純滾動單圓弧齒輪多目標模糊優化設計*

趙林林

(江蘇財經職業技術學院 智能工程技術學院, 江蘇 淮安 223003)

0 引 言

目前,國內很多專家[1-13]已經對圓弧齒輪傳動采用的模糊可靠性優化設計、多目標粒子群優化方法、函數逼近的有限元優化方法及有機結合多目標粒子群算法、均勻試驗設計、穩健設計、靈敏度分析等方法進行優化設計,但還未發現專門針對純滾動單圓弧齒輪參數進行的優化設計。

筆者首次提出一種新型的純滾動單圓弧齒輪傳動的多目標模糊優化設計方法。根據赫茲彈性接觸理論,齒面的相對主曲率半徑最大,齒面的接觸應力越小,其接觸強度就越高,因此確定純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑最大為優化目標一;出于減小體積、降低質量、節省材料并降低使用成本的目的,而確定純滾動單圓弧齒輪傳動機構的總體積最小為優化目標二;由于重合度影響純滾動單圓弧齒輪的傳動質量,重合度越大,齒輪傳動的承載能力越高,傳動越平穩,齒輪傳動系統的振動和噪聲會減輕,因而確定純滾動單圓弧齒輪的重合度最大為優化目標三。

筆者通過綜合利用模糊評判方法和多目標優化設計方法,以相對主曲率半徑最大、重合度最大和齒輪傳動總體積最小為優化目標,建立了純滾動單圓弧齒輪傳動機構的多目標模糊優化模型,并對其進行了單目標分析和多目標優化設計。其結果對提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力、降低其傳動機構的體積具有一定的意義。

1 優化設計模型

1.1 目標函數

(1) 優化目標函數一

純滾動單圓弧齒輪的嚙合齒面為一對共軛齒面,根據赫茲彈性接觸理論可知,純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑越大,其齒面接觸應力越小,則接觸強度就越高。

純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑ρn[14]的計算公式為:

[ρsin3α(r1+ρsinαsin2β+Xsin2β)-X2cos2β-Xρsinαcos2β]

(1)

式中:X為齒廓圓心移距量;L為齒廓圓心偏移量;α為齒形角,取逆時針為正;r為節圓半徑;β為齒輪的螺旋角;ρ為圓弧齒廓的曲率半徑。

定義相對主曲率半徑的倒數最小為第一目標函數,即:

(2)

(2) 優化目標函數二

純滾動單圓弧齒輪的重合度越大,齒輪傳動的承載能力越高,傳動越平穩,齒輪傳動系統的振動和噪聲就會減輕,純滾動單圓弧齒輪的傳動質量則會提高。純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度為:

(3)

因此,定義純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度的倒數最小作為第二目標函數,即:

(4)

(3) 優化目標函數三

在保證純滾動單圓弧齒輪具有良好的接觸性能和承載能力的情況下,應盡量減少純滾動單圓弧齒輪的體積,降低質量,以達到節省材料并降低使用成本的目的。純滾動單圓弧齒輪傳動機構的體積V為:

(5)

定義純滾動單圓弧齒輪的體積和最小作為第三目標函數,即:

f3(x)=min (V)

(6)

1.2 設計變量

1.3 約束條件

根據實際情況,分別對純滾動單圓弧齒輪的法向模數,凸圓弧齒輪的齒數、齒寬、螺旋角、齒廓圓弧半徑進行上下限約束,即:限制純滾動單圓弧齒輪的法向模數為:1≤mn≤5,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒數為:17≤z1≤60,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒寬系數為:0.4≤φ≤1,限制純滾動單圓弧齒輪螺旋角為:10°≤β≤25°,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒廓圓弧半徑為:1.2≤ρ*≤3。

根據單圓弧齒輪的約束設計變量(法向模數、齒數、齒寬系數、螺旋角、齒廓圓弧半徑系數)對其進行模糊約束取值,如表1所列。

表1 模糊約束取值的上下限

設計變量按照梯形分布,利用擴增系數法確定邊界過渡區,區間上界限的擴增系數取值為1.1,下界限的擴增系數取值為0.9,得到單圓弧齒輪的設計變量約束截集為:

(7)

按照降半梯形法確定單圓弧齒輪的齒面接觸應力和齒根彎曲應力等性能約束,并結合齒輪的齒面接觸應力和齒根彎曲應力從完全許用到不完全許用的中間過渡過程,得到純滾動單圓弧齒輪的性能約束截集為:

(8)

