基于變密度法深孔鉆床主軸箱可靠性拓撲優化

胡韶巖，薄瑞峰，劉韶軒，陳振亞

(中北大學機械工程學院，山西太原 030051)

0 前言

應力約束下的連續體拓撲優化是近幾十年的研究熱點[1-3]。孟慶軒等[4]基于各向同性材料懲罰模型，建立了以應力為約束的熱固耦合連續體結構拓撲優化模型。EMMENDOERFER 和FANCELLO[5]提出一種基于水平集的方法來解決局部應力約束下質量最小化的結構拓撲優化問題。一般而言，上述應力約束下的拓撲優化在假設所有參數都是確定性時表現良好，但在實際工程結構的制造和使用階段存在大量不可避免的不確定因素，包括材料性能、結構幾何尺寸以及外部載荷等的變化。在這種情況下，研究具有不確定參數的拓撲優化具有十分重要的意義。

多年來，已經提出了將不確定性納入設計優化過程的不同方法，其中最流行的不確定方法是基于可靠性拓撲優化(Reliability-Based Topology Optimization，RBTO)方法。周松等人[6]對自卸車翻轉軸進行可靠性拓撲優化，在滿足可靠性的條件下減輕了質量。劉國梁等[7]基于不確定理論提出了以可靠性為求解策略的拓撲優化。雖然大量學者對不確定性設計、可靠性校核和拓撲優化等各個方面都有著深入的前期研究[8]，但關于深孔機床關鍵結構件的可靠性拓撲優化的研究還比較少。

主軸箱作為深孔機床的關鍵件，其強度、剛度及動態特性對機床的加工精度有很大的影響，特別是在高速切削場合，主軸箱的動態特性直接影響到機床的加工精度[9]。本文作者以TBT-ML500深孔鉆床主軸箱為研究對象，提出一種基于變密度法的可靠性拓撲優化方法，目的是尋找在載荷和材料不確定性下滿足應力約束和位移約束的最小質量結構。用一階可靠性方法和Roenblatt逆變換將可靠性拓撲優化解耦為兩個步驟，即確定性分析和可靠性分析。

1 可靠性拓撲優化

1.1 可靠性拓撲優化問題描述

在傳統的結構拓撲優化中，不確定性是通過使用安全系數來考慮的。然而，安全系數法在許多情況下會受到限制，導致設計過于保守或不安全。

因為可靠性拓撲優化與確定性拓撲優化有相同的優化目標，作者研究的可靠性拓撲優化與確定性拓撲優化的唯一不同點在于它們的約束。與確定性拓撲優化相比，可靠性拓撲優化采用概率約束來確保拓撲優化結果同時滿足穩定性、可靠性和經濟性。

可靠性拓撲優化的目標函數是質量最小化，將位移和應力作為優化問題的約束條件，設計變量是每個有限元中的函數密度ρ。將彈性模量和載荷當作不確定變量，并且假設兩個不確定變量服從正態分布。

1.2 可靠性拓撲優化的數學模型

基于可靠性拓撲優化問題變量界定，具有應力約束和位移約束的連續體拓撲優化在數學上的表達如下：

(1)

式中：ρ為密度向量；V為結構體積向量；ρi和Vi分別為第i個元素密度和體積；x為隨機變量向量；σVM為von Mises等效應力；σlim為材料的強度極限；uj為第j個節點位移；ulim為閾值；N為設計區域單元總數；Nc為約束總數；Pt為允許的失效概率；Pfi是由下式給出的失效概率。

Pfi(ρ，x)≤P(gi(ρ，x)>0)

(2)

式中：gi是極限狀態函數，gi>0表示被分析系統的故障；P表示給定事件發生的概率。

1.3 解耦格式

從式(1)中注意到在針對設計變量的結構優化中嵌套了隨機變量的可靠性分析。直接求解嵌套優化問題會導致非常苛刻的計算例程和收斂困難，并且在大多數情況下不是有效的方法。出于這個原因，本文作者采用一階可靠性方法提出了可靠性拓撲優化-解耦格式，因為它靈活且易于與現有的確定性優化算法一起使用。

極限狀態gi的可靠性指標可以定義為

(3)

式中：βi為結構第i個極限狀態的可靠性指標；βt為其相應的目標許用可靠性指標，由下式給出：

βt=Φ-1(1-Pt)

(4)

如果故障概率已知或使用某種近似方案，則可以準確評估該可靠性指標。許多近似方法和模擬方法被用于這類問題，包括一階可靠性方法(FORM)、二階可靠性方法(SORM)、抽樣方法如蒙特卡羅模擬(MCS)和重要抽樣等。其中一階可靠性方法被認為是最有效的計算方法之一，也是最常用的可靠性方法。在使用一階可靠性方法的情況下，精確的可靠性指標由Hasofer-Lind可靠性指標近似求解[10]。

根據一階可靠性方法，概率約束可轉化為可靠度指標約束：

Pfi≤Pt?βi≥βt

(5)

其中，結構可靠性指標相對于不確定變量的靈敏度由下式求得：

(6)

