感應電動機群分組及聚合算法的比較分析

張思陽，陳宇杰，楊浩伯，吳浩 ，鞠平

(浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027)

0 引 言

電力負荷作為電力系統的重要組成部分，負荷模型的精度對于電力系統仿真分析的準確性具有重要影響。感應電動機是電力系統中最常見的動態負荷，感應電動機群的等值是負荷建模工作的重要組成部分[1-6]。由于電力系統負荷中的感應電動機數量眾多、種類復雜，很難在穩定計算中考慮所有電動機的負荷模型。因此，電力系統仿真分析時通常將單個負荷節點下的眾多電動機等值為單臺或兩臺電動機來模擬整個電動機群的負荷特性[7]。

感應電動機群的等值方法包括分組及聚合兩個步驟。分組算法通常依據一個或多個特征指標對感應電動機群進行分組。依據單個特征指標的分組算法通常著眼于感應電動機的某一特性，計算過程較為簡便，如文獻[8]提出，電動機的電磁轉矩-滑差特性對電動機的動態特性有很大影響，可將電磁轉矩-滑差特性曲線較為相似的電動機劃分為一組。文獻[9]考慮到各電動機靜態臨界穩定特性的差異，定義臨界滑差與臨界電壓的比值為特征指標，將指標相近的電動機劃分為一組。文獻[3,10]提出電動機在電壓發生小干擾下的動態特性由其特征值決定，取電動機慣性時間常數與轉子電阻的乘積作為特征指標，指標相近的電動機劃分為一組。

依據多個特征指標對感應電動機群進行分組時還需選擇合適的分組方法，如文獻[11]選擇與電動機轉子電磁暫態特性相關的轉子特征值的阻尼比和與機械暫態特性相關的機械特征值的衰減率作為特征指標，基于k-均值聚類算法將電動機群分組。文獻[12]選擇感應電動機定子電阻、定子電抗、暫態開路時間常數等9個特征指標，使用自組織神經網絡將感應電動機群分組。文獻[13]選用感應電動機初始滑差、暫態開路時間常數、機械轉矩系數與轉子堵轉等值電抗的乘積等7個特征指標，由模糊c均值聚類算法對感應電動機群分組。

感應電動機的聚合是指確定等值電動機的負荷模型參數，使得等值電動機的外部特性與聚合前多臺并聯電動機的總體外部特性相同或相近[3]。文獻[14]假設所有電動機T型等值電路中性點直接并聯，以各電動機的容量為權值，等值電動機的參數為各電動機參數的加權和。文獻[15]在加權聚合計算中考慮了負載率和臨界滑差的影響對權值進行修正。文獻[10]在加權聚合計算中使用感應電動機轉子堵轉等值電抗和定子開路時間常數對權值進行修正。文獻[11]以等值前后電動機負荷具有相同的總吸收有功功率和無功功率、總電磁功率、總轉子銅耗、總最大電磁功率和總動能為原則將電動機群等值為一臺電動機。文獻[12,16]提出將電動機靜態電路等效為3個并聯阻抗，通過將同一母線下所有電動機的等值阻抗分別并聯后，再還原為一臺電動機。文獻[17,18]假設所有電動機同時處于空載和堵轉兩種極端狀態，依據等值前后總阻抗相等的原則計算等值電動機的負荷模型參數。

單個負荷節點下的感應電動機群中，各感應電動機類型及負荷模型參數各有不同，其負荷特性也存在較大差異，感應電動機群分組的特征指標及多臺感應電動機的聚合方法難以確定，目前仍未有公認的最佳等值方法。

本文選擇了較為經典的三種依據單個特征指標將感應電動機群分組的分組算法及三種電動機加權聚合法，比較分析了各方法的基本原理，而后采用交叉組合的方式將IEEE推薦的7種感應電動機等值，并在單負荷無窮大系統，比較分析了各等值方法的等值效果。

1 三階感應電動機模型

由于定子繞組的暫態過程對電力系統動態分析影響不大，因此電力系統機電暫態仿真一般采用忽略定子繞組電磁暫態過程的三階感應電動機模型[19,20]。感應電動機靜態等值電路如圖1所示。

圖1 感應電動機靜態等值電路圖

轉子電壓方程和運動方程如下：

式中：T'd0=(Xr+Xm)/Rr為定子開路時間常數；X=Xs+Xm為轉子開路電抗；X'=Xs+XrXm/(Xs+Xm)為轉子堵轉等值電抗；Rr、Xr、Xm、Xs分別為電動機轉子電阻、轉子電抗、激磁電抗和定子電抗，Tj為轉子慣性時間常數；ωr=1?s，s為轉子滑差；E'd、E'q分別表示感應電動機直軸暫態電勢和交軸暫態電勢；Id、Iq分別表示感應電動機定子直軸和交軸電流；TE、TM分別表示感應電動機電磁轉矩及機械轉矩，其方程見式(3)―(4)。

