粘性波動方程解的逐點估計

徐紅梅,郭曉曉

(河海大學理學院,江蘇 南京 211100)

0 引言

本文中考慮二維空間帶粘性項非線性波動方程解的逐點估計。方程形式為

(1)

耗散波動方程能幫助我們理解流體力學中的許多復雜方程。如,帶阻滯項的線性歐拉方程可轉變成帶阻滯項的波動方程。線性Navier-Stokes方程也可變形成(1)的線性結構。因此有很多學者研究帶耗散結構的波動方程,并取得了很多成果。下面只列出帶粘性項?tΔu的波動方程的部分結果。 在文獻[1-4]中,用能量估計的方法考慮了一系列擬線性波動方程在有界域中的初值問題。 文獻[5]中得到了高維線性方程的Lp估計。文獻[6]中結合能量估計和格林函數的方法得到非線性粘性波動方程小初值情形經典解的整體存在性和Lp估計。文獻[7]中得到奇數維空間非線性方程解的逐點估計。文獻[8]中考慮了空間維數n≥4且為偶數時解的逐點估計。從文獻[6-8]中可以看出,方程解的衰減性與空間維數有關,維數越高,解衰減越快。所以二維空間解的逐點估計更難計算。此文中,我們由對高頻格林函數和非線性項更詳細的分析,解決了這一問題。

本文中,我們用C代表正常數,α是多重指標α=(α1,α2),且|α|=α1+α2,下面我們列出一些準備工作。

1 準備工作

本研究是在對(1)的格林函數作詳細分析的基礎上得出的。方程(1)的格林函數G1,G2為如下方程的解

直接計算得

(2)

(3)

其中

(4)

我們需要對Gi(i=1,2)分不同的頻率作估計。于是定義光滑截斷函數

其中2ε≤R。定義

當|ξ|充分大時,由泰勒展開可得

(5)

(6)

(7)

(8)

依此類推,由式(2),(5)～(6)得,當V∈Hl,對多重指標α,β,|α|≤l-2,有

≤C

(9)

于是

(10)

同理可得,當|α|≤l,

(11)

由式(10)～(11),可得

定理1.1當V∈Hl,對任意正整數N,存在正常數C,b,有

有了這些準備,下面我們可以進入本文中的主要工作。

2 解的逐點估計

由文獻[7,定理2.5]知,若式(1)有解,則解u(x,t)可表示為

(12)

定理2.1若初值u0(x),u1(x)滿足‖u0‖Hl∩W1。1≤E,u1(x)= ?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,且u0,u1有緊支集,對j=0,1,存在正常數CN,b,有

定理2.1的證明當u0,u1有緊支集,由文獻[9,引理2.4]和[8,命題 3.1],得

由文獻[9,引理2.4]和[8,命題3.2],得

下面估計非線性項。令

由M(t)定義,當|α|≤l-3,可得

(13)

由式(1)中f(u)的形式,可得當|α|≤l-4,有

(14)

當|α|=l-3,由[6,定理1.1]和(13)式,得

(15)

為估計式(12)中的定積分,還需要知道G2,3(x,t)的構造,由文獻[9,定理2.4],式(3)、(7)、(8),得

G2,3(x)=f1(x)+Cδ(x)+f2(x)

(16)

引理2.1

引理2.1的證明當|x|≥t時,有|x|-sr≥|x|-tr≥0,所以A2(x,s)≤A2(x,t)。于是

由文獻[9,引理2.6],有

(17)

所以當0≤|x|≤t,有

引理得證。

引理2.2

引理2.2的證明當|x-y|<2ε,

所以

(18)

當|x|≥t+|x-y|,則|y|-tr≥|x|-tr-|x-y|≥0,于是

An(y,s)≤CAn(x,s)≤CAn(x,t).

(19)

(20)

由式(18)～(20),引理得證。

引理2.3

(21)

(22)

(23)

由式(21)～(23),引理得證。

由引理2.1,引理2.2,引理2.3及式(14)～(15)得,當|α|≤l-3,有

(24)

由定理2.1及式(12)、(24),當|α|≤l-3,有

其中C與E無關。由M(t)的定義,得

M(t)≤CE+M2(t)+CEM(t).

由M(0)充分小及M(t)的連續性,得M(t)有界。于是得到本文中結論。

定理2.2若方程(1)中的u0,u1滿足‖u0‖Hl∩Wl,1≤E,u1(x)=?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,l≥4,E充分小,則方程的解u(x,t)滿足