磁電彈性材料中含有帶四條裂紋的正方形孔的反平面斷裂問題

徐 燕, 楊 娟

(1.寧夏大學(xué)新華學(xué)院，銀川 750021; 2.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川 750021;3.寧夏大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002)

0 引言

隨著高科技和新型材料系統(tǒng)的快速發(fā)展，磁電彈體因具有優(yōu)越的磁–電–力多場(chǎng)耦合效應(yīng)，在工程結(jié)構(gòu)中得到了越來越多的應(yīng)用，尤其是在“智能”材料和“智能”結(jié)構(gòu)中。這些“智能”材料已廣泛應(yīng)用于電子封裝、傳感器和執(zhí)行器、磁場(chǎng)探頭、聲學(xué)和超聲波設(shè)備、水聽器和傳感器等設(shè)備，負(fù)責(zé)電–磁–機(jī)械能量轉(zhuǎn)換[1]。由于磁電彈性材料本身屬于脆性材料，具有較低的斷裂韌性，在受到外載荷作用時(shí)極易導(dǎo)致缺陷處應(yīng)力集中，引起裂紋萌生且擴(kuò)展，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷[2]。因此，研究磁電彈性材料的相互作用和斷裂力學(xué)行為具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

近年來，磁電彈性層狀或功能梯度材料的斷裂力學(xué)引起了力學(xué)、材料學(xué)及數(shù)學(xué)等學(xué)科工作者的廣泛關(guān)注，并發(fā)表了很多研究成果[3–6]。文獻(xiàn)[7–9]研究了磁電彈性材料中圓形、橢圓形及唇形孔產(chǎn)生的邊緣裂紋問題的嚴(yán)格解。文獻(xiàn)[10]研究了磁電彈性體中螺旋位錯(cuò)和斜邊裂紋之間的相互作用。文獻(xiàn)[11]基于電磁彈性材料的基本方程和解析理論，得到了無限磁電彈性固體中多個(gè)平行螺位錯(cuò)與半無限裂紋相互作用的廣義應(yīng)力場(chǎng)的閉合形式解。文獻(xiàn)[12]基于Stroh 公式揭示了無限大壓電體中正n邊形孔邊裂紋的斷裂特性，文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步得到正n邊形孔口缺陷在磁電彈性材料中的解析解。但是關(guān)于磁電彈性中正方形孔帶四條裂紋的反平面問題研究目前尚未見報(bào)道。

1 磁電彈性材料基本方程

選取x3軸的正方向作為磁電極化方向，與x3軸垂直的坐標(biāo)面x1ox2作為各向同性平面，則磁電復(fù)合材料控制方程為[13]

2 正方形孔缺陷問題的解析解

2.1 問題的描述與保角映射

如圖1 所示，在磁電彈性材料中包含一個(gè)具有四條裂紋的正方形孔口缺陷沿x3方向穿透，其中a表示孔口的邊長(zhǎng)，L1和L2分別表示水平方向的裂紋長(zhǎng)度，L3表示垂直方向裂紋長(zhǎng)度。假設(shè)磁電彈性材料在無窮遠(yuǎn)場(chǎng)受到沿x3方向的均勻縱向剪切應(yīng)力τ、面內(nèi)電載荷D∞2及磁載荷B∞2作用。由線彈性理論可知，此問題可以轉(zhuǎn)化為磁電彈性材料在無窮遠(yuǎn)場(chǎng)不受力，只在正方形孔口及裂紋表面上受到沿磁電極化方向的彈、電、磁的作用。本文只考慮磁電非滲透邊界條件，可表示為

圖1 磁電彈性材料中帶四條裂紋的正方形孔缺陷的力學(xué)模型

其中N代表正方形孔口和裂紋的邊界。

將式(6)代入式(5)，得

為了易于求解以上初邊值問題，由文獻(xiàn)[15]可知，首先將z平面上正方形孔外保角變換到z1平面圓外，公式如下

其中R ≈0.591 4a。

進(jìn)一步應(yīng)用共形映射[16]，將μ平面上帶有四條裂紋的圓孔外保角變換到ζ平面上單位圓內(nèi)。為得到如圖2 所示的一系列變換，于是有如下復(fù)合保角映射函數(shù)

圖2 保角映射原理圖

式(10)中的正實(shí)參數(shù)εi(i=1,2,3)可表示為

這里令

引入記號(hào)ψi(ζ)=Fi(z)=Fi(ω(ζ)),i=1,2,3，則有

將式(14)代入式(7)，其中點(diǎn)ζ=σ= eiθ(點(diǎn)ζ屬于單位圓周?)，且公式兩邊同時(shí)乘以dσ/2πi(σ ?ζ)。沿圓周?積分，可以得到如下關(guān)系式

