基于MATLAB的六極并聯齒輪泵優化設計及分析

胡延平，陳志鵬，尹浩然，李旭辰

(合肥工業大學機械工程學院，安徽合肥 230009)

0 前言

齒輪泵結構簡單，可靠性高，操作維護方便，被廣泛用來作為液壓系統的液壓源。自工業2.0～4.0以來，齒輪泵是眾多學者研究的對象，但由于泵內部嚙合齒輪本身結構特點的限制，在其基本結構設計方面的研究并沒有取得較大的進展與成果[1-2]。近年來，國內外針對齒輪泵的相關研究主要集中在以下兩方面：(1)齒輪泵結構的參數化研究；(2)多齒輪泵結構原理研究[3-8]。

目前學者對三極、四極并聯齒輪泵的研究已經比較深入，而對更多極的并聯齒輪泵研究較少。為此，本文作者設計一六極并聯齒輪泵并進行參數優化。首先，分析其結構及工作原理；之后，分析瞬態流量特性曲線；再后，借助MATLAB對目標數學模型進行優化；最后，對相同理論流量和額定進出口壓差下的六極并聯齒輪泵及普通外嚙合齒輪泵進行瞬態流量仿真和齒輪泵特性計算，并將結果進行對比分析，以證明該類型的六極并聯齒輪泵可滿足對齒輪泵高壓力、低脈動、低噪聲的要求，并為多齒輪泵的設計及原理研究提供參考。

1 結構與工作原理

六極并聯齒輪泵的齒輪嚙合分布情況如圖1所示：在齒輪泵的殼體中心安裝1個主動輪，在主動輪的周圍均布6個尺寸參數相同的從動輪。當電動機驅動齒輪泵旋轉，假設主動輪繞轉軸中心逆時針旋轉，則與其相嚙合的6個從動輪在主動輪的驅動下分別繞自身的軸心順時針旋轉。

圖1 六極并聯齒輪泵原理

每對嚙合齒輪副的兩側分別在泵的殼體上開有吸油腔和排油腔，當主動輪和每個從動輪嚙合轉動時，殼體空腔內便會形成密閉空間，借助于嚙合齒輪相互轉動時齒間容積的變化來實現吸油和排油動作。因此，從理論上看，該六極并聯齒輪泵相當于6個普通齒輪泵的并聯。

2 瞬態流量建模

文獻[9]中具有一對漸開線直齒圓柱齒輪的普通外嚙合齒輪泵的瞬態流量公式推導如下：

(1)

將變量代入式(1)并化簡，得：

(2)

為方便以下步驟的計算，取：

(3)

若6個從動輪如圖1所示分布，當主動輪齒數為6k±1(k為自然數)，從動輪齒數為2k時，重疊系數取εα=1，并對該齒輪泵開雙對稱型卸荷槽，則6個從動輪的瞬態流量之間便會產生一定的相位差[10]，相位差大小為π/(3z2)，各從動輪瞬態流量關系圖如圖2所示。

圖2 6對嚙合齒輪的瞬態流量曲線

如圖2中所示，曲線1—6分別為每對嚙合齒輪的瞬態流量曲線，則該六極并聯齒輪泵流量公式推導如下：

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第1段區間內泵的總流量為

(4)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

曲線6：q6(t)=a1-b1[φ+π/(3z2)]2

第2段區間內泵的總流量為

(5)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第3段區間內泵的總流量為

(6)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第4段區間內泵的總流量為

(7)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第5段區間內泵的總流量為

(8)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第6段區間內泵的總流量為

(9)

結合式(4)—(9)可知該泵在一個周期內的瞬態流量為

(10)

由式(10)可知該齒輪泵的瞬態流量曲線是以T=π/(3z2)為周期的周期函數，且瞬態流量的極大值、極小值及瞬態流量均值分別為

(11)

3 優化設計

本文作者以公稱排量q=360 mL/r，進出口壓差Δp=25 MPa；額定轉速n1=2 000 r/min；容積效率ηVB=95%的齒輪泵參數設計該六極并聯齒輪泵。

3.1 建立多目標函數

3.1.1 流量脈動系數δ

流量脈動系數是描述齒輪泵流量脈動大小的參數，流量脈動系數過大，將導致整體液壓系統壓力和速度的不穩定，引發噪聲。結合式(11)可得出流量脈動系數的表達式如下：

(12)

3.1.2 流量脈動頻率fQ

齒輪泵的流量脈動頻率是指齒輪泵在單位時間內的流量脈動次數。齒輪泵每轉過一個齒時產生一次流量脈動[11]，即：

(13)

