有限大小量子Dicke-Stark模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

閻占元,李欣陽,邱方程,常習(xí)者,劉洋

(1.華北電力大學(xué) 數(shù)理系,河北 保定 071003;2.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院,云南 昆明 650011;3.華北電力大學(xué) 河北省物理學(xué)與能源技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(籌),河北 保定 071003)

光與物質(zhì)相互作用無論是在理論還是實(shí)驗(yàn)方面都是重要的研究方向,涉及凝聚態(tài)物理、量子信息、量子光學(xué)等廣泛的研究領(lǐng)域[1].隨著光與物質(zhì)相互作用實(shí)驗(yàn)平臺和實(shí)驗(yàn)技術(shù)的拓展和進(jìn)步,為了提供理論支撐和解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,基礎(chǔ)理論也在做相應(yīng)的推廣和發(fā)展.1936年,Rabi提出了描述這一相互作用的最基礎(chǔ)的理論模型[2].Rabi模型形式雖然簡單,但難以解析求解.局限于當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件,光與二能級系統(tǒng)的中耦合強(qiáng)度比較弱,Rabi模型中的反旋波項(xiàng)可以忽略(RWA近似),簡化為Jaynes-Cummings(J-C)模型[3].由于J-C模型可以解析求解,在以后相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)J-C模型廣泛應(yīng)于相關(guān)領(lǐng)域的研究.隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展,2010年前后,實(shí)驗(yàn)室中在腔QED[4-5]、超導(dǎo)量子電路[6-11]、光力系統(tǒng)[12-14]等實(shí)驗(yàn)平臺上,先后實(shí)現(xiàn)了光與系統(tǒng)的強(qiáng)耦合、超強(qiáng)耦合和深強(qiáng)耦合,實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了J-C模型的失效,因此Rabi模型的解析求解問題成為了研究的重要課題.2011年,Braak在Bargmann空間利用Rabi模型的Z2對稱性,實(shí)現(xiàn)了量子Rabi模型的解析求解[15],在理論上實(shí)現(xiàn)了突破.2012年,陳慶虎等[16]提出了BOA(bogoliubov operator approch)方法重現(xiàn)了量子Rabi模型的解析解,BOA方法的物理圖像更加清晰和簡潔.2013年,鐘宏華等[17]得到了用合流Heun函數(shù)表示的Rabi模型的精確解.此后,研究人員開始討論更復(fù)雜的光與物質(zhì)相互作用的模型:雙光子Rabi模型[18-21]、雙模Rabi模型[22-25]、各向異性Rabi模型[26-29]、Rabi-Stark模型[30-32]、Dicke模型[33-34]等.

量子Rabi模型之所以難以求解,是由于反旋波項(xiàng)的存在,體系的基態(tài)和激發(fā)態(tài)是Fock態(tài)空間(光子數(shù)空間)中所有基矢的疊加,因此構(gòu)建的體系哈密頓是不能約化的無窮維矩陣.理論上講,矩陣維數(shù)越大,計(jì)算結(jié)果越精確,對計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)存儲和計(jì)算能力提出了相當(dāng)高的要求.對于更復(fù)雜的Dicke模型,它描述N個(gè)二能級原子和單模光場相互作用,體系空間維度是由角動(dòng)量空間和光子數(shù)空間的直積得到,即|J2,Jz〉?|N〉.顯然,求解Dicke模型的本征方程需要更多的計(jì)算資源.相干態(tài)空間是超完備空間,人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在相干態(tài)空間中,只需有限個(gè)相干態(tài)基矢,就能足夠精確地求解Dicke模型的本征方程[35].

在量子態(tài)的制備和光場模式重建過程中,量子光場與二能級系統(tǒng)之間便會引入非線性Stark相互作用[36-39].人們在Rabi模型中引入Stark相互作用,討論了Stark相互作用對能譜結(jié)構(gòu)的影響[30-32].在Dicke模型中引入非線性Stark相互作用,稱為Dicke-Stark模型[40].本文將在相干態(tài)空間,計(jì)算Dicke-Stark模型的本征方程,并進(jìn)一步討論Stark項(xiàng)對Dicke模型的量子相變、平均光子數(shù)分布和平均角動(dòng)量等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響.

1 閉合Dicke-Stark模型

描寫單模量子光場和N個(gè)二能級系統(tǒng)的Dicke-Stark模型的哈密頓量表示為(自然單位)

(1)

(2)

很明顯,當(dāng)U=0,Dicke-Stark模型還原為Dicke模型.

2 相干態(tài)空間中的有限大小Dicke-Stark模型

(3)

整個(gè)系統(tǒng)在Hilbert空間的本征矢為

(4)

把式(4)代入Dicke-Stark模型哈密頓的本征方程H|ψn〉b=En|ψn〉b,可以得到薛定諤方程第n行表達(dá)式,

上式先后左乘〈j,m|和Am〈l|得到

(5)

計(jì)算中用到了Am〈l|k〉A(chǔ)m-1=(-1)lDl,k,Am〈l|k〉A(chǔ)m+1=(-1)kDl,k,其中

基于式(5),可以在Dicke-Stark模型Hilebert空間的基矢|j,m〉?|k〉A(chǔ)m上,構(gòu)建體系的哈密頓量矩陣算符,得到體系的能級及其對應(yīng)的波函數(shù),進(jìn)而可以討論Dicke-Stark模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