因此模糊優化約束條件為:

g1(x)=1+λ*-x1≤0

g2(x)=x1-(6-λ*)≤0

g3(x)=17+2λ*-x2≤0

g4(x)=x2-(62-2λ*)≤0

g5(x)=0.45+0.1λ*-x3≤0

g6(x)=x3-(1.5-0.14λ*)≤0

g7(x)=8+4λ*-x4≤0

g8(x)=x4-(26-4λ*)≤0

g9(x)=1.3+0.3λ*-x5≤0

g10(x)=x5-(3.1-0.3λ*)≤0

考慮純滾動單圓弧齒輪傳動機構的設計要求和模糊約束的性質可知,具體的約束邊界是由模糊約束截集水平值λ來決定的,模糊約束截集水平值越大,則約束邊界就會越向安全許用區靠近,因此不考慮隸屬度小于0.5的值,確定模糊約束截集水平值為:

λ=[0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 1]

(9)

共有六個因素影響純滾動單圓弧齒輪傳動機構的優化,分別是制造水平、材料好壞、使用條件、設計水平、維修費用、重要程度,如表2所列[11],每一個因素按照五個等級進行劃分,各因素等級的隸屬度如表3所列[11]。

表2 影響因素的等級

表3 各個因素等級的隸屬度

利用權向量表示各因素在設計中影響的重要程度,它能夠反映各個因素和各個因素等級影響模糊約束截集水平值λ,各個因素的權向量A取值為:

A=[0.25 0.25 0.15 0.1 0.15 0.1]

(10)

然后歸一化處理單因素的評價結果,并綜合評價結果,根據截集分檔情況來確定截集元素的取值范圍為0～1之間。在此區間內,劃分若干個等級與其相對應,然后對每一個因素評語等級的等級評判矩陣進行確定。如果各個因素的等級評判矩陣相同,則可根據專家打分法來取值。二級綜合評判矩陣通過模糊矩陣乘法進行評判,最優水平截集λ*通過截集加權平均計算得到,即λ*=0.698,將計算得到的最優水平截集值λ*代入到約束條件中,就可以將純滾動單圓弧齒輪傳動的模糊優化設計問題轉化為普通優化設計問題[15]。

2 優化方法

純滾動單圓弧齒輪的多目標優化設計為具有約束條件的非線性規劃優化設計問題,利用MATLAB軟件[16]中自帶的fmincon函數進行純滾動單圓弧齒輪傳動機的構模糊優化設計。fmincon函數是一種局部優化函數,原理是給定初始點后,根據目標函數和約束函數的一階導數,在滿足約束條件下,沿著目標函數的下降方向進行迭代,直至收斂。

多目標函數優化問題的求解中,可能存在各個分目標函數的最優解相互矛盾,有時甚至是完全對立的,很難得到完全解。因此在實際工程應用中,需要根據目標的重要性對目標進行加權量化,并構造適當的評價函數來進行求解。因此,基于上述分析,采用線性組合法將多目標優化問題轉化為單目標優化問題,則構造純滾動單圓弧齒輪的優化目標函數為:

f(x)=107w1f1(x)+107w2f2(x)+w3f3(x)

(11)

式中:w1、w2、w3分別為目標函數f1(x)、f2(x)、f3(x)的加權系數,w1+w2+w3=1。

由于fmincon函數的最優解和初值的選取關系密切,要選取合適的初值,需要分析純滾動單圓弧齒輪的單個設計參數對每個目標的影響規律。

3 優化設計

3.1 單目標分析

當設計變量中的任意一個參數發生變化,而其余參數不發生改變時,可以得出純滾動單圓弧齒輪的單個參數對單個優化目標的影響規律。取x=[3,23,0.6,18.55,1.5]T,得到法向模數對單目標函數影響曲線如圖1所示。由圖1可知:隨著法向模數由1增加到5,相對主曲率半徑的倒數呈遞減趨勢,對縱向重合度沒有影響,而體積和呈遞增趨勢,綜合考慮,法向模數在[2.5 3]之間取值,能夠滿足優化目標條件。

圖1 法向模數對單目標函數的影響曲線

改變純滾動凸圓弧齒輪的齒數z1,使其從17增加到60,得到純滾動凸圓弧齒輪的齒數對單目標函數的影響曲線如圖2所示。從圖2中可以看出,齒數對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響不是很大,縱向重合度的倒數呈遞減趨勢,體積和呈遞增趨勢。綜合考慮,純滾動單圓弧齒輪的齒數z1=35左右取值,能夠滿足優化目標條件。