3.1.3 泵體體積V

為了降低生產成本及泵體質量，還應以齒輪泵的體積最小為設計優化目標。對于該齒輪泵，泵體體積主要由齒輪泵殼體上7個齒輪齒頂圓裝配孔決定，因此在實際運算中，可將泵殼體上7個齒輪齒頂圓裝配孔的體積V作為目標函數之一[12]。

該六極并聯齒輪泵的齒頂圓裝配油孔示意如圖3所示。在齒輪泵的殼體中，齒頂圓裝配孔的體積V就是圖示中7個齒輪安裝孔相交后的面積St和齒寬B的乘積，即：

圖3 裝配孔面積示意

V=St·B

(14)

圖3中：ra1為主動輪齒頂圓半徑，ra1=m(z1+2)/2；ra2為從動輪齒頂圓半徑，ra2=m(z2+2)/2。

如圖3所示的7個齒輪齒頂圓裝配孔相交后的面積St可分為S、Si(i=1，2，…，6)7部分，由于Si各部分的尺寸和形狀完全相同，則有：

根據圖3中所示的裝配位置關系，將未知變量代入式(14)并化簡，得：

(15)

每個目標函數對齒輪泵的性能影響程度不同，影響程度從大到小依次為：流量脈動系數、齒輪泵體積、流量脈動頻率[13]，故分別取流量脈動系數、流量脈動頻率、齒輪泵體積的影響因子pj(j=1，2，3)分別為0.6、0.1、0.3，即：

f(X)=0.6δ+0.1fQ+0.3V

(16)

3.2 選取設計變量

齒輪是齒輪泵的核心零部件，而決定齒輪零件參數的主要是其齒數、模數和齒寬。在工程設計中，因齒輪材料、精度等級、載荷條件對目標函數無明顯影響，所以常取其為定量，由此來限制設計變量個數[14]。故對于該齒輪泵問題，綜合考慮其整體性能和齒輪加工工藝等因素，并結合式(12)(13)(15)選取z1、z2、m、B為設計變量，即：

X=[x1x2x3x4]T=[z1z2mB]T

(17)

3.3 確定約束條件

3.3.1 齒數約束

主動輪上有6個嚙合區和6個壓力過渡區，每個嚙合區至少應有2個齒參與嚙合過程，每個壓力過渡區至少應有3個齒。按上述要求，則有z1min=6×3+6×2=30，又由文獻[10]可知，當z1=6N±1時，齒輪泵的流量特性最好，因而主動輪的最小可能齒數z1min=31。

從動輪上有1個嚙合區和1個壓力過渡區，因此從動齒輪最少齒數z2min=5。對于傳動齒輪，當其齒數小于17時，利用范成法加工標準漸開線直齒圓柱齒輪會產生根切現象，而適當的根切有利于緩解泵體困油現象，所以在齒輪參數設計時允許有少量根切的存在，可按齒數必須大于等于14進行約束。即：

(18)

3.3.2 模數約束

幾何排量一定的條件下，減小齒數z和增大模數m都是減小齒輪泵幾何尺寸的有效實施辦法。該六級并聯齒輪泵相較于傳統齒輪泵，其模數取值范圍可以適量放寬，但同時對于做動力傳輸的齒輪，應避免其模數太小，所以取模數大于等于2 mm，即：

g2(X)=2-x3≤0

(19)

3.3.3 幾何結構約束

在輪系設計中，為了保證齒輪傳動過程中從動齒輪輪齒不發生碰撞和干涉，根據圖1中所示的齒輪嚙合幾何結構，要求主、從動齒輪嚙合中心距大于等于2個從動輪齒頂圓半徑之和，即a≥2ra2，化簡得：

g3(X)=2-x1/2+x2/2≤0

(20)

3.3.4 流量誤差約束

(21)

3.3.5 速度約束

為了防止氣蝕，保證泵的吸入能力，減小振動和噪聲，齒輪的節圓圓周線速度應不大于最大允許節圓線速度，即

(22)

其中：[vmax]為齒輪最大允許的節圓線速度，對于7級精度的直齒圓柱齒輪，一般工程實際要求[vmax]=10 m/s。

3.3.6 齒面接觸疲勞強度

對于外嚙合直齒圓柱齒輪泵，傳動齒輪的齒面接觸疲勞強度應滿足

(23)

其中：σH1為主動輪齒面接觸疲勞強度；σH2為從動輪齒面接觸疲勞強度；[σH]為齒輪的許用齒面接觸疲勞強度，[σH]=660 MPa。

3.3.7 齒根彎曲疲勞強度

傳動齒輪的齒根彎曲疲勞強度應滿足：

(24)

