機器人用杯形諧波減速器應力和變形分析

易偉鋒，劉泓濱，吳智恒，張華偉，韓守磊

(1.昆明理工大學，云南昆明 106742；2.廣東省科學院智能制造研究所，廣東廣州 510070；3.廣州市昊志機電股份有限公司，廣東廣州 511356)

0 前言

諧波減速器是機械傳動領域的一種核心傳動零部件。根據結構形式不同，一般分為杯形和禮帽形諧波減速器[1-3]。因其傳動精度高、減速比大和體積小等特點，被廣泛應用在工業機器人、航空航天、軌道交通、醫療器械等領域[3-5]。

柔輪和軸承是諧波減速器的核心傳動零部件，其復雜的變形和應力分布影響了諧波減速器的傳動性能和疲勞壽命[5-7]。關于柔輪，目前大部分研究忽略了軸承對柔輪的影響，將其簡化為外推相同距離的剛性凸輪來進行研究[7-10]；建立非全齒的柔輪來對諧波減速器進行研究[10-12]；關于軸承，主要通過函數載荷的形式來對軸承進行加載研究[12-15]。實際上，結構簡化過多會影響諧波減速器的分析結果，本文作者通過建立杯形諧波減速器有限元分析模型，分析諧波減速器核心零部件的應力和變形分布規律，并對柔輪的裝配變形進行實驗驗證。

1 有限元系統建模

1.1 模型簡化

本文作者以某企業CSD-32-80杯形諧波減速器為研究對象，額定扭矩為153 N·m。由于柔輪杯底的剛度較大，因此將螺栓孔省略；剛輪的剛度較大，因此只保留其完整的齒圈和倒角特征；波發生器中凸輪的剛度較大，因此簡化細小結構；軸承中保持架不是分析對象且受力較小，因此將其省略。簡化前后的裝配模型如圖1所示。

圖1 諧波減速器簡化前(a)、后(b)的模型

簡化后的柔輪和軸承的尺寸參數如圖2所示。

圖2 柔輪(a)和軸承(b)尺寸

其中余弦凸輪的最大徑向變形量ω=0.56 mm，柔輪的原始特征曲線是余弦凸輪曲線的等距曲線，其數學表達式如式(1)[3]所示：

ρR=τR+ω·cos2φ

(1)

其中：ρR為余弦閉合曲線向徑；τR為柔輪未變形前特征曲線半徑；ω為最大徑向變形量；φ為極角。

1.2 材料賦予與網格劃分

關于模型材料，柔輪為30CrMnSiA，剛輪為40CrMo，軸承內外圈為ZGCr15，滾珠為GCr15，凸輪為45鋼，其相關參數如表1所示。

關于網格劃分，通過Solid186和Solid187單元對柔輪、剛輪和軸承進行網格劃分，由于凸輪剛度較大，因此將凸輪設置為剛體，由于柔輪和剛輪齒圈的接觸較為復雜，因此對齒圈位置的網格進行加密，從而提高網格質量。網格劃分效果如圖3所示。

圖3 網格模型示意

1.3 接觸參數設置及載荷施加

諧波減速器仿真屬于非線性接觸問題，其接觸參數容易影響求解精度和速度。本文作者通過面-面接觸來建立模型的接觸關系，首先設置柔輪筒底凸臺為對地轉動副，并限制凸輪的全部自由度，同時滾珠與滾道的剛度系數設置為1，其余接觸設置為0.1[12]，且每次迭代自動更新，打開大變形開關。最后設置兩個分析步：第一個分析步為諧波減速器的裝配過程，第二個分析步為施加載荷的過程。部分接觸參數設置如表2所示。

表2 接觸參數

2 諧波減速器變形和應力分析

2.1 裝配變形和應力分析

為了分析軸承和剛輪對整體應力應變的影響，建立了模型1和模型2兩個有限元分析模型，前者為波發生器與柔輪裝配的裝配體，后者為剛輪與模型1裝配的裝配體，同時定義凸輪的長短軸為整個模型的定位基準。

如圖4(a)(b)所示，柔輪和軸承的最大徑向變形量位于長短軸位置，波發生器與柔輪裝配后，柔輪和軸承外圈都產生了傾斜，柔輪長軸的最大徑向變形量比理論變形量0.56 mm大24.6%左右，柔輪的傾斜變形會使得齒圈位置的齒產生磨損，甚至產生干涉，因此軸承對諧波減速器應力應變的影響不可忽略。

圖4 模型1(a)、2(b)整體變形和長短軸徑向變形(c)