圖2 純滾動凸圓弧齒輪的齒數對單目標函數的影響曲線

齒寬系數對相對主曲率半徑沒有影響,將純滾動單圓弧齒輪的齒寬系數φ從0.4增加到1,得到齒寬系數對單目標函數的影響曲線如圖3所示。從圖3中可以看出,縱向重合度的倒數呈遞減趨勢,體積和呈遞增趨勢,齒寬系數對重合度的影響較大。

將純滾動單圓弧齒輪的螺旋角β從10°增加到25°,得到螺旋角對單目標函數的影響曲線如圖4所示。由圖4可知,相對主曲率半徑的倒數幾乎沒有影響;縱向重合度的倒數呈遞減趨勢;而體積和呈遞增趨勢,幾乎不變。即螺旋角對縱向重合度的影響很大,而對其余兩個目標影響不大。

圖4 螺旋角對單目標函數的影響曲線

齒廓系數對單目標函數的影響曲線如圖5所示。由圖5可知,純滾動單圓弧齒輪的齒廓系數對第二個和第三個目標函數沒有任何影響,即純滾動凸圓弧齒輪的齒廓系數不影響純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度和體積和,只對相對主曲率半徑有影響,且幾乎不變。

圖5 齒廓系數對單目標函數的影響曲線

上述結果表明,通過改變純滾動單圓弧齒輪的設計變量能夠對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑、縱向重合度、體積和的影響進行量化。在設計變量中,法向模數對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響權重最大,其次是齒數、齒廓系數,螺旋角對目標函數一幾乎沒有影響,齒寬系數對目標函數一沒有影響;齒數、齒寬系數、螺旋角對縱向重合度影響大,且隨之增加而減小,其他參數對目標函數二沒有影響;法向模數、齒數、齒寬系數對齒輪體積和影響大,且隨之增加而增加,螺旋角對目標函數三影響較小,齒廓系數對目標函數三沒有影響。影響程度從高到低的排序為:法向模數、齒數、齒寬系數、螺旋角、齒廓系數。在對純滾動單圓弧齒輪的參數優化設計中,通過對上面幾個參數的合理選擇,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并減少純滾動單圓弧齒輪的體積,降低質量,可達到節省材料并降低使用成本的目的。

3.2 多目標優化

根據單參數對單目標函數的影響規律分析結果可知,法向模數主要影響相對主曲率半徑與體積和;齒數、齒廓系數主要影響縱向重合度和體積和;螺旋角主要影響縱向重合度,即齒廓系數對三個目標函數的影響都不是很大,因此取齒廓系數ρ*=1.5;將重合度轉化為約束條件,即0

利用MATLAB軟件,編寫純滾動單圓弧齒輪傳動模型優化設計程序,以x=[3,23,0.6,18.55]T為初始值,其目標函數值為[0.082 7,0.678 4,1.193 3e+06]T;取最優水平截集值λ*為0.698,計算得到的模糊優化的最優解為:x=[ 1.698 0 18.396 0 0.519 8 10.792 0]T,根據前面的分析,取x=[1.7,20,0.5,18.55]T,計算得出f1(x)=0.169 91,f2(x)=1.01,f3(x)=1.17×105。利用多目標模糊優化設計方法計算得出在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5時,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并降低純滾動單圓弧齒輪傳動機構的體積和。

4 結 語

文章綜合利用模糊評判方法和優化設計方法,以純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑最大、重合度最大和體積和最小為優化設計目標,建立了純滾動單圓弧齒輪傳動機構多目標的模糊優化模型,提出模糊優化的約束條件,對單目標進行了分析,然后利用MATLAB軟件中自帶的fmincon函數對純滾動單圓弧齒輪進行多目標模糊優化設計。

通過設計分析得出:法向模數對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響權重最大,其次是齒數、齒廓系數,螺旋角對目標函數一幾乎沒有影響,齒寬系數對目標函數一沒有影響;齒數、齒寬系數、螺旋角對縱向重合度影響大,且隨之增加而減小,其他參數對目標函數二沒有影響;法向模數、齒數、齒寬系數對齒輪體積和影響大,且隨之增加而增加,螺旋角對目標函數三影響較小,齒廓系數對目標函數三沒有影響。影響程度從高到低的排序為:法向模數、齒數、齒寬系數、螺旋角、齒廓系數。利用多目標模糊優化設計方法計算得出,在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5時,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并降低純滾動單圓弧齒輪傳動機構的體積和,其分析結果為改善純滾動單圓弧齒輪的受力和輕量化設計具有重要意義。