基于混合粒子群算法的圓柱型電磁鐵優化設計

王晨皓，林何，盛曉超

(1.西安工程大學機電工程學院，陜西西安 710048；2.西安工程大學西安市現代智能紡織裝備重點實驗室，陜西西安 710048)

0 前言

電磁鐵是磁懸浮系統中的關鍵部件，大至磁懸浮列車，小到磁懸浮軸承，其性能高低直接決定了整個系統的性能[1-2]。在一個控制系統中，電磁鐵的響應速度不夠快，或者是產生的電磁力不滿足要求，都會使整個系統的性能下降[3-4]，同時被吸引物所受到的電磁力是影響系統動態響應的重要因素[5]。因此，對電磁鐵的性能進行研究非常有必要。

鑒于電磁鐵在懸浮系統中的重要性，許多學者對其結構和特性進行了研究，用以滿足技術的發展需要：ABBOTT、OSTING[6]通過優化無芯電磁鐵限制其設計空間達到最佳總體設計；胡經文等[7]研究了基于磁源重構的本安型電磁鐵，優化后的電磁鐵動態性能明顯提升；董潤鵬等[8]采用的優化算法使優化后的電磁鐵完成目標行程所需電流更小；DING等[9]提出一種新的電磁模塊結構設計，以解決磁飽和問題；蔡勝年等[10]基于物理原型計算并采用Ansoft和AMESim仿真軟件，提高了所設計比例電磁閥的動態特性和穩態精度；HWANG等[11]提出一種采用平行鐵芯結構的多極電磁鐵的設計概念，擴大了電磁鐵適用領域；郭東軍等[12]設計一種磁力大、行程長的雙線圈電磁鐵，在ANSYS Electronics Desktop的2D模塊中進行仿真分析，得到電磁鐵自身結構參數對電磁力的影響。上述研究大部分都是研究電磁鐵各部分參數單獨對電磁力的影響，鮮有通過磁路對電磁鐵各參數間相互作用影響電磁力的研究，而且目前已有的研究大多都是針對工程中常用的電磁鐵比如電磁閥電磁鐵、比例電磁鐵等的研究，而像應用于磁懸浮系統中的圓柱型電磁鐵研究較少。

研究針對磁懸浮系統中小型電磁鐵，描述該類電磁鐵的結構和工作原理，首先采用高斯計實測電磁鐵特定位置的磁感應強度值，再通過有限元仿真方法得到相同位置下的磁感應強度，對比兩組數據說明有限元仿真的準確性。其次通過仿真找到電磁鐵電磁力及磁感應強度與結構參數的對應關系，采用簡化數學模型的計算值與仿真值作對比，驗證數學模型的準確性，并分析圓柱型電磁鐵磁路，建立了電磁鐵磁阻力模型。最后提出一種改進的多目標優化方法，優化電磁鐵設計時的結構參數，找出制約電磁鐵磁阻力的因素，設計出合理的電磁鐵模型，并通過仿真驗證其綜合性能。因此，在有尺寸制約的條件下找出電磁線圈各個條件間的最優解成為作者的首要目標。

1 電磁鐵結構及磁路分析

1.1 電磁鐵結構

電磁鐵主要由骨架、鐵芯和線圈組成。根據鐵芯的結構可將電磁鐵分為E型、尖端型、圓柱型、I型、C型等多種形式[13]。其中圓柱型、E型、I型、尖端型主要產生豎直方向的磁場，E型、I型尖端型電磁鐵磁力線閉合在空氣中。而圓柱型電磁鐵磁力線閉合在物體內部，加之在設計電磁鐵時選用的都是導磁性良好的材料，圓柱型電磁鐵在相同的電流下有更好的磁感應強度，在磁懸浮系統中有更廣泛的應用。

1.2 磁路分析

將電磁力作為優化目標首先要分析易對電磁力造成影響的參數，磁路長度、磁極面積、空氣漏磁通以及鐵芯材料的磁滯特性都是影響電磁力的重要因素。其中，分析磁路能更好地建立電磁鐵數學模型，對理解電磁鐵工作原理也有益處。磁路長度采用平均磁路法分析，取電磁鐵和氣隙的幾何中心進行計算，此次仿真采用的是DT4電工純鐵，它具有良好的導磁性，在一定范圍內鐵芯處的磁感應強度B與磁場強度H呈線性關系。

高磁導率的鐵磁性材料有良好的導磁性[14]，形成的磁力線更密集，磁通(主磁通和漏磁通)經過的閉合路徑叫做磁路。根據物體材料特性的差異可以把磁路細分成幾段，使每段都有相等的截面積和相同的磁介質。假設在這樣的磁路中磁場強度各處都相等，且其方向與磁路經過的方向一致時，在任何橫向截面上，磁通都是均勻分布的[15]，當線圈中通入電流時，便形成一定的磁勢。在該磁勢的作用下，沿著電磁鐵鐵芯、工作氣隙形成一個類似電路的磁通回路，在此回路中的為主磁通，產生電磁力；還有部分為空氣漏磁通，一部分是過磁極面積形成的回路，一部分是在空氣中形成的回路，相較于主磁路磁通較小。文中優化設計后期服務于磁懸浮系統，可通過控制方法彌補忽略的空氣漏磁通，故不做詳細研究。根據上述分析得出圓柱型電磁鐵的等效磁路，如圖1所示。

