱點(diǎn)。對水聲材料聲學(xué)參數(shù)的測量是研究的基礎(chǔ)[1]，而對水聲材料低頻聲學(xué)特性的測量是一個難點(diǎn)[2]。目前，在實(shí)驗(yàn)室中水聲材料聲學(xué)性能參數(shù)的測量主要在水聲聲管中進(jìn)行，它能夠以小尺寸樣品來近似橫向大尺寸的測量結(jié)果[3]，能夠進(jìn)行低頻段的測量，同時具有測試系統(tǒng)簡單、性能穩(wěn)定等特點(diǎn)。在聲管中通過平面波來測量水聲材料的聲學(xué)性能參數(shù)，而想要正確測量這些參數(shù)，首先要知道管內(nèi)平面波聲速。

當(dāng)聲管管壁為剛性邊界時，在平面波截止頻率以下管內(nèi)只存在平面波，其傳播的相速度和群速度都等于水中自由空間的聲速[4]。因此，為保證管壁的剛性，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定水聲聲管管壁為鋼材料且壁厚要不小于管的內(nèi)半徑[5]。而在實(shí)際應(yīng)用中，管壁的材料具有彈性，并不能當(dāng)作剛性邊界，管壁振動產(chǎn)生的彈性波會對管內(nèi)水中聲波產(chǎn)生影響，使得管內(nèi)平面波聲速不再等于水中自由空間的聲速，管壁厚度、管壁材料等都會影響聲速大小，因此準(zhǔn)確地測量管內(nèi)聲速尤為重要。

對于聲管內(nèi)平面波聲速的測量，傳統(tǒng)的方法主要是駐波法[6]和脈沖法[7-8]。駐波法利用聲波的干涉，通過找到相鄰兩個聲壓極大值之間的距離來確定聲速[9]，要求長距離的高精度測量，操作復(fù)雜；脈沖法是利用固定位置處傳感器接收信號的相位差來確定聲速，傳感器的位置的選取要避免波干擾，需要精確測量時間差，而實(shí)驗(yàn)頻段較高，容易產(chǎn)生誤差。后來，有研究相繼利用頻響函數(shù)法測量管內(nèi)聲速[10-12]，通過聲壓頻響曲線的峰峰值的頻差來確定聲速，但該方法要求不同傳感器到邊界的距離差別要足夠大，否則頻響曲線不存在明顯的峰峰值。Mo等[13]提出基于4 個傳感器傳輸矩陣的迭代方法，該方法不局限于特定的邊界條件，能夠準(zhǔn)確測得管內(nèi)空氣中聲速。關(guān)于管內(nèi)不同傳播模式聲波的研究，通過在管道中軸向移動水聽器，提供均勻間隔的聲場采樣來區(qū)別不同模式的聲波[14-19]，該方法用于測量管內(nèi)平面波聲速過程也過于繁瑣。

本文提出一種基于4 個固定位置處的水聽器結(jié)合不同邊界的水聲聲管聲速測量方法，該方法無需知道4 個水聽器到邊界的精確距離，通過單頻連續(xù)信號進(jìn)行測量，具有操作簡單、性能穩(wěn)定、時間短的優(yōu)點(diǎn)。文中對3 種不同邊界下管內(nèi)平面波聲速進(jìn)行測量，同時為驗(yàn)證測量方法的準(zhǔn)確性，給出管內(nèi)平面波聲速的理論值和仿真值，并與測量結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 聲速測量原理

本文給出4個水聽器結(jié)合不同邊界的方法來測量聲管中平面波聲速，通過改變聲管末端邊界條件，計(jì)算聲管末端入射聲壓的方法，即一個邊界條件下，在不同位置測量的結(jié)果應(yīng)該是相同的，這樣就可以建立一個方程，多個邊界條件，就有多個方程，通過最小二乘的方法，確定給定頻率下的聲速。

如圖1 所示，聲管沿軸向坐標(biāo)定義為z，聲管末端設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，入射波沿z軸正向傳播，聲管末端放置不同的邊界。其中，A表示聲管內(nèi)入射波在聲管末端的聲壓(復(fù)聲壓)，B表示聲管內(nèi)反射波在聲管末端的聲壓(復(fù)聲壓)；假設(shè)從入射波方向的4 個水聽器分別為1號、2 號、3 號、4 號水聽器，它們測得的聲壓分別為P1、P2、P3、P4，4 個水聽器的坐標(biāo)分別為Z1、Z2、Z3、Z4，L1、L2、L3分別表示水聽器兩兩之間的距離。時間因子取e-jωt根據(jù)管內(nèi)平面波傳播公式，可得

圖1 聲管平面波聲速測量原理Fig.1 The principle of sound velocity measurement of the plane wave in a sound tube