以Hasofer-Lind可靠性指數近似求得的最優解μ*為設計點。根據Roenblatt逆變換[11]，獲得隨機變量的修正值：

(7)

式中：ηxi和σxi分別是正態隨機變量xi的均值和方差。

對上式中的目標函數相對于不確定變量參數的靈敏度通過有限差分法計算：

(8)

根據式(9)解出對應的不確定變量的修正值，可將可靠性拓撲優化轉化為等價的確定性拓撲優化，即可靠性拓撲優化-解耦格式的數學模型如下式所示：

(9)

2 機床主軸箱算例分析

以TBT-ML500深孔鉆床主軸箱為例，在彈性模量和載荷變化不確定的情況下，用可靠性拓撲優化-解耦格式對主軸箱進行輕量化設計，具體計算流程如圖1所示。主軸箱底座與機床通過螺栓連接，因此將主軸箱的6個螺栓孔處設置為固定約束。深孔機床主軸箱主要受到機床工作時產生的鉆削力和自身重力。如圖2(a)所示，紅色B處為施加的載荷，黃色C為設置的主軸箱自身重力。定義主軸箱的材料為TH200，取材料的彈性模量E=1.4×105MPa，泊松比0.28，密度7 800 kg/m3[12]。根據機械加工工藝手冊[13]，主軸箱載荷即鉆削力F，由下式給出：

(10)

圖1 計算流程

圖2 主軸箱受力分布和設計空間

式中：PF=410，NF=1，EF=0.7，MF=1。

將非設計區間設置為主軸孔、安裝電機的孔以及底座的安裝固定區域，如圖2(b)紅色部分所示；其余部分設置為優化區域，如圖2(b)藍色部分所示。將制造工藝約束設置為最小成員尺寸約束，即25 mm，拓撲構型密度閾值設置為0.2。

在拓撲優化過程中，當將所有參數都視為確定性時，拓撲優化的最終結果具有大約41.8%的體積分數，得到的最佳拓撲構型如圖3所示。當將彈性模量、鉆削力看作是滿足正態分布的不確定性變量時，并將可靠性指標約束β*設置為3、4、5，設置標準差σ=0.1m，m為隨機變量的均值。在β*=3的情況下，拓撲優化的最終結果具有大約55.1%的體積分數，最佳拓撲構型如圖4(a)所示。圖4(b)和(c)分別是β*=4和β*=5的最佳拓撲構型，拓撲優化的最終結果分別為63.6%和65.5%的體積分數。不確定變量的修正值和拓撲優化結果匯總于表1。

表1 優化設計結果

圖3 確定性拓撲優化

圖4 可靠性設計

由圖3和圖4可以看出：確定性拓撲優化的最佳拓撲構型和具有不同可靠性指標的可靠性拓撲優化的最佳拓撲構型之間有很大的差異。從表1可以觀察到，與確定性拓撲優化相比，可靠性拓撲優化所保留的材料體積分數明顯增大，并且隨著可靠性指標增大而增大。這是因為隨著可靠性指標的提高，修正的數值變化變大，需要更多的材料來提高機構的安全性。

為了驗證可靠性拓撲優化的結果優于確定性拓撲優化，考慮制造工藝條件、材料分布情況和設計準則，對確定性拓撲優化后的模型和可靠性(β*=5)拓撲優化后的模型進行修復，修復后的模型如圖5所示。

圖5 修復模型

依據最終設計方案，分別對確定性拓撲優化和可靠性拓撲優化修復后的主軸箱結構進行有限元分析，有限元分析結果如圖6所示，主軸箱優化前后各項性能指標對比如表2所示。從表2可以看出：確定拓撲優化后的最大變形量增大了19.58%，最大應力增加了15.43%，質量減少了36.45%；可靠性拓撲優化后的最大變形量較少了0.4%，最大應力增加了13.13%，質量減少了29.68%。從以上數據可以得到：盡管可靠性拓撲優化后的質量比確定性拓撲優化有一定程度上的增加，但是，最大應力和最大變形都有所減小。這意味著隨著可靠性要求的提高，結構的應力和變形減小。并且與確定性拓撲優化相比，可靠性拓撲優化材料分布均勻，具備良好的可制造加工性，結果更趨于合理。因此，在設計階段考慮不確定因素對于滿足實際應用中的安全要求極其重要。

表2 主軸箱優化前后各項性能指標

圖6 修復模型有限元分析結果

3 結論

針對彈性模量和載荷變化帶來的不確定性，建立了應力和位移約束的可靠性拓撲優化模型，目的是在滿足可靠性和穩定性要求的前提下，使質量最小。然后采用一階可靠性方法進行可靠性分析，以保證算法的穩健性和有效性。最后通過對TBT-ML500深孔鉆床主軸箱進行可靠性拓撲優化，既驗證了此方法的有效性又實現了輕量化。結果表明，可靠性拓撲優化的最優拓撲結構與確定性拓撲優化有很大差異，這說明在拓撲優化中考慮不確定性影響的必要性。更嚴格的安全要求不可避免地導致更低的經濟設計。