在長軸方向，模型1中柔輪和軸承外圈的最大徑向變形量分別為0.692、0.646 mm，模型2中兩者的最大變形量分別為0.594、0.587 mm，模型2中柔輪和軸承的徑向變形量分別比模型1低14.1%和9.1%。如圖4(c)所示，剛輪使柔輪和軸承外圈在長軸位置產生了軸向彎曲，從而保證柔輪與剛輪的正常嚙合，因此剛輪會影響諧波減速器的應力應變分布。

在短軸方向，如圖4(c)所示，兩個模型中的軸承外圈與柔輪的徑向變形量不一致，柔輪與軸承外圈之間存在徑向間隙；模型2中柔輪和軸承外圈最大的徑向間隙約為0.051 mm，該間隙會使柔輪和軸承容易產生局部磨損，從而影響諧波減速器的傳動性能。

圖5為兩個模型的應力云圖，其中：模型1中柔輪和軸承外圈的應力分別為300.14、315.95 MPa，模型2中兩者的應力分別為451.79、484.24 MPa。結果表明：波發生器與柔輪裝配后，柔輪的最大應力在齒圈后端的齒根位置，軸承外圈的最大應力位于長短軸位置，應力分布偏向一側，剛輪使柔輪和軸承的應力都相應增大。

圖5 柔輪和軸承應力

2.2 負載下的變形和應力分析

諧波減速器的變形和應力分布規律，除了受到裝配變形的影響外，還受到負載的影響。圖6(a)為柔輪在229.5 N·m下放大45倍的徑向變形云圖。為了定量分析，圖6(b)和(c)為柔輪齒圈在各負載下的徑向變形量和徑向變形量增量，表明柔輪在受載過程中，柔輪齒圈在靠近嚙合位置的區域產生了局部變形，其變形增量隨負載增大而逐漸增大。

圖6 負載下柔輪變形規律

圖7(a)為柔輪額定負載下的應力云圖，額定負載下柔輪應力為466.77 MPa。圖7(b)為柔輪在不同載荷下的應力，柔輪應力的增長趨勢為折線上升，其中0～153 N·m時，柔輪應力增長的斜率約為0.097；而153～229.5 N·m時，柔輪應力增長的斜率約為0.354。柔輪在153 N·m后的應力加速增加，其原因是諧波減速器在153 N·m后的嚙合面積增加變緩，同時接觸狀態發生改變。

圖7 柔輪在不同負載下應力

3 實驗驗證

3.1 實驗原理與方案

本文作者通過德國GOM公司的ARAMIS分析系統和ZWICK疲勞試驗機進行裝配測量實驗。首先利用標定板對ARAMIS分析系統進行標定與參數修正，其次在柔輪噴上黑白散斑并安裝在工裝上，然后設置ZWICK疲勞試驗機的驅動程序，通過液壓頭擠壓波發生器與柔輪進行裝配，最后對柔輪變形測量結果進行后處理，并對柔輪的初始變形和裝配位移進行修正，得到柔輪的變形云圖。其現場示意如圖8所示。

圖8 實驗現場圖

3.2 實驗和仿真結果分析

如圖9(a)(b)所示分別為仿真和實驗測量的柔輪變形云圖，結果表明：實驗和仿真的變形分布趨勢基本一致，柔輪產生了傾斜變形，柔輪齒圈的變形量最大，而筒底位置的變形量最小，柔輪變形分布基本符合余弦曲線規律。

圖9 實驗和仿真的變形云圖和變形量

為了定量分析，圖9(c)(d)分別為柔輪在長軸位置和齒圈位置的變形量，其中z為距柔輪筒口的距離。結果表明：實驗與仿真結果的趨勢基本一致，實驗結果略大于仿真結果。其原因是柔輪存在初始變形，同時在裝配過程中存在一定的裝配位移，但是誤差在合理的范圍內。

4 結論

針對杯形諧波減速器復雜的應力應變分布規律，對諧波減速器裝配和加載過程進行仿真分析，并通過實驗進行驗證，得出以下結論：

(1)波發生器裝配后，柔輪和軸承外圈都產生了傾斜，柔輪的徑向變形量大于理論值。薄壁軸承對諧波減速器的應力和變形分布有較大影響。

(2)剛輪使柔輪和軸承外圈產生了軸向彎曲，模型2的柔輪和軸承在長軸位置的最大徑向變形量比模型1分別減少14.1%和9.1%，應力值相應上升。剛輪對整體應力應變分布有較大影響。

(3)扭矩使柔輪應力增長趨勢為折線上升，柔輪應力在153 N·m后加速上升，其斜率約為0.354。同時，過高的負載容易引起柔輪齒圈產生過大的變形，影響諧波減速器的工作性能。

(4)實驗與仿真的變形趨勢基本一致，驗證了仿真分析的準確性。