定子直軸和交軸電流Id和Iq方程為：

式中：Ud、Uq分別表示感應電動機直軸和交軸電壓；Rs為感應電動機定子電阻。

感應電動機電磁轉矩TE和機械轉矩TM分別為

式中：T0為穩態機械轉矩；A、B、C為機械轉矩系數，滿足Aω02+Bω0+C=1，ω0=1-s0，s0為轉子初始滑差。

2 感應電動機分組算法

由上文引言所述，依據單個特征指標將感應電動機群分組的算法，其分組依據的物理含義較為明確，且計算簡單，因此本文選擇經典的基于感應電動機臨界穩定特性及動態特性的特征指標及感應電動機的電磁轉矩-滑差特性曲線等三種特征指標將感應電動機群分組并比較分析。

2.1 基于感應電動機靜態臨界穩定特性分組

文獻[9]分析了感應電動機負荷的靜態臨界穩定特性，提出當單個負荷節點下的若干臺電動機遭受大擾動時，穩定能力較弱的電動機可能會發生堵轉并吸收大量無功功率，導致負荷節點電壓下降，穩定能力較強的電動機則保持穩定。考慮電動機群穩定能力的強弱有利于改善電動機群聚合等值的準確性[9]，因此，選擇感應電動機臨界電壓及臨界滑差兩個能夠反映電動機穩定能力的參數作為電動機群分組的依據。

根據圖1所示的感應電動機靜態等值電路，感應電動機的電磁轉矩可以表示為[21]：

其中Zs=Rs+jXs，Zr=Rr/s+jXr，Zm=jXm。穩態時，電動機滑差s和電壓U須滿足轉矩平衡方程，令TE=TM，即

當U=1時，感應電動機的最大電磁轉矩所對應的滑差為臨界滑差scr，臨界滑差可由下式確定

將臨界滑差代入式(6)，可得感應電動機的臨界電壓Ucr。定義感應電動機臨界特征gcr，如式(9)所示。

穩定能力較差的電動機，其對應的臨界特征指標gcr較小，分布也較為集中，易于區分。在實際計算中，可根據gcr值將感應電動機群進行分組。

2.2 基于感應電動機動態特性分組

文獻[3,10]提出，當單個負荷節點下的若干臺電動機遭受小擾動時，各電動機的轉矩、滑差變化等動態特性各有區別。考慮感應電動機在小擾動下的動態特性差異有利于提高電動機群聚合等值的精度[3,10]。因此，選擇感應電動機動態過程特征值這一能夠反映感應電動機在電壓發生小干擾下的動態特性的參數，作為電動機群分組的依據。

由式(1)中的轉子運動方程可得，感應電動機轉子運動的狀態方程為

為了簡化定性分析，假設機械轉矩TM恒定，可得

將式(11)在額定滑差sN附近線性化，可得

其中

由于sN一般較小，因此

由式(10)、式(12)和式(14)可得線性化狀態方程

由于接在同一母線上的各電動機的端電壓相同，因此定義動態特征指標gdy，如式(16)所示。

當幾臺電動機的動態特征指標gdy相近時，其動態特性較為相似，可將其分為一組。

2.3 基于感應電動機電磁轉矩-滑差特性曲線分組

文獻[8]提出，負荷節點下的若干臺電動機遭受擾動后，其動態特性受電磁轉矩-滑差特性的影響。因此在電動機群分組時，可考慮將電磁轉矩-滑差特性曲線較為相似的電動機劃分為一組。

感應電動機電磁轉矩TE、機端電壓U、阻抗參數和滑差s的關系可由式(5)表示。以國內某四臺典型電動機參數為例[20]，令U=1，做出TE-s曲線如圖2所示，為了便于比較，TE-s曲線作歸一化處理。

圖2 典型感應電動機TE-s曲線

將滑差s在0～1范圍內采樣，采樣間隔為0.005，計算各電動機在各采樣點上的電磁轉矩。定義任意兩條曲線之間的距離dmn，如式(17)所示：

式中：N為采樣點數；分別為曲線m和曲線n在第i個采樣點上的電磁轉矩值。圖2所示4臺電動機電磁轉矩-滑差特性曲線的距離如表1所示。

A―0.0012 0.0482 0.0476 B 0.0012―0.0489 0.0481 C 0.0482 0.0489―0.0015 D 0.0476 0.0481 0.0015―

由圖2及表1，根據曲線相似性，可將曲線A、B代表的電動機劃分為一組，曲線C、D代表的電動機劃分為一組。

3 感應電動機聚合算法

感應電動機的聚合算法中，最為經典的是基于電動機額定容量的加權聚合法[3,8,10]。因此，本文選擇該方法及兩種加權因子修正的加權聚合法將多臺感應電動機群聚合并比較分析。