這里令

由Cauchy 積分公式和留數(shù)定理可得

把式(16)代入式(15)，可得

求解線性方程組，得

其中

將上述結(jié)果和單位圓周?上的點(diǎn)ζ=σ=eiθ代入式(6)，可得

2.2 場(chǎng)強(qiáng)度因子

結(jié)合式(16)的第三個(gè)式子，對(duì)式(20)求極限，可得

因此，式(21)可化簡(jiǎn)為

2.3 能量釋放率

根據(jù)文獻(xiàn)[18]得到在磁電非滲透邊界條件下的能量釋放率的計(jì)算公式為

其中

將式(25)和式(27)代入式(26)，可得

其中

這一結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中相應(yīng)結(jié)果一致。

3 數(shù)值算例

本文使用的材料常數(shù)與文獻(xiàn)[13]中相同，取臨界能量釋放率為Gr=5.0 N/m。圖3 至圖5 顯示K隨L1、L2和L3增加的變化趨勢(shì)。圖3(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，當(dāng)L2和L3固定而a取不同值，隨著L1的增加，K先急劇增加，然后緩慢下降，最后趨于穩(wěn)定。圖4(L1= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，當(dāng)L1和L3固定而a取不同值，隨著L2的增加，K增加的速度比較緩慢。從圖5(L1=0.005 m,a=0.01 m)可以得到：

圖3 等效場(chǎng)強(qiáng)度因子K 隨L1/a 的變化

圖4 等效場(chǎng)強(qiáng)度因子K 隨L2/a 的變化

圖5 等效場(chǎng)強(qiáng)度因子K 隨L3/a 的變化

圖6 等效場(chǎng)強(qiáng)度因子K 隨a/L1 的變化

圖7 能量釋放率G/Gr 隨a/L1 的變化

1) 當(dāng)L2/L1＜1 時(shí)，曲線變化表明L3的增加會(huì)促進(jìn)L2對(duì)應(yīng)裂紋的擴(kuò)展；

2) 當(dāng)L2/L1＞1 時(shí)，曲線變化表明L3的增加會(huì)阻止L2對(duì)應(yīng)裂紋的擴(kuò)展；

3) 當(dāng)L2/L1=1 時(shí)，曲線變化表明L3的增加對(duì)L2對(duì)應(yīng)裂紋的擴(kuò)展無影響。

圖8 至圖10 顯示在磁電非滲透邊界條件下，G/Gr隨τ、D0和B0的變化趨勢(shì)。圖8(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a= 0.01 m,D0= 2× 10?3C/m2,B0= 2×10?2N/Am)表明，當(dāng)所有裂紋幾何參數(shù)固定時(shí)，τ始終促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。圖9(L1=0.002 m,L2= 0.003 m,L3= 0.005 m,a= 0.01 m,B0= 2×10?2N/Am)表明，隨負(fù)電場(chǎng)絕對(duì)值的增大而減小，隨正電場(chǎng)先增大后減小。這說明負(fù)電載荷總是阻礙裂紋的擴(kuò)展，但正電載荷可能促進(jìn)或阻礙裂紋的擴(kuò)展。圖10(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a=0.01 m,τ= 4.2 MPa,D0= 2×10?3C/m2)表明，隨著B0的增加，G/Gr先增加后減小，變化趨勢(shì)呈拋物線狀。

圖8 能量釋放率G/Gr 隨τ 的變化

圖9 能量釋放率G/Gr 隨D0 的變化

圖10 能量釋放率G/Gr 隨B0 的變化

4 結(jié)論

本文基于解析函數(shù)邊值理論和平面彈性復(fù)變函數(shù)理論，通過利用保角映射技術(shù)，推導(dǎo)出磁電彈體中一類復(fù)雜孔邊缺陷問題的斷裂參量的顯式表達(dá)式。為了更好地理解理論結(jié)果，給出了數(shù)值計(jì)算來說明可變幾何、材料參數(shù)和所受載荷對(duì)裂紋擴(kuò)展參數(shù)的影響規(guī)律。并得到以下一些有用的結(jié)論：

1) 水平裂紋(左、右裂紋)長(zhǎng)度和孔口尺寸的增加總會(huì)引起裂紋擴(kuò)展，容易導(dǎo)致電磁材料的失效；水平右裂紋長(zhǎng)度對(duì)等效場(chǎng)強(qiáng)度因子的影響強(qiáng)于左裂紋，這說明孔口裂紋擴(kuò)展受右裂紋長(zhǎng)度的影響更大；

2) 垂直裂紋的存在對(duì)水平裂紋的應(yīng)力集中影響很大，垂直裂紋長(zhǎng)度的增加可以促進(jìn)或延緩水平裂紋的擴(kuò)展，這與水平裂紋的長(zhǎng)度密切相關(guān)；

3) 對(duì)于磁電非滲透情況，機(jī)械載荷始終促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展；電場(chǎng)作用可以促進(jìn)或阻止裂紋增長(zhǎng)；磁載荷對(duì)裂紋的擴(kuò)展的影響規(guī)律與電場(chǎng)相類似，主要依賴于所施加的機(jī)電載荷組合的大小。