其中，k=2πf/c0表示波數(shù)，f為測試頻率，c0為聲管中平面波的傳播速度。

通過式(1)、式(2)可以求出聲管末端的入射波和反射波聲壓為

將兩組水聽器分別得到的入射波相等并化簡，得到式(5)：

其中，Z2-Z1=L1，Z4-Z3=L3，Z4-Z2=L2+L3。可以看出，在入射波關(guān)系式中只有不同水聽器之間的距離量，避免實(shí)驗(yàn)中各水聽器與聲管末端的距離測量帶來的誤差。

在不同的末端邊界下，利用兩組水聽器分別得到的入射波應(yīng)該是相等的，都可以得到式(5)的關(guān)系式，主要處理方法如式(6)所示，將式(5)兩邊相減，在每一頻率下，通過變化聲速c0，使得二者差值的平方最小的c0即為管中聲速，這相當(dāng)于給出了一種通過改變邊界條件測量聲管中平面波聲速的方法，且該方法在任意一種邊界條件下均可測量聲速。

2 聲速測量結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)室的充水彈性管中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)所用聲管和各邊界如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)條件Fig.2 Experimental conditions

實(shí)驗(yàn)室的充水彈性管如圖2(a)所示，管壁材料為不銹鋼，與圖1 原理圖中結(jié)構(gòu)相同，聲管長3.2 m，內(nèi)外半徑分別為0.07 m和0.135 m，4個水聽器中兩兩之間的距離分別為：L1=0.15 m、L2=1.2 m、L3=0.1 m。實(shí)驗(yàn)中采用3 種邊界：硬邊界、吸聲邊界和軟邊界。硬邊界如圖2(b)所示，下部分為鋼，上部分為橡膠，橡膠用于減少鋼的振動；吸聲邊界如圖2(c)所示，為吸聲橡膠；軟邊界對應(yīng)于上管口為水-空氣界面。

實(shí)驗(yàn)過程中，聲源信號采用連續(xù)正弦信號，利用單頻信號進(jìn)行測量，頻段為1200～4000 Hz，頻率間隔為50 Hz。在不同邊界下，利用NI 采集系統(tǒng)同時采集4 個水聽器的聲壓信號，系統(tǒng)采樣率為100 kHz，根據(jù)式(6)的方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理結(jié)果如圖3 所示。圖3 中縱坐標(biāo)c0為管內(nèi)水中平面波聲速，橫坐標(biāo)f為頻率，圓圈標(biāo)記的紅色點(diǎn)線代表硬邊界下的聲速結(jié)果，正方形標(biāo)記的黑色點(diǎn)線代表吸聲邊界下的聲速結(jié)果，菱形標(biāo)記的藍(lán)色點(diǎn)線代表軟邊界下的聲速結(jié)果。實(shí)驗(yàn)是在2022年5月進(jìn)行的3 種邊界的實(shí)驗(yàn)在相鄰兩天內(nèi)完成，在實(shí)驗(yàn)過程中溫度是相對穩(wěn)定的。可以看出，在實(shí)驗(yàn)頻段內(nèi)，3種邊界下測得的聲速結(jié)果基本是一致的，每一頻率點(diǎn)下的不同邊界的結(jié)果都在一定值附近。對不同邊界下實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析對比，表1 給出了不同邊界下聲速測量結(jié)果的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。可以看出，3種邊界下聲速測量結(jié)果的平均值幾乎是一致的；方差、標(biāo)準(zhǔn)差用來衡量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的波動大小；A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度[20]用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征，它表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信賴程度。可以看出，在3 種邊界下，聲速測量結(jié)果都很穩(wěn)定可靠，說明測量結(jié)果不受邊界的影響，該方法可以在任一種邊界下測量管內(nèi)平面波聲速。

表1 不同邊界下實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析Table 1 Analysis of the measurement results of different boundaries

在該方法中，雖然利用每組水聽器即可分離出平面波入射波和反射波，同時得到邊界的反射系數(shù)，但是考慮實(shí)際操作，每次邊界懸掛時傾斜程度、位置等均會有差異，導(dǎo)致反射波會有差異，處理結(jié)果不穩(wěn)定，而入射波由聲源持續(xù)發(fā)出，信號穩(wěn)定，所以處理過程采用入射波更加合理。

3 聲速測量方法的驗(yàn)證

圖3 的結(jié)果說明了本文方法在不同邊界下聲速測量結(jié)果的一致性。為驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，對彈性管內(nèi)聲場進(jìn)行分析計(jì)算，得到管內(nèi)平面波聲速的理論值以及利用有限元軟件對聲速測量方法進(jìn)行仿真得到聲速仿真值，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，仿真值與理論值具有很好的一致性，同時實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真值之間的誤差很小。