3.1 基于電動機額定容量的經典加權聚合法

文獻[14]提出，連接在同一負荷點上的感應電動機是并聯連接的，因此假定所有電動機靜態等值電路中的三條支路都直接兩端并聯，即圖1中各電動機等值電路的內節點K相連接，以各電動機額定容量占總容量的比值作為權重，加權綜合得到等值感應電動機負荷模型參數。

每臺感應電動機的額定容量為

式中：P0為負荷點總有功功率，pper.i、Lf.i分別為每臺感應電動機消耗的有功功率占負荷點總有功功率的比例及負載率。

每臺感應電動機的加權因子acl.i為

等值電動機的各支路參數為

式中：Zag為等值電動機的支路阻抗；Zi為每臺電動機的支路阻抗，包括定子支路阻抗Zs、激磁支路阻抗Zm和轉子支路阻抗Zr（參數定義同上文2.1節）。感應電動機慣性時間常數Tj、機械轉矩系數A和B參數等均采用多臺感應電動機參數的加權值。

3.2 基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權聚合法

文獻[15]提出，連接在同一負荷點上的多臺電動機運行工況不同，其運行工況由各電動機的負載率和臨界滑差決定。上文3.1節提出的基于電動機額定容量的經典加權聚合法僅考慮電動機容量這一結構性參數，而未考慮各電動機運行工況的差異對電動機聚合的影響，因此基于電動機負載率和臨界滑差對加權因子進行修正。

定義考慮電動機運行工況的加權因子aop.i為

式中：scr.i、Lf.i分別為各感應電動機臨界滑差、負載率。

由式(22)可以看出，該修正是為了增加負載率大和臨界滑差小的電動機的權重。考慮到電動機運行工況的差異對定子支路和轉子支路的聚合有明顯影響，對激磁支路及其他電氣參數的聚合影響弱。因此，計算等值感應電動機定子支路和轉子支路參數時使用式(21)定義的加權因子aop.i替換式(19)中的acl.i，其余參數計算仍使用acl.i計算。

3.3 基于電動機轉子堵轉等值電抗和開路時間常數修正的加權聚合法

文獻[10]提出，當負荷點電壓、頻率發生擾動時，負荷點上連接的電動機有功功率、無功功率變化的特性受感應電動機轉子堵轉等值電抗X'和定子開路時間常數T0'的影響較大，當感應電動機的X'或T0'增大時，其動態過程中功率振蕩的幅值減小。上文3.1節提出的基于電動機額定容量的經典加權聚合法未考慮電動機動態過程的差異，因此在對感應電動機群聚合時，需要使用上述兩個參數對加權因子進行修正。

感應電動機的轉子堵轉等值電抗X'和定子開路時間常數T0'定義同式(1)。定義考慮電動機動態過程的加權因子ady.i為

由式(24)可以看出，該修正是為了增加轉子電阻、轉子電抗和定子電抗較小的電動機的權重。使用式(23)定義的加權因子ady.i替換式(19)中的acl.i，加權綜合得到等值感應電動機的各電氣參數。

4 感應電動機群仿真算例的比較分析

由上文第2、3節，選擇的三種單一指標的分組算法及三種不同加權因子的加權聚合法均依據不同的原則或假設。為了比較分析不同分組及聚合算法組合后的等值效果，本文將三種分組算法及三種聚合方法交叉組合后，對多臺感應電動機進行等值，并在單負荷無窮大系統中對比分析不同等值方法的等值效果。

4.1 感應電動機群分組及聚合結果

4.1.1 感應電動機群暫態仿真分析

選擇IEEE提供的工業小電動機、工業大電動機、水泵、廠用電、民用綜合電動機、民用和工業綜合電動機、空調綜合電動機等7種典型感應電動機[22]作為三種分組算法及聚合算法比較分析的感應電動機群算例，其負荷模型參數如表2所示。為了比較各典型電動機負荷特性之間的差異，采用圖3所示的方法單負荷無窮大母線系統對各電動機進行暫態仿真。

表2 IEEE典型電動機參數

圖3 單負荷無窮大系統

設穩態時，無窮大節點電壓E=1.05，負荷節點電壓V=1，負荷節點功率為PL0+jQL0=1+j0.4pu，系統的基準容量為100MVA，負荷由感應電動機負荷和恒阻抗負荷構成，感應電動機負荷占比60%[22]。設置負荷節點在0.06s時發生三相金屬短路故障，故障持續0.2s后清除，仿真步長為0.01s，記錄1.5s內的動態響應數據。分別連接7種感應電動機時，負荷節點的電壓、功角、有功功率和無功功率仿真曲線如圖4(a)至(d)所示。