首先,比較一下在相干態(tài)空間和Fock態(tài)空間計(jì)算Dicke-Stark模型基態(tài)能譜的收斂性.在Δ=1.0,U=1.0,N=32時(shí),分別用DFS方法計(jì)算了光子截?cái)鄶?shù)Ntr=8,32,128時(shí)Dicke-Stark模型基態(tài)能譜,以及用DCS方法計(jì)算了光子截?cái)鄶?shù)Ntr=6時(shí)Dicke-Stark模型基態(tài)能譜,結(jié)果如圖1a所示.可以發(fā)現(xiàn):隨著DFS方法的光子截?cái)鄶?shù)增加,Dicke-Stark模型基態(tài)能譜計(jì)算結(jié)果逐漸接近用DCS方法計(jì)算得到的能譜.可見,用DCS方法計(jì)算Dicke-Stark模型能譜,若想得到足夠精確的結(jié)果,Ntr需要取相當(dāng)大的值,對計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)存儲和計(jì)算都是巨大挑戰(zhàn).而用DCS方法,相干態(tài)空間的光子截?cái)鄶?shù)Ntr=6時(shí),就能足夠精確地得到Dicke-Stark模型基態(tài)能譜,從而得到有限尺度Dicke-Stark模型的嚴(yán)格精確解.圖1b中給出了Dicke-Stark模型(U=1.0,U=-1.0)和Dicke模型(U=0)的基態(tài)能譜.很明顯,由于非線性Stark相互作用的影響,Dicke模型基態(tài)能被壓低.

a.不同光子截?cái)鄶?shù)計(jì)算得到的基態(tài)能譜;b.不同模型計(jì)算得到的基態(tài)能譜

3 有限大小Dicke-Stark模型中的量子相變

在相干態(tài)表象中,算符和的矩陣元分別表示為

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a.不同有限系統(tǒng)中平均角動(dòng)量變化;b.不同作用強(qiáng)度下平均角動(dòng)量變化;c.不同有限系統(tǒng)中平均數(shù)光子數(shù)變化;d.不同作用強(qiáng)度下平均光子數(shù)變化

4 平均光子數(shù)和平均角動(dòng)量的動(dòng)力學(xué)演化

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(9)

(10)

a.N=2,U=0.5;b.N=4,U=0.5;c.N=8,U=0.5;d.N=16,U=0.5,e.N=16,U=0;f.N=16,U=0

在圖4中,圖4a-d是U=0.5時(shí),取不同的原子數(shù)N=2、4、8、16,平均角動(dòng)量〈Jx〉/N隨光場與原子的耦合強(qiáng)度和時(shí)間演化的相圖.可以發(fā)現(xiàn):隨著原子數(shù)的增加,平均角動(dòng)量較大的區(qū)域整體向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng);隨時(shí)間的推移,整體振幅趨于平滑.圖4e-f分別為在U=0、U=-0.5時(shí),平均角動(dòng)量的演化相圖.對比圖4d、圖4e和圖4f可以發(fā)現(xiàn),在0.5<λ<0.8區(qū)域平均角動(dòng)量較大,形成一條帶狀結(jié)構(gòu),與U=0的計(jì)算結(jié)果比較,非線性Stark相互作用U>0時(shí),平均角動(dòng)量的值增大,U<0時(shí),平均角動(dòng)量的值變小.

5 結(jié)論

利用相干態(tài)的超完備性,在相干態(tài)空間構(gòu)建有限尺度Dicke-Stark模型的哈密頓量,在較少的相干態(tài)空間實(shí)現(xiàn)了體系嚴(yán)格精確解的計(jì)算.利用有限尺度Dicke-Stark模型的計(jì)算結(jié)果,討論了基態(tài)的平均光子數(shù)和平均角動(dòng)量隨耦合強(qiáng)度的變化,發(fā)現(xiàn)了量子相變現(xiàn)象.并且,量子相變點(diǎn)會隨非線性Stark作用發(fā)生移動(dòng):U>0時(shí),相變點(diǎn)向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng),U<0時(shí),相變點(diǎn)向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng).本文計(jì)算Dicke-Stark模型平均光子數(shù)和平均角動(dòng)量隨光場與原子的耦合強(qiáng)度和時(shí)間演化的相圖.發(fā)現(xiàn)隨著原子數(shù)的增加,平均光子數(shù)振幅整體趨于平滑,激發(fā)變?nèi)?強(qiáng)激發(fā)區(qū)域向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng);隨時(shí)間的推移,激發(fā)整體趨勢變?nèi)?非線性Stark相互作用U>0時(shí),相圖整體趨向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng);而當(dāng)U<0時(shí),相圖整體趨向耦合強(qiáng)度大的方向移動(dòng),在相對較大的耦合區(qū)域會發(fā)生較大的激發(fā).平均角動(dòng)量較大的區(qū)域隨著原子數(shù)的增加整體向耦合強(qiáng)度小的方向移動(dòng);隨時(shí)間的推移,整體振幅趨于平滑.非線性Stark相互作用U的正或負(fù),會使平均角動(dòng)量的值變大或變小.本文的結(jié)果,有助于更清楚地了解有限尺度Dicke-Stark模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).