其中：σF1為主動輪齒根彎曲疲勞強度；σF2為從動輪齒根彎曲疲勞強度；[σF]為齒輪的許用齒根彎曲疲勞強度，[σF]=398 MPa。

3.3.8 齒寬約束

由齒輪泵幾何排量qBv=2kπm2zB可知：增大齒寬B有利于增大幾何排量qBv和提高容積效率ηVB，但齒寬過大會使齒輪所受徑向力和軸承負荷過大。齒寬的取值一般根據模數大小確定，工程實際中要求6m≤B≤8m，對于該多極并聯齒輪泵，其齒輪齒寬比可適量放寬，取10m≤B≤15m即：

(25)

3.4 優化實例與分析

3.4.1 優化實例

根據該六極并聯齒輪泵結構，取相應設計變量初始化值X0，并利用MATLAB優化工具箱中的fmincon函數對上述數學模型進行優化迭代求解。變量初值X0及優化結果X見表1。

表1 設計變量初始值及優化結果

對表1中的優化結果X的值進行校正：由于主動輪和從動輪齒數應滿足相應齒數約束要求，所以取主動輪齒數z1=36，從動輪齒數z2=14；其次，齒輪模型要符合國標值，取模數m=2.75 mm；前3個變量已經確定，根據流量要求計算齒寬并圓整為：B=35 mm。

3.4.2 優化分析

利用MATLAB軟件分別對相同理論流量下的普通外嚙合齒輪泵(當齒輪參數取z1=z2=22、m=8 mm、B=27 mm時，齒輪泵流量特性最好)及優化前、后的六極并聯齒輪泵進行瞬態流量仿真。仿真結果如圖4所示，優化后六極并聯齒輪泵瞬態流量局部放大圖如圖5所示，齒輪泵性能參數見表2。

表2 齒輪泵性能參數

圖4 齒輪泵瞬態流量曲線

圖5 優化后六極并聯齒輪泵瞬態流量局部放大圖

由圖4、圖5可知：與普通外嚙合齒輪泵相比較，該六極并聯齒輪泵的瞬態流量周期更短，流量脈動更穩定，瞬態流量的最大、最小值之差更小。優化后的六極并聯齒輪泵流量最大值為7.289×108mm3/min，流量最小值為7.268×108mm3/min，瞬態流量均值為7.278 5×108mm3/min，流量誤差為1.09%。

由表2可知：優化后該六級并聯齒輪泵的流量脈動系數為0.094 33%，是普通外嚙合齒輪泵流量脈動系數的0.95%；齒輪泵體積是普通外嚙合齒輪泵體積的40.42%；從動輪側面積是普通外嚙合齒輪泵從動輪側面積的26.52%。流量脈動系數的減小，有利于維持齒輪泵壓力和速度的穩定，降低齒輪泵噪聲、振動等問題；齒輪泵體積的減小，有利于節約生產制造成本以及降低普通泵的質量。

從動輪側面積S=πz2mB的大小與泵所受的徑向力大小成正比關系。由表2可知六極并聯齒輪泵的從動輪側面積比普通外嚙合齒輪泵的從動輪側面積小，因此該六極并聯齒輪泵相應的徑向力就小，并且由于結構上的對稱性，所以該齒輪泵主動輪所受的齒輪嚙合力及徑向液壓力是平衡的。可見六極并聯齒輪泵對減小齒輪泵流量脈動、減小泵的制造成本和質量、減小泵體振動和噪聲、提高工作性能及力學性能、提高使用壽命等方面有著重要作用。

4 結論

(1)本文作者先推導六極并聯齒輪泵的瞬態流量曲線函數，并建立多目標函數，再借助MATLAB優化工具箱進行參數優化，最后進行流量特性仿真及分析。

(2)優化后的六極并聯齒輪泵流量誤差為1.09%，其流量脈動系數、齒輪泵體積和從動輪側面積分別是普通外嚙合齒輪泵的0.95%、40.42%、26.52%，理論上減小了制造成本，提高了流量脈動品質，提高了齒輪泵的工作性能及使用壽命。

(3)經過理論分析，該種齒輪泵較普通外嚙合齒輪泵的流量脈動低，且具有中心輪徑向力平衡、傳動平穩性高、體積小等優點，可廣泛運用在高壓、大排量、工作環境惡劣以及對傳動平穩性和流量品質要求較高的場合，比如可用作紡絲計量泵、熔體泵，以及可用于機床的多點潤滑上。