圖4 IEEE 7種典型感應電動機暫態響應曲線

從圖4(a)、4(b)來看，當負荷節點連接不同電動機時，負荷節點的電壓及功角具有不同的暫態恢復過程，其中有5種電動機在故障期間已經出現功角振蕩現象。從圖4(c)、4(d)來看，當機端電壓發生變化時，7種感應電動機的有功功率、無功功率響應曲線差異明顯，具有不同的振蕩及恢復過程。因此，IEEE推薦的7種感應電動機一定程度上能夠反映出工程中一個負荷點下多臺感應電動機負荷的差異性。

4.1.2 電動機群分組及其聚合參數

以上文第3節提出的三種分組算法將IEEE推薦的7種典型感應電動機分組。依據感應電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組結果相同，如表3所示，7種感應電動機TE-s特性曲線如圖5所示。依據感應電動機動態特征指標gdy分組的結果如表4所示。

表3 依據臨界特征指標gcr、TE-s曲線分組結果

表4 依據動態特征指標gdy分組結果

圖5 7種IEEE典型感應電動機電磁轉矩-滑差特性曲線

由圖4(a)的電壓變化曲線及圖4(d)無功功率曲線，IEEE-(1-4)、IEEE-(5-7)等兩組電動機的暫態恢復過程較為接近，與表2所示的依據感應電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組結果較為吻合。

在表3和表4的分組結果基礎上，計算各聚合算法所得等值感應電動機的負荷模型參數，結果見表5和表6。

表5 依據gcr或TE-s特性曲線分組結果的各聚合算法所得等值電動機參數

表6 依據gdy分組結果的各聚合算法所得等值電動機參數

4.2 單負荷無窮大系統下的等值效果

將原始電動機群及不同等值感應電動機接入單負荷無窮大系統，比較分析不同等值方法的等值效果。單負荷無窮大系統的接線圖如圖3所示，參數及故障設置同上文4.1.1節。等值前后負荷節點電壓、功角、有功功率和無功功率的仿真結果如圖6所示。

圖6 不同感應電動機群分組及聚合算法仿真結果

由圖6(a)―6(d)，不同等值方法所得等值感應電動機的仿真結果存在差異，且在無功功率的等值效果上差異最為明顯。另外，采用感應電動機動態特征指標gdy分組后，以基于感應電動機額定容量的加權因子acl.i的經典加權聚合法所得感應電動機在故障持續8個周波時，功角發生振蕩，等值效果較差。

為了量化各等值方法的等值效果，定義電壓誤差指標：

式中：Ugi和Uci分別為原7種電動機和等值電動機時的節點電壓幅值仿真曲線上第i點的值；N為仿真取樣點數。功角誤差指標、有功功率誤差指標、無功功率誤差指標分別用εδ、εP、εQ表示，定義與式(25)類似。各等值方法所得等值電動機模型的仿真誤差指標如表7所示。

表7 不同等值方法的誤差指標比較

由圖6和表7可以看出，不同感應電動機分組算法及聚合算法交叉組合后，其等值效果之間具有明顯差異：

1)依據感應電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組后的等值效果優于依據動態特征指標gdy分組。依據感應電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組時，各方法仿真誤差均不超過8%。而依據動態特征指標gdy分組時，三種聚合算法的多個仿真誤差指標大于10%，等值效果較差。

2)基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權因子aop.i的加權聚合法的等值效果優于其他兩種加權聚合法，不同分組算法下，該方法的仿真誤差均小于其它兩種加權聚合法。依據感應電動機臨界特征指標gcr和TE-s特性曲線分組后，該方法的各仿真誤差小于5%。

5 結論

本文首先比較分析了三種感應電動機群分組算法和聚合算法的基本原理，而后采用三種分組算法和三種聚合算法交叉組合的方式將IEEE推薦的7種感應電動機等值，最后將原始電動機群和等值電動機接入單負荷無窮大系統，比較分析了各等值方法的等值效果。研究發現：

1)對于分組算法，依據感應電動機的臨界特征指標gcr或TE-s特性曲線分組考慮了電動機在遭受大擾動后的動態特性，等值效果優于依據感應電動機的動態特征指標gdy分組。

2)對于聚合算法，以基于電動機負載率和臨界滑差修正的加權因子aop.i的加權聚合法考慮了電動機的運行工況，在三種不同分組算法下，該方法的誤差均小于其它兩種加權聚合法，等值效果較好。

3)三種分組算法和三種聚合算法交叉組合后，不同等值方法的等值效果有明顯差異。其中，依據感應電動機臨界特征指標gcr或TE-s特性曲線將感應電動機群分組后，以基于負載率和臨界滑差修正的加權因子aop.i的加權聚合法將多臺感應電動機聚合的等值方法，其等值效果優于其它等值方法。

下一步工作將致力于比較多種感應電動機群的分組及聚合算法，在更加復雜的運行條件下研究各等值方法對感應電動機群等值精度的影響。