3.1 聲速的數(shù)值計(jì)算與仿真值

設(shè)有外半徑為a、內(nèi)半徑為b的無限長彈性圓柱管，管外壁為真空，管內(nèi)為水，密度為ρ，聲速為c，管壁材料密度為ρs，縱波聲速為橫波聲速為λ和μ是拉密常數(shù)。圓柱管沿圓柱軸向坐標(biāo)定義為z，圓柱體橫截面上的徑向坐標(biāo)定義為r，θ定義為角度坐標(biāo)，在聲源軸對稱激勵下，管中聲場與極角θ無關(guān)，忽略時間因子e-jωt。設(shè)管內(nèi)水中聲壓為p，管壁采用位移勢Φ和Ψ=(Ψr,Ψz,Ψθ)T表示縱向勢標(biāo)量和橫向勢矢量，它們均滿足齊次亥姆霍茲方程，在軸對稱情況下相應(yīng)的解可以寫為

當(dāng)0 ≤r≤b時，水中聲場：

當(dāng)b≤r≤a時，彈性管壁中的聲場：

其中，kz=ω/c0表示軸向波數(shù)，c0為管內(nèi)聲速，kr、klr、ktr表示軸向波數(shù)。

在r=a處，管外壁為固體-真空自由邊界，聲場滿足切應(yīng)力和正應(yīng)力為0 的條件，如式(10a)和式(10c)所示。

在r=b處，管內(nèi)壁為水-固體邊界，聲場滿足應(yīng)力和位移連續(xù)性的條件，如式(10b)、式(10d)和式(10e)所示。

其中，管壁固體材料中的位移u=(ur,uθ,uz)T和應(yīng)力分量σrz、σrr可通過位移勢Φ和Ψ計(jì)算出來，具體形式見附錄A。將應(yīng)力和位移代入邊界條件并寫成矩陣形式為

其中，Q是一個5×5 的矩陣，它所有元素在附錄B中給出。管內(nèi)平面波聲速通過式(11)求解，在不同頻率下，在一定范圍內(nèi)變化聲速c0得到不同的系數(shù)矩陣Q，通過對Q進(jìn)行奇異值分解，使得Q的最小奇異值最接近于0的c0即為實(shí)際聲速。

同時，利用有限元仿真軟件根據(jù)實(shí)驗(yàn)室充水彈性管的實(shí)際參數(shù)進(jìn)行仿真，取出4 個水聽器處的總聲壓，通過本文的方法進(jìn)行處理得到管內(nèi)聲速的仿真值，仿真各參數(shù)見表2。

表2 充水彈性管仿真參數(shù)Table 2 Parameters of the water-filled elastic tube in simulation

將仿真值與式(11)計(jì)算的嚴(yán)格理論值進(jìn)行對比，如圖4 所示。圖中黑色實(shí)線代表聲速的理論值，藍(lán)色點(diǎn)劃線代表聲管外壁為自由邊界條件下的聲速仿真結(jié)果，紅色實(shí)線代表聲管外壁鋪設(shè)0.05 m 厚的橡膠條件下的仿真結(jié)果。其中，理論值為無限長聲管內(nèi)的平面波聲速結(jié)果，而實(shí)際聲管為有限長度，可以看出，在管外壁自由條件下的聲速仿真值與理論值吻合得很好，只是在個別頻率處存在跳變點(diǎn)；而當(dāng)管外壁鋪設(shè)橡膠后，這些頻率的跳變消失，同時橡膠的加入對聲速值產(chǎn)生的誤差小于1 m·s-1，可忽略不計(jì)，仿真值與理論值的一致性說明了本文所提出的聲速測量方法是正確的。考慮在管外壁自由條件下聲速的跳變點(diǎn)是由于聲管為有限長度，管壁振動產(chǎn)生的影響，而外壁的橡膠能夠抑制管壁的振動，使得頻散曲線變得平滑。

圖4 充水彈性管內(nèi)平面波聲速的理論值與仿真值Fig.4 Theoretical value and simulation value of the sound velocity of plane wave in the water-filled elastic tube

3.2 軟邊界下聲速驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)室聲管中重復(fù)進(jìn)行了軟邊界條件下的聲速測量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)時間為2022 年7 月7 日，同時測量水溫T=26.5?C，根據(jù)純水中聲速的經(jīng)驗(yàn)公式[21]計(jì)算自由空間聲速為1500.65 m·s-1，利用式(6)處理得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與自由空間聲速、聲速仿真值對比得到圖5。圖中黑色虛線表示自由空間下的聲速，紅色實(shí)線表示聲速的仿真值，菱形標(biāo)記的藍(lán)色點(diǎn)線表示軟邊界下的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。可以看出，非剛性管壁聲管內(nèi)平面波聲速小于自由空間的聲速，說明管壁鋼材料的振動會影響管內(nèi)平面波聲速，聲速的測量值與仿真值結(jié)果相近，說明實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖5 軟邊界下管內(nèi)平面波聲速的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Fig.5 Experimental verification of the sound velocity of plane wave in the tube with soft boundary