圖1 圓柱型電磁鐵等效磁路

圖中：R1為圓柱型電磁鐵磁阻；R2為被吸引物體磁阻；Rs為空氣中漏磁阻；Rδ為氣隙磁阻。

根據基爾霍夫第二定理有：

NI=φR

(1)

式中：N為線圈匝數；I為線圈電流；φ為主磁通；R為磁阻。則圓柱型電磁鐵的磁路公式為

NI=φ(R1+R2+Rs+Rδ)

(2)

磁阻的計算公式為

(3)

式中：L為磁路長度；μ為物體的磁導率；S為磁路面積。文中磁路主磁通有如下表達：

(4)

式中：S1為圓柱電磁鐵的磁極面積；S2為被吸物體的磁極面積；Sδ為氣隙截面面積。

1.3 電磁鐵磁場分析

電磁鐵的磁場集中在鐵芯、氣隙及磁路閉合的區域。為簡化計算，假設鐵芯的磁導率為固定值且工作時不考慮材料的磁滯效應和渦流效應，不考慮電感對磁場的影響，且磁場分布穩定。仿真參數設置：勵磁線圈匝數為1 000匝，通電電流為1 A，勵磁線圈為QZ-2/1300.35，鐵芯采用DT4型電工純鐵。建立三維模型進行磁感應強度仿真計算，同時采用高斯數字特斯拉計測量該電磁鐵在z軸方向上產生的磁感應強度Bz，將測試結果與仿真值進行對比，建模計算結果和實驗吻合良好，證明仿真計算的準確性。圖2所示為線下購買的電磁鐵實測和仿真結果對比。

圖2 所購電磁鐵實測和仿真結果對比

1.4 電磁鐵結構分析

由于電磁鐵使用的特殊性，其設計尺寸都存在一定的取值范圍，且鐵芯過大會導致線圈匝數減少，磁力減小；匝數過多會導致磁飽和，還要保證內外環面積相等的設計原則，故設定鐵芯半徑Rn取值范圍為1～14 mm。鐵芯半徑確定以后根據磁路定理磁極面積相等得到圓柱型電磁鐵內環半徑，根據內外環半徑差即磁軛厚度C得到頂部高度hd，已知窗口寬度bk，線圈匝數N的計算公式為

(5)

式中：bk為窗口寬度，mm；hk為窗口高度，mm；fk為線圈填充系數；d為漆包線直徑，mm。根據漆包線規格及參數，當銅導線直徑d標稱為0.35 mm，線圈填充系數fk=0.646。線圈電磁鐵各參數如圖3所示。

圖3 內外部結構尺寸

2 電磁鐵優化設計

2.1 優化目標

穩定和快速響應是評價電磁線圈性能的關鍵指標。根據磁懸浮穩定懸浮的特點，在物體懸浮初始，需要電磁線圈提供較大的電磁力迅速達到指定位置，又需要電磁線圈提供能夠使物體穩定懸浮的電磁力。優化內部結構參數，通過提高電磁力提高系統的運行效率，所以優化目的是在相同的電流激勵下，使優化后的電磁鐵產生的力滿足使用要求。同時，受磁懸浮系統中結構尺寸的限制，外部結構尺寸不能無限加大，因此，優化重點就是在有尺寸制約的條件下找出電磁線圈各個條件間的最優解。

2.2 磁力模型

電磁力不是一個理想的穩定數值，影響電磁力的主要參數很多，通常通過假設對電磁力的計算進行簡化，忽略氣隙中的磁漏和空氣中的磁漏。根據麥克斯韋電磁力方程，電磁力F可表示為

(6)

其中：

(7)

式中：F為電磁吸力，N；Bδ為氣隙磁感應強度，T；φδ為主磁通，Wb；S為磁極表面總面積，m2；μ0為空氣磁導率，值為4π×10-7H/m。

則文中的優化表示為

(8)

3 電磁鐵仿真分析

ANSYS Maxwell是一款主流的電磁仿真軟件，在設計和分析馬達、傳感器、變壓器和其他相關電磁場的電氣設備中可靠度很好，特別適用于在研制初期降低生產成本。其中Maxwell3D可以有效地分析結構中不受時間影響的靜磁場，并且可以應用于恒定的激勵源，如永磁體、電流、電壓以及各種外部模擬的復雜輸入，從而精確地計算出電磁力、損耗、電感等相關參數，利用Maxwell的電磁場求解器可以加快設計時間，提高精準度，實現對結構的有效控制。

3.1 仿真相關參數設置

在Maxwell中建立三維模型，其中鐵芯為電工純鐵(DT4)，磁化曲線如圖4所示，銅線電導率為系統默認，空氣相對磁導率為1，空氣域為三維模型的5倍，內網格為3 mm，外網格為5 mm，迭代次數為8次，誤差小于10%，激勵源為電流源。