將實(shí)驗(yàn)得到的聲速結(jié)果代入式(3)、式(4)，利用r=B/A=|r|ej?1，兩組水聽器分別得到軟邊界的反射系數(shù)，與仿真值對比，如圖6 所示。圖6(a)和圖6(b)分別對應(yīng)軟邊界反射系數(shù)幅值|r|和相位?1，其中，紅色實(shí)線代表仿真結(jié)果，圓圈標(biāo)記的藍(lán)色點(diǎn)線代表1 號、2 號水聽器的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果，四方形標(biāo)記的黑色點(diǎn)線代表3 號、4 號水聽器的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。軟邊界的反射系數(shù)r=-1，即|r|=1，?1=π，從圖6 可以看出，反射系數(shù)的仿真結(jié)果完全符合軟邊界條件，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，3 號、4號水聽器得到的反射系數(shù)幅值和相位非常接近于1和π，1號、2 號水聽器得到的反射系數(shù)幅值在1 附近波動，反射系數(shù)相位非常接近于π。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析Table 3 Analysis of the measurement results

圖6 軟邊界反射系數(shù)的仿真值與測量結(jié)果Fig.6 Simulation value and measurement result of the reflection coefficient of soft boundary

為清晰地分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表3 給出聲速和反射系數(shù)測量結(jié)果的誤差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及不確定度參數(shù)分析。從表3 可以看出，聲速的測量結(jié)果誤差很小，平均相對誤差僅為0.51%，說明了本文測量方法的有效性；同時聲速測量結(jié)果的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度都很小，說明了測量具有很好的穩(wěn)定性；反射系數(shù)的測量結(jié)果的誤差也很小，其中，1 號、2 號水聽器反射系數(shù)值的相對誤差最大，為7.29%，其他的結(jié)果相對誤差都在3%以下，同時反射系數(shù)的測量結(jié)果穩(wěn)定性很好。

反射系數(shù)測量結(jié)果存在誤差的原因考慮是水聽器靈敏度的影響，不同位置水聽器的靈敏度不同，會產(chǎn)生一定的幅度誤差和相位誤差，該實(shí)驗(yàn)中1 號、2 號水聽器存在一定的幅度誤差，使得軟邊界反射系數(shù)幅值的測量值與1 有偏差，但其能夠說明實(shí)驗(yàn)測量過程和結(jié)果的準(zhǔn)確可靠性；同時能夠表現(xiàn)出本文方法具有很好的魯棒性，在水聽器靈敏度存在差異時仍能夠測量出管內(nèi)的聲速。對于水聽器兩兩之間距離測量誤差對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，從式(6)可以看出，水聽器兩兩之間的距離通過e 的復(fù)指數(shù)對結(jié)果產(chǎn)生影響，假設(shè)水聽器相對距離的真實(shí)值為Ls，測量值為Lc，則在實(shí)驗(yàn)中用卷尺對水聽器的相對距離進(jìn)行測量，卷尺的精度為1 mm，同時實(shí)驗(yàn)在低頻段進(jìn)行測量，即f/c0較小，將實(shí)驗(yàn)頻段中心頻率代入估算相位的變化很小，說明水聽器相對位置的測量誤差對聲速測量結(jié)果影響很小。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的聲管平面波聲速測量方法，利用4個固定位置處的水聽器，采用最小二乘的方法，使得兩組水聽器分別得到的聲管末端入射波聲壓差值的平方最小的聲速即為管內(nèi)平面波聲速。該方法具有很好的魯棒性，在水聽器靈敏度存在差異時仍能夠得到很好的結(jié)果；通過單頻信號進(jìn)行測量，在每一頻率點(diǎn)均可得到聲速值；不受末端邊界條件的影響，可以在任一種邊界下進(jìn)行測量；該方法只與水聽器兩兩間的距離有關(guān)，無需精確測量每個水聽器到邊界的距離；實(shí)驗(yàn)中只需懸掛不同邊界，同時采集4個水聽器的接收信號，實(shí)驗(yàn)操作簡單、時間短，為管內(nèi)聲速的實(shí)時測量提供一個很好的方法。

附錄A

在柱坐標(biāo)系下，軸對稱情況下管壁固體材料中的位移u=(ur,uθ,uz)T和應(yīng)力分量σrz、σrr為

其中，εrz、εrr、εθθ、εzz表示應(yīng)變，在柱坐標(biāo)系下，它們與固體中位移的關(guān)系為

附錄B

5×5 的矩陣Q的所有元素為