圖4 鐵芯材料B-H曲線

3.2 仿真結果及分析

電磁鐵的靜態特性由其本身的結構決定，通過控制變量的方法對其中某一個參數進行仿真得到其對磁感應強度的影響，仿真結果如圖5—8所示。

圖5 鐵芯半徑與磁感應強度關系

圖6 磁軛厚度與磁感應強度關系

圖7 頂部高度與磁感應強度關系

圖8 窗口高度與磁感應強度關系

圖5—8分別為鐵芯半徑Rn、磁軛厚度C、頂部高度hd、窗口高度hk與磁感應強度B的關系。在設計中，應在允許的情況下減小磁軛厚度，磁軛厚度越小，有效區域磁感應強度越大；線圈的繞制高度和繞制厚度對磁感應強度的影響較大，需要合理設計。同時鐵芯的半徑也應與線圈匹配，磁芯設計太粗，會使磁化難度增加，削弱磁感應強度，磁芯設計過細則造成磁芯達到飽和時磁感應強度仍然較小，鐵芯自身的結構參數對其磁感應強度的變化都有著不小的影響。單一目標變化不能滿足磁懸浮中磁感應強度以及磁力的需要，另外磁懸浮系統中整體系統要求電磁鐵外部結構是有限的，單一結構參數的變化會導致其他結構參數的變動，最終影響磁感應強度變化，影響磁力，導致系統性能不滿足要求。

4 電磁鐵優化結果分析

文中提出的優化方法是基于粒子群改進的混合粒子群算法，該算法結合了遺傳算法的“交叉(Crossover)”和“變異(Mutation)”操作。粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種演化計算技術，該算法最初是受到鳥群不可預測的集群活動的啟發，進而利用群體習性建立的一個算法模型[16]。

由于粒子群算法在面對優化問題中局部最優的欺騙性太強時，容易陷入局部最優解。對于已經陷入到局部最優的情況，一般是采取“跳出”或“重啟”兩種方法進行再次尋優，也就是在當前得到的最優基礎上向其他方向搜索，或者忽略當前得到的最優解并在新的區域重新進行搜索。簡而言之，避免陷入上述欺騙性太強的局部最優的方法就是隨機，而“交叉”和“變異”的引入很好地增加了群體的隨機性，在重新完成尋優之后的新粒子適應度值好于舊粒子時才更新粒子[17]，即得到最優解。基于MATLAB與Maxwell的協同仿真流程如圖9所示。

圖9 MATLAB與Maxwell協同仿真流程

單一目標參數優化是選取有限個實驗點進行計算分析，采用統計法找出目標參數與優化目標之間的函數關系，通過關系尋找最優點。但是該方法沒有考慮其他參數對優化目標的影響，未能達到一個動態平衡，即各參數最優使電磁力和磁感應強度最大。

為了更好地對電磁鐵結構進行參數優化，本文作者采用MATLAB與Maxwell協同仿真的方法，在各參數變化范圍內對電磁力進行優化。針對多目標優化問題，通過權重系數轉化為單目標問題進行處理，面向的主要問題是解決磁懸浮中力的速度與穩定性的問題，因此，將磁感應強度、窗口寬度等變量統一表述為以電磁力為目標的函數。將多目標轉化為單目標后，在Maxwell中建立三維模型，其中鐵芯為電工純鐵(DT4)，磁化曲線如圖4所示，銅線電導率為系統默認，空氣相對磁導率為1，空氣域為三維模型的5倍，內網格為3 mm，外網格為5 mm，迭代次數為8次，誤差小于10%，再由混合粒子群的優化過程進行計算。其初始參數如表1所示，優化結果如表2所示。

表2 混合粒子群參數優化結果

對比混合粒子群優化算法得到的電磁力與單目標優化得到電磁力在不同懸浮氣隙下的數值，繪制該模型在上述假定狀態下計算值與仿真值對比曲線圖和結果對比表，如表3所示。

表3 優化結果對比

可以看出：未考慮磁滯影響時，電磁力隨著氣隙的增大而減小；對電磁鐵進行單目標優化時，優化后電磁力有明顯提升；相同激勵條件下，采用混合粒子群算法得到的電磁力比單目標優化得到的電磁力綜合提升20%，在不同懸浮氣隙下，優化后的電磁鐵電磁力均比單目標要好得多，達到了優化目的。

5 結論

本文作者提出磁懸浮系統中電磁鐵的優化方案，采用了MATLAB與Maxwell協同的方式進行仿真分析，結果表明電磁鐵鐵芯以及各種內部結構參數與電磁力的關系。通過實驗和仿真對比驗證了有限元方法的準確性。通過分析電磁鐵磁路，建立了電磁鐵磁力的數學計算模型；以電磁力為優化目標，采用混合粒子群優化算法，得到最優參數，并用仿真驗證了多目標優化設計電磁鐵的合理性，計算結果與仿真結果吻合，綜合性能最好，說明采用混合粒子群優化算法對該類模型進行多目標優化的方法是可行的。圓柱型電磁鐵電磁力數學模型的建立，為進一步提高電磁鐵在各類磁懸浮精密運動控制中的應用提供了參考，為其他類似多參數問題解決提供了優化思路。